В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин - Оптимальное управление (1979) (1155777), страница 25
Текст из файла (страница 25)
а=о Следовательно, (А+Н) '= ~ ( А-гН)аА"-а (14) а=о при 1Н1<'1А т( ', 'так что В(А, 1А '~/ т)~П н П от- крмто. Если пространство )г баиахово, то (!4) следует заме- нить на (А+и)- =А'- ~ч"„( — НА- )и. а-в Далее, нз (14) имеем $(А+ Н)-~ — Х-'+ А-'НА-' ~~= (~' (1А-'Ц~Н1)а//А т'й = ( — А- Н)аА- 1А-т (а т у)в ! — 1А-'11н1 прй Н вЂ” О, а следовательно, функция Ф(А)=А ' дифференцируема и ее производная трреше Ф' (А) (.1 = = — А- ( )А'-'. ° Уп р аж и еи и е 3. Докажите, иго Ф(А) строго ииффереиии. руана в любой точке АЕУ.
2.2.2. Теорема о суперпоаиции дифференцируемых отображеиий. Теорема о супе рпозиции. Пусть Х, )', Я— нормированньге пространства; (I — окрестность точки х и Х, У вЂ” окрестность точки у в 'и'; гр: (г Р, гр(х)=у; ф: У- Я; ~=фи ср: (( — Х вЂ” суперпозиния отображений фиф. 144 Если ф дифференцируема по Фреи«в в пючкв у, а «р в точке х дифференцируема по Фреи«е (дифференцируема по Гата, имеет первую вариацию или имеет производную по направлению й), то ) обладает в точке х тем же сво«1стеом, что и «р, и при атом ( (х) = «)«(у) о «р (х) (1) или 1'(х й) =ф'(у) Ь'(х; й)1.
(2) Если 9 строев ди4ференцируема в у, а «р строео дифференцируема в х, то ( строев диф4еренцируема в х. До к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим подробно дв» крайних случая — производную по направлению и строгую ди ренцируемость. ) По определению производной Фреше ф(У) = «Р(У)+«Р'(У) 1У вЂ” У)+а(У)1У вЂ” У1,' где Игп а (у) а (у) О. е у Если существует ~'«д В) И вЂ” « — — =Ы вЂ”.' — —, «г (х+ М) — «г (х) . «г(х+ )е«)-в х)о х«о то 1пп ( (х+ Ха) — ( (х) . «) («(«'(х+ )«(«)) — «) (««) =у~в х)о х«о «(«'(у) («г(х+Хь) — у)+и(«г(х+Ы)1«р(х+И) — у1 Ь)е «.п~ <~«««.м>>н хам?="~«- =ф'(у) [«р'(х й)1+с«(уИ!ж'(х' )«П~ = ф'(У)(«Р'(х; й)1, что и доказывает (2). Б) Обозначим для краткости А«=«р'(х), А,=ф'(у).
По определению строгой дифференцируемостн для любых 145 е, > О, е, >О найдутся такие б, > О, б, > О, что ) х,— х!)<б„,((х,— х), '< б,=О) гр(х,) — гр(х,) — А,(х, — х,))( (е,!!х,— х,!!, (3) ))у,— у(! < б„$у,— у) <б, ~И(у,) — ф(у,) — А, (у,— у,Н!( (е, (/ у~ — у,(. (4) Для любого е > О подберем в, > О н е, > О так, чтобы выполнялось неравенство е,) А,)+е,) А„)'+е,е, < е; по этим еп е, найдем б, >О, б, > О так, чтобы имели место соотношения (3) н (4), и наконец положнм б Ш1П ~б1 (А ) Если теперь ) х, — х ~! < б н ~( х, — х ( < б, то в силу (3) ) р(х,) — р(х.и~-= (/~<р(х,) — ф(х,) — А, (х„— х,)//+!/А,(х,— х,)//( (е,(х,— х,!!+!!А,Цх,— х,//=()А„'!+е,)~/хт — х,).
(5) Полагая в этом нераденстве поочередно хт — — х н х,=х, получаем ((гр(х~) — <р(х)(=(~<р(х~) — у) < ЦА~()+е1)б((б„ так что для у; = ~р(х,) справедлнво (4). Используя теперь (4), (3) и (5), получаем ~~(х,) — ~(х,) — А,А,(х,— х,)!1( ((/ ф (ср (х,)) — ф (гр (х,)) — А, (<р (хт) — ~р (х,)) !!+ + !! А, (~р (х,) — (р (х,)) — А,А, (х~ — х,К! (е,!!~р(х,) — <р(х,) 1/+$~А,~Ц<р(х,) — гр(х,) — А (х,— х,)~~( ( е, (~/ А, !!+ е,) !/ х, — х, ~!+(/ А, )) е, ) х, — х, !(= =(е,!/А,~,'+е е,+//А,!/е,)(х,— х,//:е!)х,— х,~, что н означает строгую днфференцнруемость р в точке х.
Полагая в этих рассуждениях х,=х, х,=х+й, мы получим доказательство теоремы для случая днфференцнруемостн <р по Фреше. Остальные утверждения получаются анализом уже доказанного равенства (2). ° Следующий контрпрнмер показывает, что теорема о суперпозиция не имеет, вообще говоря, места, если ф днфференцируема лишь по Гато. 146 П р и м е р. Пусть Х = У = К', Я = й; ср(х) =(<у,(х,, х,), ср,(х„х,)) =(х,', х,); 1 при у, = у'„у, > О, ( 0 в остальных случаях (ср. с контрпримером в доказательстве предложения 1 и.
2.1.1). Здесь ~р дифференцируема по Фреше в точке (О, О) и даже строго (проверьте!), ф дифференцируема по Гато в (О, 0), однако функция 1 прн х,=)х,~>0, ( 0 в остальных случзях не дифференцируема по Гато в (О, О) (и даже не имеет в этой точке производных по направлениям Ь=(1,1) и Ь=( — 1,1). Следс та не.
Пусть Х и У вЂ” нормированные про- странства. (7 — окрестность точки у в У, ~: У- К диф- ференцируема по Фреше в точке у и ЛЕ.2Г(Х, У'). Тогда ~оЛ: Л-'(У) К дифференцируема по Фреше в точке х=Л-'(у) и (~ о Л)' (х) = Л' (~' о А) (х). (б) До к аз атель ство. В соответствии с определениями К о Л) (х) = )' (Ах) 7' (у) Е .У (У, К) = У' (~ о Л)'(х)=~'(Лх) о А=7"'(у) о А~Я(Х, К)=Х', Теперь имеем для любого Ь Е Х чЛ' ()' о Л) (х), Ь> = Я' о Л) (х), ЛЬ> = )' (у) 1ЛЬ1 = = (~' (у) о Л) Ь = <~' (у) о Л, Ь> = Я о Л)' (х), Ь>, чем доказано (6). 2.2.3.
Теорема о среднем и ее следствия. Хорошо известно, что для числовых функций одного переменного справедлива теорема Лагранжа, называемая также те оремо й о среднем з паче ни и или формулой конечных приращений: если функция ): '1а, Ь1- Й непрерывна на отрезке (а, Ь) и дифференцируема в интервале (а, Ь), то существует точка с ~ (а, Ь) такая, что ~ (Ь) — 7 (а) = ~' (с) (Ь вЂ” а). (1) 147 Нетрудно убедиться также в том, что формула (1) остается справедливой н для числовых функций )(х), аргумент которых принадлежит произвольному линейному тополо- гическому пространству. В этом случае [а, Ь]=[х(х=а+1(Ь вЂ” а), 0((ч.1», аналогично определяется интервал (а, Ь), а диффереици- руемость можно понимать в смысле Гата.
Полагая Ф(г) =Г(а+1(Ь вЂ” а)), мы сводим доказательство к случаю одного вещественного переменного. Совсем не так обстоит дело для векторнозначных функций. П р и м е р. Пусть отображение )-: В В«определяется равенством Г(1) =(з!п1,— соз1). Тогда для каждого 1 существует (строгая) производная Фреше г' (1) (докажите!): Г (1) [а»=(созг, з)п1)а=(асов(, аз1п1). В то же время для любого с ~ (2п) — ~(0) = 0 ть Г (с) [2п — 0~ = (2л созе, 2п з1пс), так что формула (1) не имеет места.
Можно заметить, однако, что сама формула (!) используется в анализе много реже, чем вытекающая нз нее оценка 1)"- (Ь) — /: (а) ( ( М ) Ь вЂ” а (, где М = зпр ) ~' (х) (. Мы покажем сейчас, что в этом более слабом виде утверждение распространяется уже на случай произвольных нормированных пространств. По традиции оно сохраняет название '«теорема о среднем», хотя, конечно, должно было бы именоваться чгеоремой об оценке конечного приращения». Т е о р е м а о с р е д н е м. Пусть Х и У вЂ” нормированные линейные пространства и открытое множество П с: — Х содержит отрезок [а, Ь». Если функция Г: У вЂ” У дифференцируема но Гата е каждой точке хЕ[а, Ь», то Ц(Ь) — »(а)»( зпр»Г(с)»»Ь — а».
(2) ««пьЧ Доказательство. Возьмем произвольно у»~У и рассмотрим функцию Ф(1) =<у', Г(а+1(Ь вЂ” а))>. В каждой точке отрезка [0,1] эта функция имеет Левон правостороннюю производные: Ф' (() = 1(п) Ф (' а) Ф (0 = а)О 1(а+((-и) (Ь-в))-/(а+( Ь-а)) ) а]Π— Я ° 1- ( (а ( (Ь вЂ” а) -а (Ь вЂ” а)) — 1 (О + ( (Ь вЂ” а)) ) = — (у', 1т а(О а = — <у', г'(а+((Ь вЂ” а)) [ — (Ь вЂ” а)]>= <у', 1" (а+1(Ь вЂ” а)) [Ь вЂ” а]>, и аналогично Ф;(()=1(п] +" =<у'.
Р'(а+((Ь вЂ” а))[Ь вЂ” а]>. а]О Так как эти производные. совпадают, то Ф(() дифференцируема (в обычном смысле) на [О, 1], а потому и не. прерывна на том же отрезке. По формуле Лагранжа существует такое 8й(0, 1), что <у', Г(Ь) — )(а)>=Ф(1) — Ф(0) =Ф'(8) = =<у', Г(а+8(Ь вЂ” ))[Ь- ]Э. Воспользуемся теперь следствием 1 из теоремы Хана— Бенаха (п. 2.1.3), согласно которому для любого элемента у Е 1' найдется линейный функционал у' Е Г' такой, что )у"(=1 и <у', у>=')у).
Выбрав именно так функционал у' для элемента у=((Ь) — $(а), получаем '1((Ь) — ):(а)1(=<у', ~(Ь) — ~(а)>= <у', 7' (а+8 (Ь-а)) [Ь-а]> чЯ а !(у'((11'(а+8(Ь вЂ” а))(Ц!Ь вЂ” а(а- зпр !~~'(с)])Ь вЂ” а[, гв(а, ь) что и требовалось доказать. ° 'Приведем несколько следствий из теоремы о среднем. Следств не 1, Пусть выполнены все условия теоремы о среднем и Л Е.У(Х, 1'). Тогда 11(Ь) — г(а) — Л(Ь вЂ” а)]~ зпр )/)'(с) — Л)((Ь вЂ” а~,'.
(3) св(а, Ь] Доказательство. Применим теорему о среднем к отображению д(х) =( (х) — Лх. ° Следствие 2. Пусть Х и )' — нормированные пространства, У вЂ” окрестность точки х в Х и отображение иа ~: У )' дифференцируемо по Гата в каждой точке х Е У. Если отображение х э(г(х) непрерывно (в равномерной операторной топологии пространства Ы (Х, У)) в точке х, то отображение г строго дифференцируемо в х (а следовательно, и дифференцируемо по Фреи»е в той же точке).
Доказательство. По заданному и ~ О найдем Ь >О так, чтобы выполнялось соотношение !!х — х]! <Ь вЂ”.ь!Уг(х) — 7г(х)!! < (4) Если !(х,— х! <6 и )/х,— х']<6, то для любого х=х»-1- + !(Ха — х,)Е[х„х»Д,О<!<1, и!! х — х !! = )$х, +» (х, — х,) — х !! = = ]!» (х,— х)+(1 — ») (х» — х) [< < !!!х„— х!!+(1 — 1))/х» — х!! <»Ь+(! — !) Ь = Ь, так что в силУ (4) !!)г(х) — 1'(х)/! и. Применяя следствие 1 для Л=уг(х), получаем !! 1 (х») — [(ха) — [г (х) (х,— х,) !! < ( ЗПР ))РГ (Х) — РГ(х)!!)!!Х» — Ха!!<Е!!Х» — Х,!!, ха !х„л,] что и означает строгую дифференцируемость 1 в х. ° Определение. Пусть Х н )' — нормированные пространства. Отображение Р: У- 1', определенное на некотором открытом подмножестве У»=Х.
принадлежит классу С'(У), если в каждой точке хЕ У оно имеет производную и отображение х «Р'(х) непрерывно (в равномерной операторной топологии). Следствие 2 показывает нам, что здесь можно не оговаривать, какая производная имеется в виду, Этим замечанием постоянно пользуются при проверке диффереицируемости конкретных функционалов: доказывается существование производной Гата и проверяется ее непрерывность, а это уже гарантирует строгую диффереицируемость (и, значит, существование производной Фреше). Упражнения. Пусть в условиях теоремы о среднем У=Ка и отображение х — »г (х) непрерывно в»»с: Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
