В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин - Оптимальное управление (1979) (1155777), страница 41
Текст из файла (страница 41)
1 уже несколько раз обсуждался принцип, которому соответствуют необходимые условия для задач с ограничениями. Здесь, после того как нами выделены некоторые «элементарные»'задачи, можно подвести кое-какие итоги. Рассматривавшиеся экстремальные задачи были формализованы так, что ограничения делились на две группы, первая нз которых имела вид равенств. По ограничениям этой группы составлялась функция Лагранжа. Далее мысленно ставилась задача а соответствующем экстремуме функции Лагранжа цо второй группе ограничений — по той группе, которая не участвовала в формировании функции Лагранжа. При этом оказывалось, что полученная экстремальная задача либо сама оказывалась элементарной, либо элементарными оказывались «частичные» задачи, получаемые фиксированием всех неизвестных„кроме одного.
Необходимые условия для полученных элементарных задач в своей совокупности и составляли искомый набор необходимых условий экстремума. Предоставим читателю убедиться, что все необходимые условия, о которых речь шла в гл. 1, и все необходимые условия, а которых речь пойдет далее в гл. 4, соответствуют описанной процедуре. Исключение составляют й48 задачи с неравенствами, в которых появляются допол.
нительные условия. Этими задачами мы займемся в следующем параграфе, а здесь покажем, что и они также могут быть включены в рамки описанного «принципа Лагранжаз. Пусть (для определенности) у нас- имеется задача минимизации 1,(х) 1п1; Р(х) О, ~,(х) ~ О, 1 1, ° ° ' гя (3) где наряду с равенствами встречаются и неравенства (Х и 1' в (а) †линейн топологические пространства, А: Х - К, Р: Х )').
Введением новых переменных и, приведем задачу (з) к виду 1,(х). 1п1; Р(х) О, 6(х)+и~ О, и;~0, 1=1,...,т, (а) и разобьем ограничения иа две группы, первая из которых состоит из равенств (Р(х)=0, ~,(х)+и,=О), а вторая группа — нз ограничений вида и,~О. Для задачи (з) составим функцию Лагранжа, игнорируя ограничения второй группы: .У(х, и, р', д, ")=М~(х)+ + ~ ХЯг(х)+иД+(р', Р(х)>, Х (Х;, ..., Х„),, условившись о знаке множителя Х, (в задаче Иа миннмум Х,)0, на максимум Х,а-О).
В задаче о минимизации функции Лагранжа (при фиксированных множителях) Я'(х, а, у', д, Х,)- )п1 имеется две группы перемеииыя х и и. Если закрепить переменные и=й, то получается элементарнаи задача без ограничений (гладкая, выпуклая и т. п,), и здесь можно написать нужное необхддимое условие экстремума, причем, как легко видеть; и~ в это условие не войдут. Если же фиксировать переменные х=х, то получится элементарная задача линейного программирования. Условия экстремума, написанные в соответствии с и. 3.1.2, дают нам условия аюглааглсяаил аннкоа множителей Лагранжа Х и условия дополняющей нежесткости Х;и» = 0 вэ ХД (х) = О. (2) Далее мы будем каждый раз пользоваться этой процедурой, но, если у нас имеются ограничения типа неравенств, составляя функцию Лагранжа, сразу будем писать ее укороченной: Я'(х, у', Х, Л«) = "»,' ХА (х) + с=о + (у', с (х)) — и именно такую функцию будем называть функцией Лагранжа задачи (э).
Нужно помнить только, что к условиям ее экстремума по х следует присоединить соотношения, вытекающие из (1), (2), а именно, условия согласования знаков 1; (х) ~~ О => Х, ~~ О (1') и дополняющей нежесткости Ху;(х)=0. Заметим теперь, что принцип' Лагранжа (как, напри-, мер, и теорема Ферма для гладкой экстремальной задачи) дает только необходимые условия экстремума, т, е.
выделяет множество «подозреваемых» объектов, но не доказывает их «виновности». Поэтому для полного решения задачи мы должны либо иметь в распоряжении набор достаточных условий экстремума, либо иметь уверенность в существовании решения. Первое позволит «провести экспертизу»: каждый из выделенных необходимымн условиями объектов мы подвергаем проверке на достаточность. Найдя среди них тот, который удовлетворяет достаточным условиям, мы считаем задачу решенной.
Во втором случае искомое решение (существование которого заранее известно или доказана) обязано попасть в число подозреваемых объектов, удовлетворяющих необходимым условиям экстремума. Вычисляя для каждого нз них значение функционала, мы объявляем решением тот, где это значение экстремально. Разумеется, ии тому, ни другому приему нельзя Ътдать предпочтения. Достаточные условия обычно не совпадают с необходимыми, и потому могут оставаться ио «подозреваемые», «вину» которых установить не удается (например, теоремы и. 3.1.1 не дают ответа о существовании экстремума в точке х для «плоской» функции ((х), у которой ~'»>(х)=0 при всех й). С другой стороны, даже зная, что решение существует, мы можем оказаться в затруднении, если необходимыми условиями выделяется бесконечное (или просто очень большое) множество подозреваемых объектов.
В большинстве вопросов существования решения оказывается возможным обойтись усовершенствованным вариантом классической теоремы Вейерштрасса, которую мы уже упоминали в п. 1.б.1: существование является следствием компактности множества допустимыд элементов и полунепрерывности функционала. Определение. Функция ~; Х вЂ” )ч, определенная на топологическом пространстве Х, называется полунепрерывной снизу в точке х„если !пп 1(х) =»1(х»), и прок х, сто полунепрерывной снизу, если она полунепрерывна снизу в каждой точке (ср.
и. 2.6.2), Теорема Вейерштр асса. Полунепрерывная снизу функция г': Х вЂ” К достигает минимума на всяком счетно-компактном подмножестве пюпологического пространства Х. Доказательство. Пусть А~Х вЂ” счетно-компактное подмножество и 5 — значение задачи ~(х) 1п1, хЕА, (3) т. е. 5 =! и! 1 (х). к«л По определению нижней грани мы можем выбрать минимизир)чощую последовательность задачи (3), т. е. такую последовательность точек х„~ А, что ('(х„) — Я.
По определению счетной компактности из х„можно выбрать подпоследовательность х„, сходящуюся к некоторой точке хЕ А. Ввиду полунепрерывности 1(х) ~ 1пп ~ (х«») = !нп Г'(х„) = Я » ю л м и так как, с другой стороны, г'(х) не может быть меньше значения задачи (3), ! (х) = 3, т. е. х — точка минимума. ° Следствие. Пусть )' пол унепрерывна снизу на топологическом пространстве Х. Если некоторое лебеговское множеспмо я 1 = (х ~ ~(х) а) функции Г ненусто и счетно компактно, то 1 достигает на Х своего минимума. $3.2.
Принцип Лагранжа для гладких задач с ограничениями типа равенств н неравенств 3.2.1..Формулировка теоремы. Рассмотрим экстремальную задачу: (',(х) ех1г; Р (х) = О, (,(х) чЫ О, 1 = 1, ..., т. (1) Символ ~,(х)чвО означает, что 1-е ограничение имеет вид либо 1;(х)=О, либо 7;(х)~0, либо К,(х)' О. Задачи типа (1), где Х и У вЂ” нормированные пространства, ); — гладкие функции на Х, а Р— гладкое отображение из Х в У, называются гладкими экстремальными задачами с ограничениями типа равенств и неравенств.
функцией Лагранжа задачи (1) называется функция ,У(х~ у~, 11 Я~а) = Х )чаев (х)+(у~~ Р(х)), (2) где и (2) Х=(Х„..., 3„) ~ 11"', 1„б К, у'бУ' — множители Лагранжа. Теорема (правило множителей Лагранжа для гладких задач с равенствами и неравенствами и). Пусть Х и У вЂ” банаховы пространства, У— открытое множество в Х, функции ~;: У вЂ” К, =О, 1, ..., т, и отображение Р: 0 — 1' строго дифференцируемы в точке х. Если х доставляет локальный экстремум задаче (1) и если образ 1гп Р' (х) есть замкнутое подпространство в У, (3) то найдутся такие множители Лагранжа у', ь, "ь„для которых выполняютст а) условие стационарности функции Лагранжа по х .2'„ (х, у, Х, Х,) О.
(4) б) условие согласования знаков: 1г~ О, если задача на минимум, 1,~~0, если задача на максимум, )ч~~О, 1=1, ..., т, (5) в) условия дополняюи(ей нежесткости Х;1,(х)=0, 1=1, ..., т. (б) Напомним еще, что запись ь, ~~0 означает следующее: если в формуле (1) ~,(х))0, то ь, <О, если ~г(х)(0, то Х,~)0, наконец, если ~,(х)=0, то ьч может иметь любой знак. Утверждение о существовании множителей Лагранжа, удовлетворяющих совокупности условий а) — в), находится в точном соответствии с общим приемом снятия -ограничений — об этом как раз и говорилось в последнем пункте предыдущего параграфа. Поэтому сформулированный результат мы называем еще принципом Лагранжа для гладких уадач с равенствами и неравенствами.
Доказательство общей теоремы базируется, с одной стороны, на теореме о -неявной функции из 3 2.3, а с другой — на теореме Куна — 'Таккера, т. е. в конечном счете †кояечномерной теореме отделимости. Теорема Куна †Такке была доказана нами в 3 !.3, и ссылка на нее — единственная ио существу содержательная ссылка иа первую главу в этой части книги. Привлечение теоремы Куна — Таккера связано с наличием в (1) неравенств, и оно несколько осложняет доказательство.
Случай же, когда неравенства отсутствуют, совсем прост, ио вместе с тем и содержателен и поучителен. Поэтому мы разберем его отдельно, хотя, конечно, этот случай является автоматическим следствием общего результата. При чтении следующего пункта мы рекомендуем сравнивать параллельно бесконечномерный вариант доказа. тельства с конечномерным, разобранным в п. !.3.2. 3.2.2. Правило множителей для гладких задач с равенствами.
Теорема (принцнп Лагранжа для гладких задач с равенствами). а) Пусть Х й У вЂ” банаховы пространства, У вЂ” открытое множество в Х, 1: У вЂ” й, Р: П У вЂ” функция и отображение, строго дифференцируемые в точке х, Если точка х является точкой локального экстремума в задаче )(х)- ех(г„Р(х) =0 (1) и если образ 1т Р' (х) — замкнутое подпространство в У, то найдутся такие множители Лагранжа Х, Е Й и у' Е 1", 263 для которых вьтолнено условие стационарности ййункт(ии Лагранжа: .У„(х, у*, Лэ)=ОФФ <Ле~ (х), х>+<у', Р'(х)[х(>=О,Чгх.
(2) б) Если выполнено условие регулярности отображения Р, и. е. если 1ш Р'(х) совпадает со всем пространством У, то множитель Л, отличен от нуля. Доказательство проведем для задачи на минимум. Определим отображение в' (х) = () (х) — 1(х), Р (х)), (Г: (у 1( х У. Отображение!Г, очевидно, строго дифференцнруемо в х н (Г'(х) =()ч(х), Р'(х)). Возможно одно нз двух: образ 1ш!Г(х) может совпадать или не совпадать с пространством 11 х У. А) Разберем сначала случай 1ш еГ'(х)Ф )ч х У.
К отображению (Г'(х) прнменнм лемму о замкнутости образа (п, 2.1.6). Образ 1ш Р' (х) замкнут по условию, образ 1'(х)(КегР'(х)) есть либо (О), либо 11, т. е. замкнутое подмножество 11. Значит, по цитированной лемме образ 1шет'(х) замкнут в 11хУ. Так как он не совпадает с ц х У, 1ш эт ' (х) — собственное замкнутое подпространство. Но по лемме о нетривиальности аннулятора (п. 2.1А) найдутся число Лэ н элемент у* (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
