В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин - Оптимальное управление (1979) (1155777), страница 17
Текст из файла (страница 17)
ь)о Поскольку по лемме и. А) х (С) непрерывно диффереипнруема по Х, в первом члене применимо обычное правило дифференцирования под Знаком интеграла, а во втором воспользуемся теореюй о среднем, после чего с, Х'(+0)=~)х(С, ХЯ, И(С)) — ХЬ(С)~ й+ + Ипг [с(с, хь(с), и) — с(с, х(с), й(с)) ь)о сс ~ Сх (С, х(С), и(С)) р(С) с(С+С(т, х(т), о)-С(т,' х[т), й(т)) (24) (здесь мы воспользовались тем, что т — Х~с~т и потому с — ьт; хь(с) — -ьх(т) в силу первого утверждения леммы п, А); р(С) обозна. чает то же, что и в этой лемме, далее, р(.) удовлетворяет системе (Б), ° р( ) удовлетворяет сиг стеме (9).
Поэтому жрЯюЯ=рЯрЯ+рЯрЯ- -.— р(су~. (с) р(с)+). (с) р(с)+р(с) ф. (с) р(с)-7.(с) р(с). Интегрируя это равенство в пределах от т до Сг и учитывая краевое условие (7) для р( ) н условие (!О) для р( ), получаем с, ЙЯиЯбс= ( — [р(с) у(О) й=рЯрЯ~ пй = — р(т) [~р(т, х(т), о)-~р(т, х(т), й(т))). (25) Сопоставив (24), (25) н (23), получаем, что Х'(+0)=а(т, и). ф В) Завершение доказательства. Если правый конец свободен, то в силу леммы и.
А) всякая влемен- тарная вариация допустима (при достаточно малом Х). Значит, если (х( ), и( )) — оптимальный процесс, то при малых Х л(хь( ), иь( )) ~ Ю (х( ), и( ))ез)((Х)~)((0) =Ф)( (-[-0)а0. Применив лемму п. Б) получим, что условие а(т, п)~0 необходимо для оптимальности (х( ), и( )).
Но т~ 7, и и Е 11 были произвольны. Мы доказали, следовательно, что для любого 1, принадлежащего множеству точек непрерывности управления й( ), и для любого и ЕП выполнено неравенство РЯЧ(1 х(1), и) — 1(1, х(1), и)( ~~Р(г)ф(1, х(1), й(1)) — )(Е, х(Г), й(1)), равносильное неравенству а(1, и) ~ 0 и (11). Теорема полностью доказана. й 1.6. Решение задач Задачи, о которых говорилось в начале главы,— задачи, поставленные с разными целями и в разные времена,— здесь будут рассмотрены единообразно, по одной стандартной схеме, диктуемой принципом Лагранжа.
Эта схема состоит из шести этапов: 1. Запись формализованной задачи и обсуждение проблемы существования и единственности решения. 2. Составление функции Лагранжа. 3. Применение принципа Лагранжа. 4. Исследование возможности 1,=0. 5. Нахождение стационарных точек, т. е. решение уравнений, вытекающих из принципа Лагранжа. 6. Исследование стационарных точек, выбор решения и запись ответа. Во всех задачах, о которых пойдет речь, принцип Лагранжа является строго обоснованной теоремой либо уже доказанной, либо доказываемой в последукхцих главах.
Применимость единой схемы к задачам столь разного содержания подчеркивает универсальность этого принципа. Разумеется, рассматривая другие задачи, исследоваТели могут столкнуться с ситуациями, которые не подходят ни под одну из известных конкретных схем (классическое вариационное исчисление, оптимальное управление, линейное программирование и т. п.). Тем не менее и здесь принцип Лагранжа в том или ином его понимании может оказаться верным или, по крайней мере, может быть полезным ориентиром.
Понимание общих идей и ситуаций, в которых он применим,— о цих речь пойдет в гл. 1П и 1Ч вЂ” может помочь найти необходимые условия экстремума и в измененной обстановке. Впрочем, не менее важно отдавать себе отчет и в том, что принцип Лагранжа верен не всегда, и потому опасно применять его бездумно.
1.6.1. Геометрические экстремальные задачи. Здесь решены все задачи, поставленные в п. 1.1.2 и формализованные в п. 1.2.2. Первый этап предложенной схемы предполагает обсуждение вопроса о существовании реше'ния. Геометрические задачи этого пункта конечномерны, и существование решения в них обеспечивает следующая теорема. Теорема Вейерштрасса. Пувть функция 7': К"- 11 непрерывна и для некоторого а множество .У ~=(х~~(х)(сс) непусто и ограничено. Тогда решение задачи 1 (х) 1п1 суи1ествует. Дока з а тельство этой теоремы очевидным образом следует из классической теоремы Вейерштрасса о существовании минимума непрерывной функции на ограниченном н замкнутом подмножестве в Кн [14, т. 1, с.
176, 370), [9, т. 1; с. 234), ибо множество х„7', очевидно, замкнуто. Переходим к решению задач. Задача Евклида о вписанном параллелограмме. Эта задача была формализована так (см. (1) п. 1.2.2): 1. ), (х) = х (х — Ь) — (п1, 0 ( х < Ь. Мы опустили несущественный множитель Н1Ь и свели задачу к задаче минимизации. Функция 7', непрерывна, отрезок [О, Ь) ограничен и замкнут. По теореме Вейерштрасса решение задачи существует. Пусть это решение х. Ясно, что х чь 0 и х ~ Ь, ибо ), (0) =1, (Ь) = О. а функция принимает и отрицательные значения.
Значит, хЕ(0, Ь). Функция 7,— гладкая. Поэтому надо искать стационарные точки в задаче 1,(х) (п1. 2 — 5. Д (х) = 0 ~ х = Ы2. 6. В силу единственности стационарной точки х= =Ь,26[0, Ь] есть решение задачи, т. е. искомый параллелограмм АЬЕР характеризуется тем, что ! АР(=( АС р2, т.е. Р есть середина отрезка [А, С). Этот факт и был установлен в п, 1.1.2 геометрическим путем. П р и м е ч а н и е. Наша задача оказалась элементарной гладкой задачей. Поэтому функция Лагранжа не 95 Я„, = 0 =о Х, ( х,— $,) + Х,х„'а,' = О, .У„, О~ Х«(х,— $,)+ Х,х,(а«= О. 4.
Пусть й«0. Тогда Х,чьО (множители Лагранжа не равны нулю одновременно!). Значит, из 3-го этапа следует, что х,=х,=О~~,(О, 0) 1,(х„х,) Очь1. Итак, 1,чь0, и можно положить ь«=*1. Обозначим прн этом А =А. 5. (Для простоты ограничиваемся случаем, когда йд,чьО). 1=1,2иОХ, — ', 1 1, 2, М («1+А) (х, — $,) + Ах~~а«, О, Подставляя в уравнения эллипса, получаем выписывалась и пп. 2 — 5 «слилисыь Была использована теорема Ферма (п. 1 3.1). Задача Ар хи меда об изопифанных сегментах шаров (и. 1.2.1).
Решение здесь совершенно аналогично задаче Евклида и поэтому приводится без комментариев, 1. 1,(А)=на/2 — па«(3 зпр; 0(й()гса~л. 2 — 5. )1 (Ь) = 0 ио й = ~' а/2л. б. Значение 1«в нуле равно нулю, а в точке 1~нот меньше, чем значение в стационарной точке )' а!2л. Значит, Ь=)'а(2я есть решение задачи. Вспомнив, что а= 2пЯ, получаем А=Я, т. е. искомый шаровой сегмент является тлуи«аром (высота равна радиусу). Задач а А полл они я о кратчайшем расстоянии от точки до эллипса. Она была формализована так (см.
(5) и. 1.2.2): 1. 1,(х„ х,) = (х, — а,)' + (х, †,)« - ш1; 1, (х„ 'х,) (х,Га )«+(х,(а,)«=1. Эллипс — ограниченное и замкнутое множество, функция 1, непрерывна, значит, решение х=(х„х,) по теореме Вейерштрасса существует. Функции ), и 1,— гладкие. 2..У = А«((х, — $,)'+(х, — $«)')+ Х, ((х„(а,)'+ (х«(а«)' — 1). 6. Число стапионарных точек задачи (т. е, точек, соответствующих тем Х, которые удовлетворяют уравнению'(1)) не больше четырех (см. рис, 26, неравенство !р(О)=Ц~а»-~-Ц~а1) 1 показывает, что ф(Х) изображена для точки ($„$э), лежащей вне эллипса), Для р/Я) полного решения задачи надо решить уравнение (1), получить Х„ найти со- 1 ответствующие точки ! ! х (Х/), подставить этн точ- ! ки в / и найти наимень- ! ! ! шее нз полученных чисел. П р н меч а н н я.
1. Задача 1 — это гладкая зада- ! ча с ограничением типа ра- к« ./г/ 0 А т венства. В пп. 2 — 5 применялось правило множителей Лагранжа (п. 1.3.2). 2. Соотношения (х/ — $/)+ьл,/а»,=О имеют очевидный геометрический смысл: вектор $ — х, соединяющий точку $ с минимальной точкой х, пропорционален вектору-градиенту функции ~, в точке х, т.е.
вектор $ — х лежит на нормали к эллипсу. Этот факт был установлен впервые Аполлонием. 3. Выведем из полученных нами соотношений уравнение кривой, «разделяющей» те точки $, к которым можно провести две нормали, от точек, к которым можно провести четыре нормали.
Очевидно, что это разделение происходит для Х, удовлетворяющих соотношению (1), для которых й»а» »» $ ф'(Х)= — ' — — « — ' — =О. ХЕ( — а,', — а»). (2) (а»»+Х)» (А+А)~ Из (2) имеем а,'+ Х А (й,а,) /', /4+ Х вЂ” А ($»а») /', где А = (а, '— а»»)/(($,а,) /*+ Д»а,)'/'). Подставляя в (1), получаем уравнение разделки»з1ей кривой (э»а») /'+(а»а ) /'= (а»» — д») /' 4 в. и. а»»««»е» ° аэ. 97 Это — уравнение астроиды (см. рис. 7 в $ 1.1). Вне астроиды каждая точка имеет две нормали, внутри нее — четыре, на самой астроиде — три (за исключением вершин', где имеется две нормали).
Описанный здесь результат также был получен Аполлонием в его «Конике». Задача Кеплера о вписанном цилиндре (см. (3) в п. 1.2.2). Решение этой задачи подобно решению задачи Евклида, н мы его не комментируем. 1. )«(х) = х(х' — 1)- ш1, 0(х» '1. 2 — 5. Д(х)=0=;>Зх'=1=ьх=)~'ЗуЗ. 6.
В силу единственности стационарной точки в (О, 1), х=)ГЗуЗ есть решение задачи: искомый цилиндр характеризуется тем, что отношение его высопи«2х к радиусу )' 1 — 'х«равно )' 2. Задача о преломлении света. Эта задача была поставлена и решена методом Гюйгенса в п. 1.1.3. Здесь мы даем стандартное решение ее, восходящее к Лейбницу (см.
(4) в п. 1.2.2). 1. 1«(х) =):«г«+ х'Уо, +)Гр'+($ — х)«(о, — 1п1. Все лебеговы множества .У,( непрерывной функции Г« компактны, и, значит, по теореме Вейерштрасса решение задачи существует. 2 — 5. 1'(х) «О=о х $ — х ««« с11' и«+»' с«)' й«+Я вЂ” х)' мп~р, в!и ч« ва — =— с« с« (см. рнс. 19 в п. 1.2.2); 6. Точка х, удовлетворяющая последнему уравнению, единственна (проверьте(), значит, оиа и является решением задачи. Итак, точка преломления луча света на границе двух сред характеризуется тем, что отношение синуса угла падения к синусу угла преломления равно отношению скоростей распространения света в соответствуюи(их средах. Это и есть закон Снеллиуса. 3 ад а ч а Ш т е й н е р а.
Она была формализована так (сй. (5) в п. 1.2.2): 1«(х)=!х — $„)+(х — $,)+~х — $,( — 1п1, хЕК«, $; Е й«, ( = 1, 2, 3, ( х ( = $»х'„+ х',. Решение задачи существует по теореме Вейерштрасса (проверьте!). Возможно одно из двух: либо решение совпадает с одной из точек $о 1 = 1, 2, 3, либо не совпадает ни с одной. Будем решать задачу в последнем случае. Тогда функция будет гладкой в окрестности точки х (проверьте!). б. Уравнение (3) означает, что три единичных вектора, смотрящие из х в сторону $о $„$, соответственно, в сумме равны нулю. Значит, эти векторы параллельны сторонам равностороннего треугольника, и, следовательно, величины углов $,х$„$,х~„$,х$„под которыми из точки х видны стороны треугольника, равны 120'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
