В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин - Оптимальное управление (1979) (1155777), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Если 1п1 3(х ( )) < 1п1 3(х( )), то найдутся такая кс с кусочно-гладкая х( ) н такое )] >О, что Ю(х( )) ( < ]п1 3 (х( )) — 1]. Пусть тн ('=1, 2..., т,— точки разс, рыва производной х и а)(=х(т(+0) — х(т,— 0) — ее скачки в этих точках. На замкнутом ограниченном множестве ус= ((1, х, х)11,<1<1„]х — х())~< ~< шах]а)(16е)4, ]х — х(1) ]~< шах]с)(])2) непрерывная функция Е ограничена: ]Е(1, х, х)~(М.
Функция (б) непрерывна, а ее производная при 1=0 имеет скачок зе/( в т('а личины — 1. Поэтому функция Ьа [ — (~, график которой 6 получается из графика а( ) подобным преобразованием и сдвигом (рнс. 22) также непрерывна, н ее производная непрерывна, кроме точки т(, где она по-прежнему имеет скачок — 1. Теперь нетрудно проверить, что функция м хь (Е) = х (1)+ ~',лА еба ~:~!) т=! непрерывна вместе со своей производной на [1„1,], причем хь(Е)нмх(1) вне отрезков. ! [т,— 6, те+6]. В частно- гЕ-Р ге сти, для достаточно малых б эти о!гренки не перекрываются, хь(уе) = = х(Е!) х„1=0,1, и ~хь(1) — х(1) ~» шах! о!~6/4, ! хь (1) — хе (Е) ! < шах ! Ь„)Е2, ибо согласно (б) ] а (1) ) «» 1Е4, )а(Е) ! ~ 1/2.
Поэтому при 6 < 6, 7 (ха ( )) — й (х ( )) = т, с, =*] Е(Е, хь(Е), хь(1))йг — ]Е(Е, х(Е), х(Е))йг= Са тт+Ь вЂ” (Е(1, хь(1), хь(Е)) — Е(Е, х(1), х(Е)))йг ! 1 ! и, следовательно, з (хь( ))~(й(х( ))+4тбМ < < 1п(Р(х( ° )) — т)+4тбМ < 1п1 Р(х( )), с с если б достаточно мало. Так, как хь( ) ~Ст([г„гт]), мы пришли к противоречию. При малых б функция хь( ) будет удовлетворять неравенствам (3), если х( ° ) им удовлетворяет. Отсюда следует второе утверждение лем- мы. Третье утверждение очевидно.
° Сл едет в и е. Если 'функция х( ) Е С'([г„гт]) достав- ляет в задаче (2) абсолютный или сильный минимум (мак- симум) в пространстве С'([Ее, Ет]), то она обладает тем же свойством и в пространстве КСт([Е„Е,]). Проведенное нами расширение иа самом деле не всегда оказывается достаточным. Кроме того, пространство КСт([у„гт]) не является полным (относительно метрики, определяемой левой частью (3)). Более естественным было бы расширение задачи на класс йрт„([г„гт]) функ- ций, удовлетворяющих условию Липшица ).
Но это по- !) Отметим, однако, что и при этом расширении мм ие получим существования в примере Гильберта! функция Ев-ь Еч. условию Лип- шица ие удовлетворяет. ув требовало бы некоторых сведений из теории функций. Есть н еще одна важная конструкция расн1ирения простейшей задачи, которую мы здесь обсудим на примере. Пример Больца. Рассмотрим задачу 1 л(х( ))=)((1 — х')'+х')сИ- 1п1, х(0)=0, х(1)=$. е Допустим, что $ = О. Тогда ясно, что решение задачи не существует. Действительно, нижняя грань функционала равна здесь иу .Д бы нять это, достаточно рассмотреть минимизирую- ~ щую последовательность Рис.
23. функций из КС'([О, 11): х„(1)=~э)дпз(п2ппМт, п=1,2, ... (рис. 23), о Функции х,( ) равномерно стремятся к нулю и х'„(1) =-е1, за исключением конечного числа точек, т. е. 2(х„(-)) = 1 = ~х'„(1)Ж- О. С другой стороны, если х,( ° ) О, то а 3 7(х,( ))=1, а если х( )НЬО, то Я(х( ))) ~хЧт>0. о Дело в том, что функционал 2 не полунепрерывеи снизу — мы устаног~м вили, что в любой близо- сти от функции х,( ) = О, где функционал принима- ет значение единица, есть -1 Р У и функции, где значение функционала значительно меньше(з (х„( ) — О).
Так вот, возможно «полу- непрерывное снизу» расширение задачи, когда функционал з заменяется функционйлом ~(х( ))= !ип Я(х( )), и й(ч 71 а сам запас первоначальных функций (скажем, С»([(„(»1) или КС'([(„(»1)) остается прежним. Предельный переход у( )- х(.) понимается здесь в пространстве С([(„г»1) (т. е. в смысле равномерной сходимости). Оказывается, что функционал ~ допускает простое описание.
В примере Больца Я (х (. )) = ~ (((х' — 1)+)'+ х') й(, о где [ О, 1х!«1, В общем случае, когда и б(х( ))=~ Е((, х, х)йг, и У (х ( )) = ) Е ((, х, х) й(, и где Š— «овыпукление» Б по х, т. е. функция х — 1. (1, х, х) есть наибольшая выпуклая д»ункция, не превосходящая функции х — Б((. х, х). Это утверждение называетср теоремой Боголюбова Этот же пример Больцз можно использовать для по- строения задачи (2) в которой минимум достигается на кривой с изломом. Однако по чисто техническим сообра- жениям мы рассмотрим несколько иную задачу: б(х( ° )) = ! (7(х)+х»)йг 1п(, х((») =х„х(() =х„(6) 1 ° где функция (и — 1)', и в1, ) (и) = ((~ и ~ — 1)+)' = О, ~ и / «1, (и+ 1)', и — 1 непрерывно дифференцируема и выпукла (рис.
24). В частности, график 1(и) лежит не ниже любой своей касательной, т. е. всегда ) (о) = '! (и)+1'(и) (о — и). Поэтому для любых двух функций х(.), х( ) е КС' ([1„(Д), удовлетворяющих заданным граничным условиям х(1,) = =х(8,)=х„(=0, 1, имеем Ю(х( )) — 7 (х(.)) = 1 (Р (х(г)) — ((х (г))+х~(г) — «х (г))пгв и ~ ~ ()- (х(()) (х(г) — х(1))+ с, + 2х(1) (х(() — х(1))+(х(() — х(1))') й и с, ) $ ([' (х (1)) (х (Ф) — х (Г)) + 2х(1) (х(() — х (1))) сЫ.
с Предположим теперь, что х( ) во всех точках диффен- цируемости удовлетворяет уравнению Эйлера — 1' (х (1))'= 2х (1). (7) Интегрируя по частям на каждом отрезке непрерывности х( ), получаем й (х( )) — 7(х( )).. ))( — г~ (щ.~-2 я)( з) — 2д))ю~4. +,'Е~[~'(х(т, +0) — )'(х(т,— 0)) (х (т,) — х(т,)) =О, если в дополнение к (7) функция р(() =('(х(()) (импульс) непрерывна. Таким образом, функция х( ), удовлетворяющая уравнению Эйлера, условию непрерывности р ( ° ) Н краевым условиям, является решением задачи (Б). Например, х(()=е1'1 с изломом в точке (=О является решением этой задачи для 1,= — 1, 1,=1, х,=х,=е. Действительно, (е', 1= О, 73 откуда (х(1) ~ ) 1 и, значит, ( 2(е« вЂ” 1), 1)0, ( 2( — е-'+1), 1< О, скачка в точке 1= О не имеет: р (+0) = р ( — 0) = О. Кроме того, — р(Ф) =2е1' !=2х(1), так что уравнение Эйлера удовлетворяется.
1.4.4. Игольчатые вариации. Условие Вейерштрасаг. Понятие сильного экстремума ввел в вариационное исчисление Вейерштрасс. Для доказательства необходимого Рис. 25. условия сильного минимума Вейерштрасс, употребил специальные вариации такого вида (рис. 25, а) ( Р+(1 — т)$, гб~т — 1. Ю й (г) ~ (~' * ~) ( ~х — (1 — )Ц~)., г~~т, +Р').1, (1) х. (1) =х(1)+йх(1). Производная вариации йх( ) имеет вид, изображенный на рис.
25, б. Эта производная несколько напоминает иголку, в связи с чем подобные вариации называют «игольчатымик Игольчатые вариации приспособлены к исследованию задач на сильный экстремум. Перейдем к выводу необходимого условия Вейер- штрасса, Рассмотрим простейшую задачу классического вариационного исчисления и Ю(х( ))им ~Е($, х, х)Ж (п(, х((,) хю х(уг)=хз (2) ь на классе КС'((г„(г1) кусочно-гладких функций. Пусть х( ° ) — экстремаль, подозреваемая на сильный минимум; -для простоты будем считать ее гладкой. Следуя общему замыслу метода вариаций, рассмот- рим функцию (Л) =~(хь(.)) =~( ( ° )+йь( )), (З)' где Йь определено формулами (1), т — внутренняя точка 1(„Ц, $ — произвольное число.
Для достаточно малых Л ) О функция хь ( ) допустима в задаче (2), т. е. хд((,)=х((г)+)гь((,) х„(=О, 1. Функция ф() определена при неотрицательных Л. Докажем, что она днфференцнруема справа в точке нуль Из определения (1) сразу видно, что а) 1ЬЬ (.) 3 е — — 1пах (й Ь Я ( = О (Л), гепа г г (4) а) ~йд(Г)) =с уЛ =О()уТ), ГЕ(т, к+У'Л). Отсюда т ф(Л) — <Р(0)=* ~ (Е(Г, «Ь(Г), х(Г)+й) — Е(Г, «(Г), х(Г)))ШЛ- т ~ХГ + ~ (Е (Г, х „(Г), хх (Г)) — Е (Г, х (Г), х (Г))) о( 'Лег+ Лье. (о) Интеграл лат в (5) можно оценить так: 'лед Л(Е(т.
х(т), х(т)+ч) — Е(г, х(т), х (т)))+о(Л) (6) (надо воспользоваться теоремой о среднем нз дифференциального исчисления, см, п. 2.2.3, и оценкой (4а)). Для оценки второго интеграла Льз представим разность Ь=Е(Е х(М)+йд(Г), хЯ+йх(Г)) — Е((, х(Г), х(Г)) а виде Ь=Е«(Г, х(Г), хЯ)йд(Г)+Е. (б «(Г), х(Г))йа(Г)+о(.~Г) (опять-такн надо прнмеянть теорему о среднем н оценку (4б)), проннтегрнруем второй член по частям н воспользуемся тем, что — — Е +Е„~ „=О б к (нбо х( )-вкстремаль).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
