Лебедев И.В. Техника и приборы СВЧ. Том 1 (1970) (1152176), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Математическое решение 23 где е:„е~, е — единичные векторы (орты). Если подставить соотношения (2.16) и (2Л7) в уравнения (2.14) и (2Л5), то последние распадаются на шесть независимых скалярных уравнений: 'Ч7'Е,- ~ ~'Е„=- О; '~~'-'Н + Ро„= 0; (2.28> Х = — (С, + С,) соз1х+ у' (С, — С,) я1п1х.
Последнее уравнение можно представить также в виде Х = А сов (1х — ~), (2.29) где А и <р — новые постоянные взамен постоянных С1 и Сь. Аналогичным образом получим: (2.30) У вЂ” (Сз + С4) со8 я] + / (Ся С4) 81п я/ У = В соя (~у — ф), (2.31) где В и ф — постоянные, введенные взамен констант Сз и С4. Подставим выражения (2.29) и (2.31) совместно с (2.27) в уравнение (2Л9). Тогда скаляр Ь отказывается равным Е = й, соз (1х —, р) соя (~у — ф) е~"'-я'+ == В~ соя (1х — р) соя (~у — ~) е~ '+ ~', (2.32) где 01 и Вя — новые постоянные, объединяющие А, В, С5 и Сб. Полученное решение распадается, таким образом, на два слагаемых, отличающихся лишь амплитудами и направлением отсчета по оси г. Это решение дает, как нетрудно видеть, две волны, Распространяющиеся в противоположные стороны вдоль оси линии.
Для рассмотрения свойств линии можно ограничиться анализом лишь одной из этих волн. Физически это означает, что рассматривается бесконечно длинная линия, не имеющая отраженной волны. В дальнейшем, когда потребуется учет отраженных волн, можно будет целиком воспользоваться результатами анализа волн, распространяющихся в «прямом» направлении. Таким образом, решение скалярного волнового уравнения для любой из составляющих поля бегущей волны имеет общий вид 1.' = В сои (1х — з) соя (~у — ~) е~"'-~'.
(2.33) Таким образом, с учетом соотношения (2Л9) получено решение волнового уравнения (2.18) для любой из составляющих у;~, Е~, Е„Н~, Н Н,. Представляется удобным произвести некоторые преобразования, имея в виду, что ось г выбрана в качестве направления распространения волны. Сомножители Х и У можно представить в тригонометрической форме, в то время как функцию У оставить в показательной форме.
По формуле Эйлера из выражения (2;25) получаем: Константы ~ и т~, входящие в это выражение, определяют изменение (вариацию) электромагнитного поля в плоскости поперечного сечения рассматриваемой линии. Поэтому $ и ~ часто называются поперечными волновыми числами передающей линии. Иногда при написании общего решения уравнения (2Л8) используют несколько иную форму, исходящую из выражений (2.28) и (2.30). Поскольку изменение поля вдоль осей ж и у, согласно этим выражениям, происходит по функциям синусов и косинусов, можно сокращенно записать: (2.34) В дальнейшем будем использовать обе формы записи уравнений поля, соответствующие выражениям (2.33) и (2.34) . Прп необходимости решение волнового уравнения можно записать также в виде 1. = Р (х, у) е1"'-т', ф 2.3, ФАЗОВАЯ СКОРОСТЬ И ДЛИНА ВОЛНЫ В ПЕРЕДАЮЩИХ ЛИНИЯХ СВЧ Решение, проведенное в предыдущем параграфе, показывает, что в режиме установившихся гармонических колебаний в произвольной однородной передающей линии векторы электрического и магнитного полей бегущей волны могут быть представлены в виде: Ф~' Е = Е (х, у) е~"'-~', н=н (х у)е~ ~ — т (2.37) Здесь у является постоянной распространения рассматриваемого волнового процесса.
Физический смысл ее выясняется следующим образом. Полагая в общем случае (2.38) например, для электрического поля в линии получаем: Е = Е (х, у) е — "'е~ ~"' — ~'). (2.39) где Р (ж, у) — функция распределения поля в плоскости фронта волны, не зависящая от координаты я. Такого решения в виде бегущей волны можно было ожидать даже из чисто качественных соображений, учитывая запаздывание при распространении возмущения вдоль линии. При длине волны в свободном пространстве Х, много меныпей константы Х„р, согласно выражению (2.56), длина волны в линии стремится к Х.
Фазовая скорость при этом, как показывает соотношение (2.58), стремится к скорости света с. При Х=Х„ и ~=ч, знаменатель выражений (2.56), (2.58) и (2.60) обращается в нуль. Длина волны Х, и фазовая скорость оф стремятсн к бесконечности. Наконец при Х>Х, и ~ ~, выражения фазовой скорости и длины волны становятся мнимыми. Смысл мнимых величин Х, и оф легко выявляется из выражений (2.36), (2.38), (2.40) и (2.42).
При этих условиях фазовая постоянная Р также становится мнимой, и постоянная распро- п~,~с странения у становится действительной величиной. В результате поле в волноводе затухает ОХ 1Р Л./Лю Рис. 2.3. Зависимость фазовой скорости волны в передающей линии от частоты в случае вакуумного наполнения (е = р,= Ц Рис. 2.2. Зависимость длины волны в передающей линии от длины волны в свободном пространстве в случае вакуумного наполнения линии (в=у=1) по экспоненциальному закону вдоль оси г без изменения по фазе, и распространение волны прекращается.
Следует особо подчеркнуть, что это затухание в данном случае не обусловлено потерями в волноводе, поскольку в самом начале параграфа было предположено у = ф и а = О. Таким образом, величина Х,р, введенная формально, имеет совершенно определенный физический смысл. Она является критической или предельной длиной волны, измеренной в свободном пространстве, при которой прекращается передача волн по линии в случае вакуумного наполнения (е=1, р=1).
Соответственно величина ~,р должна рассматриваться как критическая частота. рлияние диэлектрического наполнения на распространение волн будет рассмотрено в ф 5. 5. Из рассмотренных соотношений можно сделать важный вывод. условиями распространения волн по всякой линии являются неравенства (2.б1) (2.62) Диапазон волн Х>Х,р и частот ~<~,р называется областью отсечки. В этом режиме линия с волной рассматриваемого типа не может быть использована для передачи энергии. Критическая длина волны и критическая частота зависят от размеров и конфигурации проводников в поперечном сечении линии и от формы силовых линий электрического и магнитного полей. Это видно из того обстоятельства, что в основе дисперсионных уравнений лежат условия ~7~~ К+О, ~7'~ Н-Ф О. Однако величины ~,р и ~,р никак не зависят от частоты колебаний генератора, энергия которого передается по рассматриваемой линии.
Таким образом, полученные зависимости указывают на существование двух классов электромагнитных волн. С одной стороны, возможны волны, не имеющие дисперсии, для которых фазовая скорость равна скорости света и не зависит от частоты. Критическая длина волны для них равна бесконечности, критическая частота равна нулю. Условием распространения таких волн является равенство нулю лапласианов электрического и магнитного полей в поперечном сечении линии.
С другой стороны„имеется класс волн, обладающих резко выраженной дисперсией при фазовой скорости, превышающей скорость света в данном диэлектрике. Эти волны могут распространяться лишь на частотах вьппе некоторой критической частоты, являющейся константой для данной линии при данной конфигурации поля. Критерием существования таких волн является неравенство пулю лапласианов поля в плоскости поперечного сечения линии, т.
е, условие (2.51). Дисперсия волн в волноводных линиях СВЧ обладает двумя характерными особенностями. Как видно из рис. 2.3, фазовая скорость волны уменьшается с ростом частоты. Такая же закономерность, наблюдаемая в оптике при прохождении света через большинство веществ, называется ноРмальной дисперсией. Напротив, аномальная дисперсия в оптике ~~ответствует случаю, когда на некотором участке частот фазовая скорость растет с увеличением частоты. Указанные термины принято использовать также и применительно к передающим линиям 3 и.
в, лебедев ЗЭ СВЧ. Таким образом, можно утверждать, что дисперсия волн в однородных волноводах является нормальной. Можно отметить и другое обстоятельство, играющее, на первый взгляд, второстепенную роль и являющееся почти самоочевидным. Направление фазовой скорости в волноводах совпадает с направлением движения энергии.
Условимся в дальнейшем называть такую дисперсию положительной или прямой, в противовес отрицательной или обратной дисперсии, при которой фазовая скорость направлена навстречу движению энергии. Понятия положительной и отрицательной дисперсии применяют в таком виде только в технике сверхвысоких частот. Следовательно, в рассмотренных передающих линиях СВЧ (волневодах) существует нормальная, положительная (прямая) дисперсия. Напомним, что все рассуждения были основаны на предположении об однородности передающей линии. Как будет показано в дальнейшем, при некоторых условиях в неоднородных линиях СВЧ (в периодических замедляющих системах) может иметь место аномальная отрицательная (обратная) дисперсия, играющая важную роль в современных электронных приборах СВЧ. 4 2.5. СВОЙСТВА ДИСПЕРСНЫХ ВОЛН Наибольший интерес для дальнейшего изложения представляют волны с дисперсией, которые могут существовать лишь при достаточно высоких частотах.
Обратимся к особенностям структуры поля этих волн. В начале анализа общих свойств передающих линий в 5 2.1 было предположено, что существуют все шесть составляющих электрического и магнитного полей по трем осям координат. Однако следует учесть, что в обычных передающих линиях (двухпроводных, коаксиальных) и в свободном пространстве поля имеют чисто поперечный характер и продольные составляющие Е, и .И, в них отсутствуют.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
