Лебедев И.В. Техника и приборы СВЧ. Том 1 (1970) (1152176), страница 8
Текст из файла (страница 8)
В самом деле, для декартовой системы координат, согласно уравнению (2.33), составляющие электрического и магнитного полей бегущей волны могут быть записаны в общем виде: (3.1) или ~я~п ('~) яп ("У) е (3.2~ Постоянная ~, определяющая длину волны в волноводе, фазовую скорость и затухание волны, имеет согласно выражению (2.24) вид Согласно общей теории, по волноводу, не имеющему внутренних проводников, могут распространяться волны типов ТЕ и ТМ, но не может существовать волна типа ТЕМ.
Следовательно, поле внутри волновода описывается десятью уравнениями вида (3.1) или (3.2) относительно составляющих Е, Е„, О„, О„и Е, или О„ каждое из которых содержит пять независимых констант (О, $, Ч, <р, ф). Таким образом, если выписать уравнения (ЗЛ) и (3.2) для каждой из составляющих в отдельности, то необходимо найти 25 констант для волн типа ТЕ и 25 констант для волн типа ТМ.
Зти постоянные могут обыть найдены с помощью граничных условий, определяющих поведение электромагнитного поля на стенках волновода. При бесконечно большой проводимости материала стенок волновода тангенциальная составляющая электрического поля на стенках должна быть равна нулю: Для упрощения решения необходимо выбрать такую систему координат, при которой граничные условия на поверхностях проводников записываются в наиболее простой форме.
Наиболее подходящей является декартова система, ориентированная относительно волновода, как показано на рис. ЗЛ. Количество постоянных, подлежащих определению, может быть уменьшено, если учесть, что поперечные составляющие электромагнитного поля однозначно связаны с продольными составляющими. В самом деле, зная выражения для Е, и Н,, можно из уравнений (2.84) — (2.91) найти все остальные компоненты поля волн типов ТБ и ТМ. Поэтому для получения системыуравнений волн ТЕ и ТМ можно ограничиться нахождением не пятидесяти, а десяти констант. 50 (3.21у Здесь и — любое целое число, включая нуль: п=О, 1, 2, 3...
Пренебречь периодичностью тригонометрической функции в рассматриваемом случае нельзя, так как в противном случаевсе компоненты поля становятся тождественно равными нулю. Подобным же образом можно найти постоянные $ и <р. Иэ ~ оотношения (ЗЛ1) с учетом граничного условия (ЗЛ8) получаем: сов (='х — '~) = 0; (3.23). где и =О, 1, 2, 3... При определении константы у в (3.22) снова выбрано лишь одно из возможных решений, поскольку форма уравнений поля в этих случаях остается неизменной. Таким образом, с помощью граничных условий (3.17) и (3.18) удалось определить четыре постоянных — поперечные волновые числа $, ч и постоянные у и ф. Условие (3.19) не дает новых решений, в чем нетрудно убедиться, рассматривая выражение (ЗЛ2).
Постоянная 0, имеющаяся в рассматриваемых уравнениях, может быть вычислена только при наличии дополнительных условий, например, величины передаваемой по волноводу мощности. Однако для определения структуры поля величина В роли не играет, поскольку она одинаково входит в уравнения всех составляющих и определяет лишь абсолютную величину полей. Вопрос об абсолютной величине константы В будет рассмотрен более подробно в гл.
5, посвященной передаче энергии по волноводам. Постоянная распространения у определяется через ~ и ч соотношением (ЗЛ6): ~- '= — Й' + -' ( — „, + ~, ) Окончательно уравнения составляющих поля в прямоугольном волноводе для волн типа ТМ могут быть представлены в виде: (3.25)- 3.3.
УРАВНКНИЯ СОСТАВЛЯЮЩИХ ПОЛЯ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ВОЛНОВОДК ПРИ ВОЛНАХ ТИПА ТК Расчет волн магнитного типа в прямоугольном волноводе в методическом отношении аналогичен рассмотренному выводу волн типа ТМ. Воспользуемся уравнениями (2.84) — (2.87), связывающими поперечные составляющие волны типа ТЕ с составляющей Н,. Решение скалярного волнового уравнения относительно и, можно представить в виде Н. =- О, соя (сх —, ) сов (~у — ~) е~ '-~', (3.38) не предполагая, разумеется, заранее равенства соответствующих констант для волн типов ТМ и ТЕ.
Подставляя выражение (3.38) в (2.84) — (2.87), получаем: Е„= уйд ~.,' ' ',- сов(~х — ~) яп (~у — ~); Е, = — ~В, ~ ~, ''"., яп(~х — ~) сов(~~у — 4); (3.40) Н =В,Б,, ',-яп( х р) сок(~у ф); + (ЗА1) Н, = Од ~, ', сов (~х — р) яп (~у — ф). Проведенное решение показывает, что в прямоугольном волноводе в общем случае может существовать бесконечное множество волн типа ТМ, отличающихся значениями безразмерных множителей т и п. Поэтому при обозначении волны в индексе принято указывать величины т и и, т. е. ТМ, или Е „. Равенство нулю индексов т и и не соответствует каким-либо реальным волнам, поскольку согласно уравнениям (3.31) — (3.36) все составляющие поля обращаются при этом в нуль.
Следовательно, волны типов ТМор, ТМо„и ТМ о в прямоугольном металлическом волноводе не существуют. Простейшей волной электрического типа в прямоугольном волноводе является волна типа ТМ11 или Ец. Далее следуют волны типов Е1ь Ея1, Ел~ и т. д. до бесконечности. С математической точки зрения числа т и и могут иметь не только положительный, но и отрицательный знак. Однако отрицательные значения т и а не дают новых решений, так как при этом изменяется лишь знак при всех составляющих поля. Зтот знак может быть учтен при вычислении константы О, определяющей амплитуду поля в волноводе.
В уравнениях (3.39) — (3.42), как и прежде, опущен для крат~кости множитель е~"'-~'. На основании граничного условия (3.17) из уравнения (3.39) можно получить: з1п (-~у — ~) = 0; откуда (3.43) Постоянные $ и ср определяются по условию (ЗЛЯ) из (3.40): (3.45) ~=0. в (3.46) РРО ф2+ .~2 уравнения волн типа ТЕ можно переписать окончательно: Е, = Во "~ соя — х яп —,у; 'еШ . ~ 1~Ш ~~л Е = — Во — я1п ~ — х сов ~ — у1. а ~ а / 1 Е,=О; (ЗА9) — яп — х сов —," у; (3.50) — соя — х яп ~ у; (3.51) и, = — ю — ( — „, + — ", ) сов ('— ,х) сов ( — "„" у).
Из условия периодичности тригонометрических функций т и и могут быть любыми целыми числами, включая нуль. Отметим, что поперечные постоянные ~ и ч совпадают с аналогичными константами волн типа ТМ. Следовательно, совпадают и выражения для постоянной распространения у и фазовой постоянной Р, определяемые уравнениями (3.24) и (3.37). Постоянную В~ на данном этапе расчетов определять не будем, так как она не является необходимой при анализе структуры полей в волноа одах. Используем найденные постоянные. Обозначая для краткости 5 3.4. СТРУКТУРА ПОЛЯ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ВОЛНОВОДЕ ПРИ ВОЛНАХ ТИПА ТМ Под структурой поля подразумеваются распределение и форма -электрических и магнитных силовых линий в волноводе.
Обычно структуру поля рассматривают в фиксированный момент времени, как бы останавливая и «фотографируя» волну, бегущую по волповоду. Построение силовых линий можно произвести по известным уравнениям составляющих. Согласно определению, силовая линия является кривой, касательная к которой совпадает по направлению с вектором Е или Н в рассматриваемой точке.
Следовательно, в прямоугольной системе координат дифференциалы силовой линии ~Ь, ду и ~гсвязаны с составляющими поля соот1ношениями Дх !ау аг Ек Еу Ег Их д~ ~13 Ух Бу ЛГ ~3 64) Используя уравнения (3.31) — (3.36) совместно с (3.63) и (3.64), можно составить дифференциальные уравнения, после интегрирования которых получаются уравнения соответствующих силовых линий (в данном случае для волн типа ТМ). Такой метод неудобен тем, что получаемое общее аналитическое выражение силовой линии недостаточно наглядно. Воспользуемся методом непосредственного построения структуры поля в волноводе при помощи эпюр составляющих поля по ребрам волновода.
Поскольку для волн типа ТМ Н, =О, заключаем, что магнитные силовые линии являются плоскими кривыми, лежащими в поперечном сечении волновода. Напротив, электрические силовые линии имеют все три составляющие и являются пространственными кривыми. Напомним, что во всех уравнениях (3.53) — (3.61) подразумевается множитель е~ ~ '-~'~, неоднократно упоминавшийся в предыдущем изложении. Таким образом, по однородному волноводу прямоугольного се- ~ чения без потерь в принципе могут распространяться магнитные волны ТИПОВ Н10ф Н01у Н20у Н02у".~ Н11, Н12у Н21) Н22 и т д. до бесконечности. Каждая из этих волн, равно как и волны типов Е„„, существуют совершенно независимо одна от другой. Конкретные условия возбуждения того или другого типа волны, а также структура полей, физический смысл индексов т и п и другие вопросы будут рассмотрены в следующих разделах.
из того, что при о = сопя|, ~ = сопй перемещение вдоль оси г на Лх, соответствующее изменению фазы на ~, требует: Р (к+ Лх)— х ~в — ~я = г, откуда Ы = — или Аг = — '. Форма электрических силовых линий должна быть рассмотрена в двух плоскостях, так как эти линии имеют составляющие по всем трем осям. Обращаясь к уравнениям (3.31) — (3.33), для волны типа Е~~ получаем: Š— сов — 'х яп ~ у; Š— ып — х соя ~ у; Е,— уз1п — х яп ~ у.
Эпюры распределения электрического поля в поперечном и в продольном сечениях волновода показаны на рис. 3.3. Наличие 3пюрй' Е~ Заира Г~ Гпюра Е~ Рис. 3.3. Зпюры электрического поля в поперечном и продольном сечениях прямоугольного волновода при волне типа Еи множителя~ в выражении дляЕ,в сравнении с выражениямидля поперечных составляющих Е„и Е„указывает на сдвиг максимума Е, по оси г относительно максимума Е„и Ю„на —, т.е.на четверть длины волны в волноводе. Для доказательства достаточно вспомнить, что множитель ~ может быть представлен в показательной форме через е' ~ Таким образом, при составляющей Е, имеется множитель е' ~ '+ г)в отличие от множителя е'~"~ ~" у всех остальных составляющих поля. Производя очевидные преобразования и учитывая, что Р = 2д/Х„получаем' ~.В где Рассматривая эпюры, показанные на рис.
3.3, легко заключить, что электрические силовые линии в сечениях АА и ВВ целиком лежат в плоскостях, проходящих через эти оси и параллельных осиг. Продольная составляющая электрического поля, равная нулю на поверхности волновода, увеличивается по мере удаления Рис. 3 4. Структура электрического поля в прямоугольном волноводе при волне типа Е~1 ог стенки. В результате этого силовые линии выходят из плоскости жу. Соответствующее изображение электрических силовых линий в поперечном и продольном сечениях волновода показано на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
