Пупков K.A., Егупов Н.Д. Высокоточные системы самонаведения (2011) (1152001), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Бузу>цес РОссии — только в новых промышлс>н)ых и тсорстичсских тсхнОло -ийх, в са))ых оснонах которых лсжит фунламснталы)ая матсматика. >оэто)>у чатечатичс>д>ий пласт образования является гг>суларствс>33>ым 3>аг>3>тало)3 булушего . В.2. Алгебраизация методов аналитического рео)ения задач расчета и проектирования систем свмонвввдения м требования. пред)ьявлявмые к ним. Для решения одних и тех же залач. солержа- 3 ие которых опрсдсляют тактико-технические требования. Ыожст быть 'спОльзОВТИ>О насколько ь)стодОВ.
Рсализация Вычнс.титсльного э)сс>н' римепта в инженерной практике, как правило. прелполагаст ксполь)ованис числ>н>ных 3>Столов, Влался арсеналом соврсмс>и>ьж метолов вычислнтсльной матсчатикн. можно достаточен~ п(юсто Выбрать Один из известных чстолов либо адаптировать какой-либо из них к особснностйч рсшасчой задачи.
Нсобходнчо э~ать достоинстйа н нсдостатки эт>)х ь)столов, критерии, по которь>)3, исхоля из содержания задачи, Оцс)!ивастсЯ их качсство, чтОбы выбрать матов, ПОЛВОлйюц>ий получить ршцсний наиболсс эффсктийным образом. Здссь выбор далско нс олнозначен.
Он су>цествснно зависит от трсбованнй. прелъявлясмых и реше>33>я)3 всего спектра задач, от имеюц>ихся в наличии ресурсов, от доступной для использования вычислительной техники. В книге рассмотрены численно-аиалитичсскис мстоды рсшения основных залач расчета и проектирования систем. Такой подхол является основиыч В ряде ки>)г, широко примснйечых инжсисрачи в их практичсской дс>)тельности. В работе )3(7) о достоинствах аналитического расчета сказано. что наиболсс рациональный вариант рсн>сния задачи синтеза. включая выбор структуры регулятора. опрслеляется нспосрсдствснно нз условий залачн. »Когда инжснср применяет аналитичсские четоды. он идет нспосрсдственно от условий залачи к выбору регулятора.
Обсспечиваюшего максимум или минимум заданного показателя качества. При помоьпн этого метода расчет системы производится сразу, без серии пробных расчетов. Если корректирующее звено, рассчитаинос аналитически, не обсспечивает заданного качества, то инженер увсрсн, что лля данных условий задачи нс ))ожет быть найдено лучшей коррекции и необходимо либо смягчить требовании.
либо изменить условия залачи. С>>о3:обность определить несостоятельность условий залачи составляст олно из суц>сственных достоинств аналитических методов расчета». Численно-аналитическис мстолы ориентированы на широкое применение ЭВМ нри решении конкретных инжснерных залач Солержание залач расчета и просктироваиия систем управ»тания самонаводяшкхся ,')акст, структурныс схсмы которых включают нслинейныс влемснты (например, идеальные ограничители(, нестационарные звенья, а Воздсйствия и возмушсния — стохастическис процсссы, предъявляет к мстодам, являюшимся основой вычислительного эксперимента, ряд требований..
° лостаточно глубокое аналитнчссхос обоснование методов. Включаюц>ес рассмотрсние следующих положений: возможность построения алгоритмов, выяснение условий сходимости правила, опредсления скорости схолимости, нахождения оценки погрешности аг)риорной и апоствриорноЙ, Вь>работка спос~бов улуч)3)сний сходимости, если последняя окажется недостаточно быстрой: е применимость методов для рашення проблем проектирования сложных систем управления. поведение которых описывается лифференциальными уравнениями высокого порядка (система может быть залана и соотвстствующей структурной схемой) и включаю)цих су>цественно нсстационарные элементы и нелинсйные звенья, т.с.
систем в целом относится к классу нелинейных нестационарных систем (линейные задачи — емаленький )ютроНОк в оксане нелинейных проблем~); ° применимость метолов для синтеза робастных УФК в условиях параметрической неопределенности при описании систем скалярными дифференциальными уравнениями (ДУ) или системами ДУ в пространстве состояний; ° приченичость методов в детсрчинированной и вероятностной )юстановках задачи, В книге численно.аналитические методы, позволившие разрабо.
тать сдкнь)и югалитнческий аппарат исследования и синтеза систем ь классе нелинейных нестационарных систем. включая высокоточные системы самонаведс«ня. базируются на Одном идейном нс)оков схеме Л, В. Канторовича Такое же идейное содержание имеют работы М. К. Гаву,)ина (конк)хетнак с~ема Теории приближенных чегоюв). Б. Г. )алсркина (методы Галеркина-Петрова и Буб)юва-Галеркина), Гаусса, многих математиков. которые участвовали в теоретической н практической разработке техники решения задач метода нанченьюнх кпадратов, В.
И. Крылова. Г, И,Марчука, С. Г,Михлина, А А. СачарСЬОЗО и ДР. Все подходы требуют реюепия не исходно) о уравнения, а пскоторо~о другого. более простого. На)це всего системы линейных алгебраиче'ких уравнений. Это обстоятельство и положено в основу излагаемой к книге схемы, которая стала фундаментом аппарата матричных опе.
раторОВ, Приведем ключевые положения аналитического аппарата, являюзз"тося математической базой вычислительного эксперимента, который применяется для рец)ення указанного выц)е спектра задач. Рассмотрение этих положений позволит проектировсцикам уже на точ этапе получить представление об идейном содержании чатечати- )ССКОЙ базы и сделать выводы Об инженерных Возможностях вычисли- )СЛЬНОГО ЭКСПЕРНЧЕНТВ, Рассмотрим дос~аточно сложную линейную скалярную системч, поведение котОрой ОписыВается дифференциальным ураВнениеч Вида Ю п„(1) х"") ж ~ 1)ь($) ))' ), а„(1) = 1.
(В.1) Такие систечы изучаются в книгах А.В.Солодова и Ф.С.Петрока (395), Ф. А. Михайлова, Е. Д. Теряева, В. П Булекова, Л. М. Саликока. Л С. Диканова 1281), И. В. Гайд)уна 192). К. А. Пупкова, Н.Д. Егу. нова, В. Г. Конькова, Л. Т. Милова, А. И. Трофимова (276) и др., а также в большом количестве статей. Уравнение (В.1) — основная форма математической модели (ММ) элементов систем.
а часто и систем в целом. С учеточ ряда факторов, характерных для сх~мы Л.В.Канторовича, а также играюц)их суц)ествспную роль в респении спектра задач расчета и проектирования систем с соответствую)цнм математическим обоснованием. построим интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода, вквнвалентиое ДУ (В.1), Это уравнение име~т Внд (267): ~м-) ( 1)ь р х(г)+) ~ — — (о„(т)(Г - т)" ') х(г)Ит = (и - 1)1 г(т" ' ' и=о Построить точное рец)ение последнего уравнения для произвольных п и кч не представляется возможным, Обратим внимание на следую)цее: интегральное уравнение (В,2) содержит в себе полную постановку задачи. Не требующую зад~пня никаких до~одни~альных условий. начальных или граничных; В интегральных уравнениях переход От одной переменной ко многим является естественныч (в многомерном интегральном уравнении интегрирование проводи)си по многомерной Ооласти, поскольк) Оба упавнения нс требуют дополнительных условий и полностьк) определяют задачу — аналогия является полной), В дифференциальных уравнениях переход от одной переменной к носко))ькнч, т.
е, от обыхновенных ДУ к уравнениям в частных пронзвОдных„яВляется принципиальным )слОжнсннсм„приводит к новым постановкам задач и требует разработки нопых методов их рец)ения. Если записать (В.2) в операторной форме: Айз = по, то сч)ератор А„является линейным и ограниченным. что важно для реализации схечы Л. В.
Канторовича. Напомним, что оператор А„, заданный, например, в пространстве Г,'О. Т). называется ограниченным. если су)цествует такая постоянная Г;„что для всех х е С(О. Т) выполнено неравенство (!А.х!( с С. ))х)(- Еслн записать (В.2) В виде ьв = А~~х, где Вр(1) = А ~ йв(г,г) х().)ИТ, (В.З) то ограниченность оператора вытекает из оценки (212); )(Ае)~ < «Л; ~ 11в(1, )) « .
Если же представить ДУ (В,1) в форме Еул =' Ек!«, Н НФ «г' пю Ь, = ,''«««,,(11 — „, 1 к =,С ««„(«) —, — линейные диффереицналь«й"" к „! ' «««' ные операторы, то указанные операторы свойством ограниченности не попадают. В дальнейщем изложении это свойство играет ключевую роль, Рассмотрим приближенную форму ММ. Речь идет о замене огра- ниченного оператора в (В.З) конечномерным. Напомним, что линейный щюратор Л««называет«.'я апоян«' непрерывна«з«(илн комппк«пнь«ж).
если оп может быть с любой степенью точности аппроксимирован конечно- мерным. т, е. он может быть представлен в виде суммы конечномерного «щсратора н оператора с как угодно малой нормой: уг- О Ме: ~(Ае — Аь!! <е. узким образом, компактные операторы есть небольщое раси«прение конечномерных операторов. 11а зто положение необходимо обратить осооое внимание, поскольку именно оно математически обосновывает возможность перехода от уравнения (В.2) к более простому уравнению (системе линейных алгебраических уравнений), что приводит к реали- зации схемь! Л. В. Канторовича. Аппроксимация может быть реализована следующим образом. Если Ф(«) = (!з«(«),рз(«),..., «(«)...) — ортонормированный базис (Ог(Б), то разложение йь(«.
т) по ОИБ имеет вид ь'. «4(«, г) =,'! Х. с ' э-„,(«),ъ(т). ««ч ! а частные суммы последнего выражения: хз 1„", „(«,т) = К Х: с„2"'э,.(!)э«,(т), юе «««! определяют последовательность вполне непрерывных операторов. Поскольку тт э ««з (А«-л~, ~! «()) ~««««,,«-««,!««1'«««,) то операторь! А~,„„при р — ж и о - оо сходятся по норме к оператору Ае и, следовательно. представление ядра ««в(«, т) в виде суммы вырож- денного ядра и ядра с малой нормой позволяет построить конечномерны«1 оператор, играющий ключевую роль в схеме Л. В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
