В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин - Оптимальное управление (1979) (1155777), страница 24
Текст из файла (страница 24)
)', определяемое формулой б,г" (х; й)= =- Р' (х; й), называется первой вариацией отображения г" в точке х (про функцию г" мы говорим в этом случае, что она имеет в точке х первую вариацию). 137 Если 6+(х, — Ь)= — б+(х, Ь) при всех Ь, иначе говоря, если для любого Ь ЕХ существует предел г(х+Щ-Р(х) ь.в х то отображение Ь~-~6Р(х; Ь) называют первой вариацией по Лагранжу отображения Р в точке х (см. п. 1.4.1).
Определение 3. Пусть Р имеет в точке х первую вариацию и при этом существует линейный непрерывный оператор Л Е.У(Х, У) такой, что 5+Р(х; Ь)= — ЛЬ. Тогда оператор Л называется производной Гата отображения Р в точке х и обозначается Рг(х). Таким образом, Рг(х) — это такой элемент из .У(Х, У), что для любого Ь ЕХ при й) 0 выполняется соотношение Р(х+ЬЬ) = Р(х)+ЬРгЬ+о(Ь).
(4) Несмотря на внешнее сходство соотношений (2) и (4), между ними есть глубокое различие. Как мы увидим ниже, уже для Х=11' функция, дифференцируемая по Гато, может не быть непрерывной. Дело в том, что в разложении (4) о (Ь) не обязана быть равномерной по Ь. О п р е де л е и и е 4. Пусть в окрестности точки х отображение Р можно представить в виде Р (х + Ь) = Р (х) + Л (Ь) + сс'(Ь) )! Ь ~~, (5) где ЛЕ.У(Х, 1') и 1пп 1а(Ь)1=1)а(О)11=0, 161-~ 0 ' (6) Отсюда легко следует, что производная Фреше определена однозначно (для производной Гато это очевидйо, посиольку однозначно определение производных по направлению), ибо равенство ((Л,Ь вЂ” Л,Ь1=оЦЬ1) для операторов Л;Е.У(Х, 1'), 1=1, 2, возможно лишь при Л,=Л,.
138 Тогда отображение Р.( ) называют дифференцируемым по Фреше в точке х и пишут РЕ0'(х). Оператор Л называется производной Фреше (или просто производной) отображения Р в точке х и обозначается Р'(х). Соотношения (5) и (6) можно записать еще н так: Р (х+Ь) = Р (х) + Р' (х) (Ь) + о Я Ь /!). (7) Наконец, на языке е — Ь (5) и (6) формулируются так: для любого е > О найдется Ь > О, при котором для всех й таких, что 1й) < Ь, выполняется неравенство ) г (х+й) — г (х) — Лй',! -.
е1й!). (8) Это делает естественным дальнейшее усиление. О п р е д е л е н и е 5. Отображение Р называют сирого диффгрендируемым в аочке х (и пишут Р ~50'(х)), если существует такой оператор ЛЕ.У(Х, )'), при котором для всякого е > О найдется такое Ь > О, что для всех хг и х„УдовлетвоРЯющих неРавенствам ) х, — х1 < Ь, ~х,— х1< Ь, выполняется неравенство 1Г(х,) — Р(хх) — Л(х,— х,)( =.е((х,— х,(!. (9) Полагая в (9) х,==х и х,=х+й, получаем (8), так что строго дифференцируемая функция дифференцируема также и по Фреше и Л=Р'(х).
Производная Р'(х) (Гаго, Фреше или строгая) по определению является линейным отображением из Х в )'. Значение этого отображения на векторе йЕХ мы будем часто обозначать Р' (х) 1й). Для числовых функций одного переменного (когда Х=)'=К) пространство У(Х, )')= =.У (й, (т) линейных непрерывных отображений из К в К естественно отождествляется с й (линейной функции у=йх сопоставляется ее угловой коэффициент й). Именно в этом смысле в элементарном анализе производная в точке — это число (угловой коэффициент касательной), а соответствующее линейное отображение.из К в й — это дифференциал йу=р'(х)с(х (здесь с(х и ду — элементы одномерного векторного пространства К). Хорошо известно также, что для функций одного переменного определение 3 (или совпадающее с ним в этом случае определение первой вариации по Лагранжу) и определение 4 эквивалентны (функция имеет производную в точке тогда и только тогда, когда в этой точке она имеет дифференциал) и прйводят к одному и тому же понятию производной, введенному по сути дела Ньютоном и Лейбницем.
Определение 2 применимо здесь к функциям, имеющим в точке х обе односторонние производные, не обязательно совпадающие. Для функций нескольких переменных (1 < б(ш Х < со) в элементарном анализе употребляются определение 1 (если й — единичный вектор, то (3) зто обычное определение производной по направлению; если й — базисный вектор оси ОХ„, то заменив в (3) л)О на й — О, получим определение частной производной др,'дх„) и определение 4 (существование полного дифференциала).
Обобщение понятия производной на бесконечномерные пространства было стимулировано задачами вариационного исчисления. Определение первой вариации ЬР(х; й), ее обозначение и название дал Лагранж. На языке-функционального анализа зто же определение было дано Гато, а потому первую вариацию по Лагранжу иногда называют дифференциалом Гато. Требование линейности в определении производной Гато стало общепринятым после работ П. Леви. Наиболее употребительио в анализе (как конечномерном, так и бесконечномерном) определение производной Фреше, однако для многих целвй (в частности, и для наших дальнейших) существования производной Фреше в точке не хватает, надо чуть больше. Это и привело к понятию строгой дифференцируемости. П р е д л о ж е н и е 1. Между определениями 1 — 5 и непрерывностью функции имеют место следующие импликации: лслссрыднорвь слгаеес м нилрерь~биасвв в слссслнцсии мсгссл ни одна из которых не может быть обращена. До к аз а тельство.
Положительная часть доказательства (т. е. существование импликаций) немедленно следует из определений, а отрицательная (невозможность обращений) подтверждается набором коитрпримеров, подробный разбор которых предоставляется читателю в качестве упражнения. 1) 2 не влечет 3: ~,: К- К, 1',(х)=~х~. В точке х=О вариация нелииейна. Тот же пример показывает, что из непрерывности з точке не следуетднфференцируемости по Фреше илн Гата. 2) 3 не влечет 4: Г,: (са — т(, ~ 1, х,=х.'„х, > О, ( 0 в остальных точках.
Этот пример показывает, что функция может быть диф- ференцируемой по Гато (в точке (О, О)), не будучи не- прерывной. 3) 4 не влечет 5: Г,: К- К, ) х', х рационально, 1 О, х иррационально. В точке х= 0 эта функция дифференцируема (по Фрея)е)„ но не строго дифференцируема. йй) У п р а ж и е и и я.
Е Покажите, что функция йр На — й, определяемая в поляр. нмх координатах на йа равенством )4 (х) г соа ЗЧ (х (хт ха) (г сов Ч г яп 'р)) имеет в точке (О, О) первую вариацию по Лагранжу, но не днф- фереицируема по Гато. х. Если фуииция Р~5В'(х), то в некоторой окрестности точки х она удовлетворяет условию Липшица. 3.
Если числовая (Х =У=К) функция г"е5)зт(х), то Р'(к) существует почти во всех точках некоторой окрестности точки х. Предложение 2. Если отображения РР () — У', 1=1, 2, и А: (У вЂ” .2'(г', Е), где Х вЂ” нормироганное ли- нейное пространстго, дифференцируемы г смысле одного из определений 1 — 5 (одного и того же для всех трех ото- бражений), то: для любых ат~ ж, 1=1, 2, отображение Р а,Р,+а,Р, и точке х дифференцируемо г том агг смысле, причем Р'(х) =а,Р;(х)+а,Р;(х), или Р'(х; И) * а,Р((х; И)+а,Р'„(х; И); отображениг г точке х дифференцируемо г том же смысле, причем Ф'(х; И)= А'(х; И) Р;(х)+А(х) Р;(х; И).
доказательство непосредственно получается иа определений. Я 141 В частном случае, когда Х=)я и А: У- .У()', 14)=1'*, Ф (х) = <А (х), Р, (х)> — числовая функция, и пдследнюю формулу можно переписать так: <А(х), Р,(х)>'~„; =<А'(х), Р,(х)>+<А(х), Р;(х)>, что вполне соответствует обычной формуле дифференцирования. Приведем два простейших примера вычисления производных. 1) Аффинное отображение. Отображение А: Х вЂ” г" одного линейного пространства в другое называется а4финным, если существует линейное отображение Л: Х- г' и константа аЕ)' такие, что А (х) = Лх+а. Если Х и 1' — нормированные пространства, а Л Е.У(Х, х'), то отображение А строго дифференцируемо в любой точке х и при этом А'(х) =Л. Это утверждение проверяется непосредственно. В частности, если А линейно (а=О), то А'(х)1й)=А(Ь), а производная постоянного отображения (Л = О) равна нулю.
У,пр аж не н не 1, Докажите обратное. если производная (достаточно в смысле Гато) отображения А Х вЂ” +К существует в каждой точке хЕХ и для всех х одна и та же, то А — аффиниое отображение. 2) Пол илии ейное отображение. Пусть Х и У' — линейные топологические пространства, а .У" (Х, 1')— линейное пространство непрерывных полилинейных отображений декартова произведения Х"=Хх... хХ в 1'. Напомним, что отображение П(х„..., х„) называется похилинейным, если прн каждом 1 отображение х,н-иП(х„..., х, „х„х,е„..., х„) линейно.
Если Х и т' нормированы, то непрерывность П равносильна ограниченности, т. е. конечности числа !~П!/= зпр !!П(хы ..., х„)//. (10) 1к,Ц< Ц,зхн1С 1 В этом случае .У" (Х, )') является нормированным линейным пространством с нормой (10) и выполняется 142 неравенство 1П(х„..., х„)1«())П)Яхт)...))х„(. (11) Функция Я„(х)= П(х, ..., х) называется формой степени и (при а=2 квадратичной, при а=3 — тернариой), отвечающей полилинейному отображению П. Из определений вытекает, что и 0„(х+й)=1~„(х)+~~' П(х, ..., й, ..., х)+о(!й))'), (12) а потому (;)„( ) дифференцируема по Фреше в каждой точке х и Г); (х) )й~ =,~ П (х, ..., й, ..., х) (13) (в обеих формулах (12) и (13) в 1-м члене суммы аргумент й стоит иа г-м месте, а остальные аргументы равны х).
Если отображение П симметрично, т. е. П(х„..., х,) не меняется при любой перестановке аргументов х„то (13) превращается в Я„' (х) (й1 = пП (й, х, ..., х). В частности, если Х вЂ” вещественное гильбертово пространство со скалярным произведением ( ) ), А Е.У(Х, Х) и П (х„х,) = (Ах, ) х,)„то Я, (х) = (Ах (х) — квадратичная форма оператора А — дифференцируема и Я; (т) [й) = (Ах ~ й) + (Ай ( х) = (Ах+ А*х ) й), так что (;);(х) естественно отождествляется с вектором Ах-1-А*х.
НапРимеР, дли Яа(х)=",а(х)х)= — т/а))х~)' пРоизводная Я'(х)=х. Упражнение 2 Покажите, что Яа(х)=П(х, ..., х), где ПЕХа(Х, У) строго дифференцируеиа при всех х Более сложный пример доставляет Предложение 3. Пусть (т'<=.У(Х, У) — множество непрерывных линейных оператпоров А: Х вЂ” У, для которых существует обратный оператор А т Е.У(У, Х). Если хотя бы одно из пространств Х или 1' банахово, то (У открыто и функция Ф(А) = А-' дифференцируема по ФрешевлюбойточкеА Б(), причемФ'(А) 1Н1= — А 'НА '. )43 Д о к а з а т е л ь с т в о. Если пространство Х бакаево, то ряд,'5, '( — А 'Н)" сходится в Я(Х, Х) прн '1Н/~< а=а <1А-т1-т н, как нетрудно проверить непосредственно, (А+Н) ~ ~~", ( — А-'Н)" т(-т =1„, 1 а=о ! Ф ~~.'~ ~( — А 'Н)"А ' (А-(-Н)* 1».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
