В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин - Оптимальное управление (1979) (1155777), страница 14
Текст из файла (страница 14)
В итоге получаем 3га. -4ЛЕ„(т, х(т), х(т))+ ~ о(3/Л)й т .= — $ЛЕ. (т, х(т), х(т))+о(Л). (7) Сопоставляя (6) н (7), находам ф(Л) — ф(О)=Л(Е(т. х(т), х(т)+с)— — Е(т, х(т), х(т)) — сЕ. (т, х(т), х(т)))+о4Л). (6) Такам образом, функцня ф( ) имеет в точке Л О правую производную ю'(~.о)= н '"' '"'- =Е(т, х(т), х(т)+с) — Е(т, х(т), х(т)) — сЕ. (т, х(т), х(т)). Но если х( ) доставляет сильный минимум,то б(хл( ));ге ~Я(х(.)) и, значит, юр' (+О) = 1(щ (~р (Х) — ю (0)) 7Х,В О, ьге т. е.
выполнено соотношение 8(т, х(т), х(т), х(т)+$)= =Е(т, х(т), х(т)+$) — Е(т,х(т), х(т))— — $Е„(т, х(т), х(т)) ) О (9) для люботя ь с К. Функция 8((, х, у, г)=Е((, х, г) — Е((, х, у) — (г — у) Е„((, х, у) называется функцией Вейер трасса. Таким образом, доказана следующая Теорема (необходимое условие Вейерштрасса для сильного минимума). Для того чтобы экстремаль х ( ) ~ Сз ([(„(Д) просгпейигей задачи классического еариационного исчисления (2) достаеляла сильный минимум, необходимо, чтобы для 76 любого тЕ[1„1,1 и любого $ ь К было выполнено нера- 8(т, х(с), х(т), х(т)+ ~) =1. (т, х(т), х(т)+$)— — 1,(т, х(т), х(с)) — К„(т, х(т), х(т)) ) О. 1.4.5. Изопериметрическая задача к задача со старшими производнымн. Изопериметрической задачей (с закрепленными концами) в вариационном исчислении называют обычно такую задачу: Р, (х( )) = ~ ), (1, х, х)й1 — ех1г, ы Ю, (х( )) = ) 1, (1, х, х) й( = ы„( = 1, ..., т, ы х(1,) = х„х(1,) =х,.
Предполагается, что функции 1, удовлетворяют тем же условиям, что и Ь в и. 1.4 1 они сами и их част- ные производные по х и х нейрерывны по совокупности переменных. Для простоты ограничимся случаем т=1. Теорема (необходнмое условие экстре- мума в нзопериметрической задаче) Пусть функция х( ) доставляет локальный (относительно про- странства О(1(„Я) экстремум в задаче 7,(х(.))=~1,(1, х, х)Н- ех1г, Ю,(х( ))=~~,(1, х, х)Ж=-ао х(1)=хо 1=0, 1 (1') н и при этом функции Ф ь (,„(1, х(1), х(Е)) и (м1 „(1, х (1), х(1)) принадлежат С'(~1„1Д). Тогда найдутся числа Й„Л„, не равные нулю одновременно и такие, что для интегранта Е = Х,1, + ьй' „выполнено уравнение Эйлера — — Ц (1, х((), х(1))+Е„(1, х(1), х(1)) = О.
(2) Доказательство. А) Аналогично тому, как это было проделано в начале доказательства теоремы п. 1.4.1, 77 вычисляем первые вариации функционалов о, и у, по Лагранжу: с, 67с(х( ), х( ))=~(рс(Г)х(Г)+с)с(Г)х(с))йс,(=0,1, (3) сс где рс(г)=с,.;(1, х(г), х(г)), дс(г)=[„(г, х(с), х(г)), Возможно одно из двух: или 67, — = О, Ух( ) ~ Е С'([Г„(с)), х(Г,) = х(Г,) =0 или 63,~ О. В первом случае по теореме п. 1.4.1 — — „", [,„(г, х(1), х(г))+1,„(г, х(г), хг)=(о) предоставив читателю проверить, что они непрерывно дифференцируемы в окрестности нуля, причем =67с(х( ), х( )), -+ — =бйс(х( ), у( )).
Лемма. Для любой х( )ЕС'([с„(с1) такой, испо х (Гс) = х (Г,) = 0 д,(сс* Р) дс, до. да ' дй дяде ~Ь дй дд 6У,(х(.), х( ° )), 67,(х( ), у( ))~ 63 ( ( ) ( )) 67 ( ( ) у( ))! са. ю (4) Д о к а з а т е л ь с т в о. Если определитель (4) Ф О, то отображение (сс, 6) с (ф,(а, с1), ф,(сс, 6)) переводит некоторую окрестность точки (О, 0) на некоторую окрестность точки (ф,(0, 0), ф,(0, 0)) (соответствующую теорему об обратном отображении мы уже использовали в п.
1.3.2). В частности, найдутся такие сх и б„а, следовательно, и допустимая функция х( )+схх( )+бу( ), что фс(сс, р)= = — у,(х( )+схх(.~+6у(.))=3,.(х( )) — е, где е>0, а 78 и, положив Хс=О, кс=1, немедленно получаем (2). Б) Пусть Ьу,чмО и, значит, существует функция у( ) ЕС'([Г„Гс1), у(Г,)=у(1,) =О, для которой вариация 67,(х( ), у( )) ~ О. Рассмотрим функции двух переменных фс(сс,~))=дс(х( )+гсх( )+бу( )), 1=0, 1, <р,(и, !3) =<р,(0, 0) = 6,(х( )) =и,.
Это противоречит тому, что х( ) доставляет локальный минимум в задаче (1). ° В) Из равенства (4) имеем 62,(х( ), х(.)) — '("„' " ' ) 62,(х( ), х( ))=0 аз, (х ( ), у( )) (знаменатель здесь по предположению отличен ст нуля). Полагая ),=1, Х,= — 62,(х( ), у( )) /67, (х(.), у( )), убеждаемся, что А,62,(х( ), х( ))+Х,67,(х( ), х( ))— = О (5) для любой х( -) ЕС" ([1„1,1), у которой х((,) =х(1,)=0. Легко видеть,' что левая часть (5) имеет вид ~ ((Д Ро(()+7 р~(()) х (()+() очи(()+1Л (()) х(()) г(1- Применяя основную лемму вариационного исчисления, получаем уравнение — — „' ().,р, (()+).,р, (1))+(Х,д, (1)+1„4, (1)) = О, совпадающее с (2).
Я Задачу (1') впервые рассмотрел Эйлер в своей знаменитой работе 1744 г. Там же методом ломаных было, получено соотношение (2). Собственно говоря, это и составляло основное содержание работы. Несомненно, в ней уже содержатся начала метода множителей Лагранжа. В заключение бегло рассмотрим задачу со старшими производными: Р(х(.))= ~ ~(1, х,х,х,...,х<"')~(г- ех1г, и хсо(Г,)=х[, 1=0, 1, 1=0, ..., и 1. За подробностями отошлем читателя к [21 или [31. Эту задачу будем исследовать в пространстве С ([(„г,1) функций, непрерывных вместе с производными до порядка и на отрезке [г„гД. Функцию 7 и ее производные по х, х, ..., хьо будем предполагать непрерывными по совокупности переменных. Пусть х ( ) — функция, подозреваемая на экстремум, Вычислим первую вариацию 79 функционала по Лагранжу: с4/ « ««с*сс,*ссс-((хссс*"сс)с.
ссс ГдЕ р (1)= — (с, Х(1), ..., Хс"С(Г)). Из условия локальной экстремальности вытекает, что Ы(х( ), х( ))=О, если только хм'(г;)=О, Е О, 1, 1'=О, 1, ..., н — 1. Интегрируя (7) по частям (предоставив читателю сформулировать нужные требования иа гладкость ру( )), преобразуем первую вариацию к виду с~/ « с«с*с с,*с сс=((вс — сссс со)*с сс с с О и, применив обобщение основной леммы классического ваРиацнонного исчислени Я на слУчай фУнкций из С" (1 1„1«1) с услови ями х'с ' (1,) = О, с = О, 1, 1' = О, 1, ..., и — 1 (это обобщение также предоставляем продумать читателю), получим, что необходимым условием экстремальности х ( ) является выполнение следующего уравнения, называемого уравнением Эйлера — Пуассона: л ( — 1)7 ~ — „С ) — „((, х (1), х (1), ..., хио (Г)) О.
с=в $1.5. Задача Лагранжа и основная задача оптимального управления 1.5.1. Постановки задач. Важным этапом в историй естествознания явилось сочинение Жозефа Луи Лагранжа «Аналитическая механикаэ, опубликованное в 1788 г. В частности, трактат Лагранжа сыграл исключительную роль и в развитии вариационного исчисления. Именно там была поставлена следующая задача на условный экстремум: Р(х( ))=11(с, х(1), х(1)) с(1- ех1г, с« Ф(с, х(с), х(1)) =ОезФ (1, х(1), х(())* О, 1=1, ...,щ, х(с«) = х„х(1,) =х,. Здесь х( ): (г„г,) $Р, 1: й х й" х й" 11, Ф: Кхй'х)с" К . Задачу (1) и различные ее модификации, связанные с дополнительными ограничениями (другими граничными условиями, дополнительными интегральными соотношениями и т. и.; см.
также 1.2.б), стали называть впоследствии задачей Лагранжа. Для решения задачи (1) Лагранж использовал тот основной прием, о котором говорилось в п. 1.3.2,— правило множителей. Впрочем, оно не было им аккуратно обосновано, и потребовалось более ста лет для того, чтобы придать рассуждениям Лагранжа вид строго доказанной теоремы. Отметим два наиболее важных частных типа ограничений, охватываемых общим выражением (2). Ограничение Ф(1, х) =О, когда функция в (2) не зависит от х, называется в вариационном исчислении фиговым.
В механике фазовые ограничения называют также гояономными связями. Другой случай — когда соотношения (2) можно разрешить относительно производных х. Тогда зто ограничение записывается в форме уравнений х=ф(1, х, и), х( ) г( 1 ~ рп и(,) ~1 ( ~ Яг р Я~срп~рг Кл Переменные х( ) здесь называют фазовыми, переменные и( ) — управлениями. Этому важнейшему случаю мы н уделим основное внимание. Точнее говоря, будем рассматривать далее задачу Л (х ( ), и (.)) = = ) 1(1, х(1), и (1)) а1+ф,(х($,), х (11)) — ех!г, (1') ь х — ф (1, х, и) О, ф (х (1,), х (1,)) = =0(взф(х(10), х(Ю,))=0, 1=1, ...,в) (2) Прн этом в (1'), (2') ~ У вЂ” К, ~Г У вЂ” й", ф: Яг- К', где У и Яг — открытые множества в пространствах Кх х К" х 1с' и 1с" х К" соответственно. Моменты времени 1, и г, будем считать здесь фиксированными.
Ограничение х — ~р (1, х, и) = 0 называется дифференциальной связью, ограничения ф(х(1,), х(1,))=0 называются граничными или краевыми условиями. Задачу (1'), (2') будем называть задачей Лагранжа в понтрягинсной форме. Все функции ), ~р и»р предположим непрерывно дифференцируемыми. Далее в гл. 1У будет рассмотрен еще более общий случай, когда Г«и 1, также могут меняться, допускаются изопериметрические ограничения типа равенств, неравенств и т. п. Задачу (1'), (2') будем рассматривать в банаховом пространстве У= С' ([«„Г,1, 1«") х С ([1,, «,1, 11") Иначе говоря, будем рассматривать пары (х(.), и(.)), где х ( )— непрерывно дифференцируемая и-мерная вектор-функция, а и (.) — непрерывная г-мерная вектор-функция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
