Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151994), страница 7
Текст из файла (страница 7)
2.3, б). Задачи 2.1. По фазовым траекториям качественно построить временную характеристику. 0,5 0,3 0,4 0,2 0,3 од 0,2 — 0,1 0,1 — 0,2 -0,1 -0,3 -0,4 -'о -0,5 0 0,5 б) 5 0 0,5 а) 1 0,8 0,6 0,4 0,2 о -0,2 — 0,4 — 0,6 -О,8 о О,8 О,б 0,4 од о -од -0,4 8 — 0,6 -0,8 1 10 40 Гл. 2. Нелинейные сисгееиы. Метод филовой влоскосаи о -О,О5 -01 — 0,15 -0,2 -0,25 -о,з -0,35 О,О5 -О,4 'о о 1 -1 -0,5 о е) 0,5 и) 2.2.
По временной характернстике качественно постройте фазовую траекторию. 0,55 0,5 -0,5 ' 0 5 10 15 а) 5 10 б) 0,8 0,6 0,4 0,2 0 -0,2 — 0,4 — 0,6 — 0,8 20 0 15 20 5 10 г) 1 0,8 О,б 0,4 0,2 0 -0,2 — 0,4 -0,6 ' 0 5 10 15 в) О,4 О,З5 о,з 0,25 О,2 0,15 01 42 Гл. 2. Нелинейные сисаемы. Меаод Физоеой нлоскосаи 2.2.
Метод фазовой плоскости исследования систем По фазовому портрету системы можно судить об ее устойчивости и характере переходных процессов. И методом фазовой плоскости исследования систем называют метод, основанный на построении нх фазового портрета.
Достоинством метода фазовой плоскости является то, что он позволяет наглядно представить всевозможные процессы, происходящие в системе, и что он является точным, а не приближенным, как, например, метод гармонической лннеаризацни. Его недостатком является то, что он применим только для систем второго порядка. Процесс анализа нелинейных систем методом фазовой плоскости рассмотрим на конкретных примерах. Пример 2.1.
Исследовать процессы в нелинейной системе с реле с зоной нечувствительности (рис. 2.4, а). Р е ш е н и е. Система описывается следующими уравнениями: 1, е>а, у = и, е = йо — р, и = О, ~е~ < а, — 1, е<-а. Здесь задающее воздействие является постоянным. Введем новые переменные: х1 = е, хз = хь В новых переменных уравнения системы примут вид 1, х~>а, х~ =ха ха=-и, и= О, ~х~~ < а, — 1, х1< — а. Разобьем фазовую плоскость на три области 1, П, 1П прямыми х| = = а и х1 = — а (рис.
2.4, б). В пределах каждой области и = сопзФ. Поэтому, разделив в последних уравнениях второе уравнение на первое и пРоинтегРиРовав его, полУчим хзз — — — 2их~ + С. В области 1 (х1 < — а) и = — 1, н уравнение фазовых траекторий имеет вид х~з — — 2х~ + С~ н определяет семейство парабол, направленных вправо. В области П (1х1~ < а) и = О, и уравнение фазовых траекторий имеет вид хз ~— — Сз и определяет семейство прямых, параллельных оси абсцисс. В области Ш (х1 > а) и = 1, и уравнение фазовых траекторий имеет вид х~ ~— — — 2х~ + Сз и определяет семейство парабол, направленных влево.
Как видим, уравнения фазовых траекторий во всех трех областях отличаются между собой, и при переходе через границу с одной области на другую происходит переключение с одного вида траекторий на другой. Линии, на которых происходят такие переключения, называются линиями переключения. 2.2. Метод фаэоеой аеоскоста исследования сасеым 43 А х В 1 А' 11 В' Ш д) а) Рис. 2.4. На основе полученных уравнений построен фазовый портрет системы и представлен на рнс.
2.4,6. Как следует из этого рисунка, прн ненулевых начальных условий в системе возникают незатухающие колебания. Амплитуда колебаний зависит от начальных условий. Положение равновесия (начало координат) неустойчиво, так как если принять е < а, то какое бы малое положительное число 6 не выбрали, возмущенное движение, начинающееся внутри сферы радиуса 6 и не на оси абцисс, всегда достигнет сферы с радиусом е. При мер 2.2. Построить фазовый портрет и исследовать систему, представленную на рис. 2.5.
Рис. 2.5. Ре ш е н и е. Система описывается уравнениями р' = /с~а, о = с з1йпе, е = — (Изу+ р). Вводя новые переменные х~ = р, х2 = хы зти уравнения можно преобразовать к виду х~ = х2, Х2 = — й!с 81ЯП(Й2х2 + Х1). Разделив второе уравнение на первое, получим уравнение аХ2 — й! С 81$П(Й2Х2 + Х1) Йх~ Х2 Прямая АВ на рис. 2.Б, которая описывается уравнением йзх2+ х~ = О, нли х2 = — (1/аз)хи делит фазовую плоскость на две области: область 1 (йтхт+ х1 ) О) и область П (йтхз+ х1 < О). Последнее уравнение в области 1 принимает вид 1Ь2 — Й1с — = — или х2 дат = — Й1с1Ь1, гЬ1 хт в области П вЂ” вид 1Ь2 Й1С Илн Х21Ь2 й!С1Ь1.
Г(Х1 Х2 Рис. 2.6. Решив эти уравнения, получаем следующие уравнения для фазовых траекторий: в области 1 х22 —— — 2й1сх1 + С1, в области П х2 2— — 2й1сх1 + Ст. Эти уравнения являются уравнениями парабол, направленных навстречу друг другу. На основе этих уравнений построен фазовый портрет и представлен на рис.
2.6. Из этого рисунка следует, что если изображающая точка не находится на линии переключения (прямая АВ), то она до достижения этой прямой будет двигаться по одной из фазовых траекторий. Как только изображающая точка пересечет линию переключения, она попадает на одну из фазовых траекторий, направленных в сторону линии переключения. Поэтому изображающая точка опять будет двигаться в сторону линии переключения, пока она ее не пересечет. Как только изображающая точка снова пересечет линию переключения, она опять окажется на фазовой траектории, направленной в сторону линни переключения.
Поэтому изображающая точка по достижении линии переключения будет двигаться по ней, теоретически совершая колебания с бесконечно малой амплитудой и бесконечно большой частотой. В действительности, так как реле обладает конечной скоростью переключения, частота не будет бесконечно большой, а амплитуда — бесконечно малой. Таким образом, когда изображающая точка достигнет линии переключения, она теоретически будет скользить по этой линии и двигаться 45 2.2. Задачи к положению равновесия.
Такой процесс называют скользящим режимом. Системы с переменной структурой. Структура системы определяется составом элементов (звеиьев) и связью между ними. Изменить структуру системы — это значить изменить состав ее элементов или связи между элементами. Системой с переменной структурой (СПС) называют систему, в которой структура в процессе ее функционирования изменяется на основе текущей информации для достижения определенной целн— обеспечения устойчивости, улучшения качества и т.п. Использование принципов построения СПС прн синтезе систем управления позволяет достичь устойчивости и приемлемого качества в тех случаях, когда параметры объекта изменяются в широких пределах или отсутствует информация, необходимая для реализации обычных алгоритмов управления с фиксированной структурой, обеспечивающих заданные требования к системе. Задачи 2.3.
Дана система (рис. 2.7), состоящая из линейного звена с передаточной функцией И~~(р) = 5/рз н нелинейного звена, имеющего характеристику идеального звена (рис. 2.8, а) с параметром с = 2. Рис. 2Л Исследовать: а) устойчивость невозмущенного движения х(т) = О; б) характер переходного процесса. Ряс. 2.8 48 Гм.
2. Нелинейные системы. Мемед фазоеой ялоскосеги е) Ряс. 2.9 2.4. Дана система (рис. 2.7), состоящая из линейного зв а с передаточной функцией И'1(р) = 5/рз и нелинейного звена, яме~щего характеристику релейного звена с зоной нечувствительности (~йс. 2.8, б) и параметрами а = 1 и с= 2. . Исследовать: а) устойчивость невозмущенного движения.х(!) зз 0; б) характер переходного процесса.
2.5. Дана система (рис. 2.7), состоящая из линейного звена с передаточной функцией Иг!(р) = 5/рз и нелинейного звена, имеющего линейную характеристику с насыщением (рис. 2.9,а) и параметрами 6=1ис=2. Исследовать: а) устойчивость невозмущенного движения х(!) ез 0; б) характер переходного процесса. 2.6.
Дана система (рис. 2.7), состоящая из линейного звена с передаточной функцией Иг1(р) = 5/рз и нелинейного звена, имеющего линейную характеристику с зоной нечувствительности (рис. 2.9,е) н параметром а = 1. Исследоватги а) устойчивость невозмущенного движения х(!) = 0; б) характер переходного процесса. 2.7. Дана система (рнс. 2.7), состоящая из линейного звена с передаточной функцией И'~(р) = 5/рз и нелинейного звена, имеющего линейную характеристику с зоной нечувствительности и насыщением (рис.
2.9,б) и параметрамн а = 1, 6 = 2, с = 1. Исследовать: а) устойчивость невозмущенного движения х(!) гя 0; б) характер переходного процесса. 2.8. Дана система (рис. 2.10), состоящая из линейных звеньев с передаточными функциями Из(р) = 5/рз и Игз(р) = 0,5р + 1 и нелинейного звена, имеющего характеристику идеального реле с параметром с = 2. Исследовать: а) устойчивость невозмущенного движения. х(!) = — 0; б) характер переходного процесса. 2.9.
Дана система (рис. 2.10), состоящая нз линейных звеньев с передаточными функциями тг1(р) = 5/рз и гтт(р) = 0,5р+ 1 и нелинейного звена, имеющего характеристику релейного звена с зоной нечувствительности и параметрами а = 1 н с = 2. 2.2. Задачи 47 Рис. 2.10 Исследовать: а) устойчивость системы на интервале [-1, 1[; б) характер переходного процесса. Примечание.
Здесь под устойчивостью системы на интервале [ — 1,1[ понимается такое ее поведение, при котором у = О, у Е [ — 1, 1] прис ~ со. 2.10. Исследовать (а) устойчивость и (6) характер переходного процесса системы 1025, у у>0, у=и, и=-Ф-у, 1 4, у у < О. 2.11. Исследовать (а) устойчивость и (6) характер переходного процесса системы (4, у у>0, у=и, и=-ф ° у, ф= [[ 0,25, у . у < О.
2.12. Исследовать (а) устойчивость и (6) характер переходного процесса системы 5, ув>0, У" — 2У=и, и= — У.У, ~Р=~ ' ' в=у+05у, '(-3, у'<О, 2 13. Исследовать устойчивость системы 5, у а < О, у — 2у=и, и= — ф у, ф=( а=у+у. (-3, у в>0, 2.14. Исследовать (а) устойчивость и (6) характер переходного процесса системы 5, у . а > О, у — 2у=и, и=-ф.у, ф= ' ' а=у+2у, 1-3, у в<0, 48 Гл. 2. Нашнейные системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
