В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин - Оптимальное управление (1979) (1155777), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Пару (х( ), и( )) будем иногда сокращенно обозначать через г. Элемент г=(х( ), и (-)) ~ Л будем называть управляемым процессом в задаче (1'), (2'), если х(1)=~р(1, х(1), и(1)), у(~[(„г»1, и допустимым управляемым процессом, если, кроме того, удовлетворяются краевые условия. Допустимый элемент г=(х(.), й( )) будет называться оптимальным в слабом смысле процессом или слабым мии мумом в задаче (1'), (2'), если он доставляет локальный минимум в задаче, т. е. если найдется такое з) О, что коль скоро 1х — х~~, «". а н 1и — и~» < е, то Р(г))У (г).
1.5.2. г(еобходимые условия в задаче Лагранжа. Попробуем применить к задаче (1'1, (2') предыдущего пункта общий прием Лагранжа, о котором шла речь в п. 1 3.2. По аналогии с конечномерным случаем функцию Лагранжа следует записать так: Я (х ( ), и ( ); р (.), р, Х,) = ~ 1, с(1+1, (1) и где Е(Г, х, х, и)=р(1)(х — <р((,х,и))+Л»[(Г, х, и), (2) 1(х„х,) = ~~.", (л~»р, (х„х,), 2,»=-р,. (3) То, что «терминальная часть» или терминант функции Лагранжа 1 имеет вид (3), не вызывает сомнения — здесь имеетея полное подобие с конечномерным случаем. Что же касается ограничения х=ц~(г, х, и), то оно должно выполняться для всех г ~ [1„1,1, и соответствующий «множитель Лагранжа» р( ) по аналогии должен быть функцией 1, а его вклад в функцию Лагранжа имеет вид интеграла, а не суммы.
82 Еа(1, х(1), х(1), й(Ф))=0, и условия трансверсальности Ц (Г» Х((а) Х(за) "(ГЭ))=( — 1) й=,, (Х (за) Х(1«)) Уг = 0,1. (7) Вследствие того, что Ь не зависит от и, а 1 от и, уравнение Эйлера по и имеет вырожденный вид (6), а условий трансверсальности «по и» нет вовсе. Эту теорему (и даже в несколько более общем виде) мы докажем в $ 4.1 как прямое следствие общей теоремы, Итак, функция Лагранжа составлена, Следуя рецепту Лагранжа, нужно теперь искать условия экстремума полученного выражения, «как если бы переменные были независимы».
Иначе говоря, следует рассмотреть задачу .Ы'(х( ), и( ); р( ), р, )ьэ)- ех(г, (4) считая множители Лагранжа фиксированными. Задача (4)— зто задача Больца, рассмотренная в п. 1.4.2. Выписанные там условия экстремума в применении к задаче (4) приведут к правильным уравнениям, называемым уравнениям Эйлера — Лагранзса. Точнее, имеет место следующая теорема. Теорема Эйлера — Лагранжа. Если г= =(х( ), и( )) — оптимальный в слабом смысле процесс для задачи (1'), (2') п. 1.6.1, то найдутся множипмли Лагранжа )ьэ=)ьэ) 0 в задаче на минимум и (О в задаче на максимум, р (.) ~ С" (1(„Я 1(э), р =(р„..., р,), не равные одновременно кулю') и такие, что будут вьиолнены уравнения Эйлера — — „«Ь„(г, х(Г), х(г), и(г))+т-„(г, х(г), х (г), й(г))=0, (5) (6) ') )чатематик-пурист отметит вопиющую неточность в этой фразе: 1е и р, это числа, а р( ) — элемент функционального пространства, так что они и не могли бы равняться одному и тому же нулю одновременна.
Каждое нз них может равняться или не равняться своему нулю в своем пространстве. Однако все мы так привыкли отождествлять нули всех пространств, что эта фраза уже не режет глаз. касающейся правила множителей Лагранжа для гладких бесконечномерных задач. Отметим, что нз этой теоремы следует необходимое условие экстремума в изопериметрической задаче (с произвольным числом изопериметрических условий) и уравнение Эйлера †Пуассо для задач со старшими производными.
Изопериметрические ограничения с, Юс(х( ))=$1,(1, х, х)с!с=а„(=1, ..., т; хЕК", можно учесть, введя новые фазощге переменные, связанные со старыми дифференциальной связью' х„э, (1) = 1с(1, х,(1), ..., х„(!), х,(с)„..., х„(1)) иудовлетворяющие краевым условиям х„+, (1,) — х„+,(1,) =а„1=1, „т. Если теперь применить теорему Эйлера — Лагранжа, то получатся нужные необходимые условия в изопернметрической задаче. При исследовании задачи со старшими производными ее можно свести к виду (1'), (2'); полагая х=х„, х,=х„..., х„=и и применяя далее теорему Эйлера — Лагранжа.
1.5.3. Принцип максимума Понтрягина. В пятидесятых годах многочисленные потребности прикладных дисциплин (техники, экономики и др.) стимулировали постановку н рассмотрение нового класса экстремальных задач, получивших название задач оптиэсапьного управления. Необходимое условие экстремума для задач этого класса— «приицип максимумаэ, — сформулированное Л.
С.,Понтрягиным в 1953 г., было доказано ц развито впоследствии им, его учениками и сотрудниками (см. [12!). Важно отметить, что это условие имеет существенно иную форму в сравнении с классическими уравнениями Эйлера и Лагранжа: в качестве обязательного условия в решение"задачи оптимального управления входит решение вспомогательной задачи на максимум (отсюда название — «принцип максимумаэ). Здесь мы будем рассматривать частный случай общей постановки задачи оптимального управления, когда в'задаче Лагранжа в понтрягинской форме (см.
(1') и (2') п. 1 5.1) появляется еще одно дополнительное условие яа управление: и~И. Точнее говоря, будет рассматри- И ваться такая задача: 3(х(), и())- С» = ~ ) (г» х(1)» и (г)) сй+фь (х(»»), х (1»)) — «гп1» (1) »» х(г) — »р(1, х(1), и(1))=О, Чь(х(1,), х(1,)) О, 1=1, ..., з, (2) иЕП.
(3) Функции )', ф, фг — такие же, как в (1'), (2') п. 1.5.1, а П вЂ” фиксированное множество в К». Более общая задача будет рассмотрена в гл. 1У. Задачу Лагранжа мы рассматривали в некотором банаховом пространстве. Здесь же, желая применять самые простые средства, изберем иной путь описания допустимых элементов, сходный с тем, о котором шла речь в п. 1.4.3, где простейшая задача классического вариационного исчисления была расширена до задачи в пространстве КС' ([1„1»1) кусочно-дифференцируемых функций. Пару (х( ), и(.)) будем называть управляемым процессом в задаче (1) — (3), если управление и( ): [1„1»1 — П вЂ” кусочно-непрерывная функция, фазовая траектория х( ) кусочно-непрерывно дифференцируема и при этом всюду, кроме точек разрыва управления и( ), функция х ( ) удовлетворяет дифференциальному уравнению х (1) =»р(1, х(1), и(1)). Управляемый процесс называется допустимым, если, кроме того, удовлетворяются краевые условия.
Допустимый процесс (х ( ), й(.)) называется оптимальным, если найдется такое з > О, что для всякого дону стимого управляемого процесса (х(.), и( )) такого, что 1х(1) — х(1)((з, Ч»1~[1„1»1 выполняется неравенство 5(х( ), и(.))~Я(х( ), й(.)). Попробуем снова применить к задаче (1) — (3) общий прием Лагранжа, о котором речь шла в и. 1.3.2. Функция Лагранжа задачи (1) — (3) будет иметь тот же вид, что и в задаче Лагранжа — ограничения типа принадлежности (и ~ П) в функцию Лагранжа не включаются. Итак, Я'(х( ), и( ); р( ), р, Х,) ~ьс(1+1ь -(4) с, йз где с.(Е, х, х, и)=р(()(х — ср(Е, х, и))+Х,Е(Е, х, и), (5) Е(» х).=7 Ь"Ь(х х) р =)" (6) Далее, как всегда, нужно рассмотреть задачу Ю(х(-), и(.);р( ), р, Х,) Еп( (7) (считая множители Лагранжа фиксированными) «как если бы переменные были независимы».
Задача (7) естественным путем распадается на две: . .У(х( ), и( ); р( ), р, Х,)- ЕпЕ (пох( )), (8) .йс(хь( ), и(.); р( ), р, Х,)- Еп( (пои( ) бсЕЕ),(9) где через Я мы обозначили множества кусочно-непрерыв- ных функций со значениями в О. Задача (8) — это снова задача Больца; задача же (9) имеет, как легко понять, следующий простой вид: с, ~)((Е, и(Е))с(Е Еп(, и(.)ЕЯ, (10) с, где 1с(Е, и) =Х,Е(Е, х(Е), и) — р(Е) ср(Е, х(Е), и). Йеобходимое (и достаточное) условие экстремума в задаче (10) совершенно очевидно: й(.)6Я доставляет минимум в задаче (10) тогда и только тогда. когда всюду, кроме точек разрыва й( ) выполнено соотношение ппп 1с.(Е, и) = )с(Е, и (Е)) еэ йяа Еат)п Е,(Е, х(Е), х(с), и)=Е(Е, х(Е), х(г), й(Е)) 4Э ича еэтак'(р(Е) ср(Е, х(Е), и) — 1,Е(Е, х(Е), и)1 = ырра =р(Е)ср(Е, х(Е), й(Е)) — Х,Е(Е, х(Е), й(Е)).
(11) Необходимые условия экстремума в задаче (8), соединенные с(11), приводят к необходимым условиям экстремума в задаче (1) — (3), получившим название принципа максимума Понтрягина(из:Васпецнфическоговида условия (11)). Точнее, имеет место следующая теорема. ав Теорема (принцнп максимума Понтрягинаа). Если (х( ), и( )).есть оптимальный процесс для задачи (1) — (3), то найдутся множители Лагранжа Х,=р,)О, Р( )ЕКС'(11„г11, 11"), р=(р„..., ц,),не равные нулю одновременно и такие, ипо выполнено уравнение Эйлера лей. (1, х(1), х(1), и(1))=Е,,(1, х(1), х(г), й(1)), (12) принцип леаксимума (11) и условие трансверсальности '~'„'Р~ «(1) х(1) а(1)) ~1 1ь ( 1) д„(х(го) «(11)) й=0,1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
