Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151994), страница 5
Текст из файла (страница 5)
а) б) в) г) д) е) з) и) к) определить алгоритмы управления, при которых характеристическое уравнение синтезированной системы имеет следующие корни: а) -1,-1,-1; б) -1,-2.-3; в) — 1,— !+22,— 1 — 2з; г) — 3,— 2,— 2; д) — 1, — 2+ з, -2 — з; е) -2, — 2, — 1; ж) -2, — 2+ 31, — 2 — Зз; з) -3, — 2+ з, — 2 — 1; и) — 2,— 4,— 3; к) -2, -2 + з, -2 — 4. 29 1.4. Омвел»м а) б) в) г) л) е) ж) з) н) к) Управляема, г) вполне управляема, д) не вполне управляема, е) не вполне управляема, ж) вполне управляема, з) не вполне управляема, н) вполне управляема, к) вполне управляема. 1.3.
1.4 х! = хз + и, хз = хз, хз = -4хз — 2хз — и, у = х»; х» = хз + О, 5и, хз = хз + и, хз = — 2и — 2хз — хз, у = х», х! = хь хз = хз + 4и, хз = 4хз — 2хз — х» — 1би, у = х», х» = хз, хз = хз + и, хз = 0,25и — хз — 0,5хз — 0,25х», У = Х!'* х! = х2 — 7и„х2 = ха + 28и, хз = — 4хз — 2хз — 97и, у=х»+2и; х! = Хз — 1,5и, хз = хз+4и, хз = — 2хз — хз — би, у = х! + и; х» = хз, хз = хз + 4и, хз = -0 5хз — 2х» — 5и, у=х»+2и; х» = хз, хз = хз — Зи, хз = -2хз — Зх» — 2и, у = х! + 2и; х» = хз + 8и, хз = хз — ! 2и, хз = х4 + Ьи, Х4 = Зби — 2х4 — 4хз — бх», у =х!., х! =хз+0,5и, хз =хз+и, хз =х4+0,5и.
й~ = -2х4 — хз — Зхь у = х». а) х! = хз, хз = хз, хз = — х» — Зхз — 2хз — Зхз — 4хз — хе, х4 = хз, хз = хз, хз = -Зх! — 5хз — хз — 2х4 — 4хз — 2хз; б) х! = хз, хз = хз* хз = -2хз — Зхз — 5х4 — бхз — 2ха х4 = хз, хз = хз, хз = -х» — 7хз — бхз — ЗХ4 — бхз — 4хз', в) х! = хъ хз = хз, хз = — 2х! — Зхз — 2хз — ЗХ4 — 4хз — 4хе, х4 = хь хз = хе, хв = — 2х» — 4хз — х4 — 7хз — 5ха,. г) х» = хь хз = хз, хз = -х» — Зхз — 2хз — Зхз — 4хз — хз, Х4 = хз* хз = хе, х6 = -2х» — 4х2 — х4 — 7хз — 5ха', я) х! = хз, хз = хз, хз = — х! — 2хз — Зхз — 4х4 — 5хз, х4 = хь хз = хз, хе = — х» — 7хз — бхз — Зхз — бхз — 4ха е) х» = хз, хз = хз, хз = -х» — 2хз — Зхз — 4х4 — 5хз, х4 = хь хз = хз, ха = 2хз + 5хз — 2хз', ж) х! = хз, хз = хз, хз = 2х» + 2хз — хз — х4 + 2хз, Х4 = хз, хз = хз, хз = -Зх» — 5хз — хз — 2х4 — 4хз — 2хз,' з) х» = хж хз = хз, хз = — 2хз — Зхз — 5х4 — бхз — 2ха, х4 = хз, хз = хз, хз = — х! — бхз+ Зхз + 2х4 — 2ха; и) х» = хз, хз = хз, хз = -2Х! — 2хз — 2х4 — Зхз + Бхе, х4 = хз, хз = хз, хз = — хз — х4 — 2хз — 5хе,' к) х! = х2.
х2 = хз хз = -2х4 ха+ бх6. Х4 = хз, хз = ха, хз = -х! — 2хз — х4 — Зхз — 5хз. а) вполне управляема, б) вполне управляема, в) не вполне 30 Ги Д Преоброэоеания. У аеляевость. Стабилиэ емость 1.6. а) не вполне управляема, б) вполне управляема, в) не вполне управляема, г) вполне управляема, д) вполне управляема, е) вполне управляема, ж) вполне управляема, з) вполне управляема, и) не вполне управляема, к) не вполне управляема, 1.10.
и) а = О, а = 2; б) а = О, а = О, 5; в), г), д) а = 0; е) а = =О, а=З. 1.11. а) при всех а, кроме а = 0 и а = — 2; б), в), г), д) при всех а, кроме а =0; е) при всех а, кроме а = 0 и а = 1. 0 0,25 0 0 0 0 1.12. а) 1 0,75 0; б) 1 0 2,667 4 4,25 1 1О 1 26,333 0 0 0,0833 0 0 0,333 в) 0 0,1667 0,4187; г) 0 1 1,333 1 1,333 2,75 1 6 7,333 0 0 0,2 0 00476 0 д) 0,2 0 0,4; е) 0,1429 0,0952 0 0,6 1 1,4 0,4286 0,333 1 1.13. а) б) в) г) д) е) ж) з) и) к) 1.14.
а) в) д) ж) и) х! =хз, хз=хз, ха=хе, хе= — 4х1 — 12хз — 13хз — 1бх4+и; х~ =хз, хз=хз, хз=жл, хе= — 18ж1 — 39хз — 29хз — 9х4+и; х1=хз, хз=хз, хз=хл, хе= — 10х~ — 18хз — 15хз — бхл+и; х~ =хм хз=хз. ха=хе, хе= — 12х~ — 22хз — 18хз — 7хл+и; х1=хз, ха=ха, ха=хе, хе= — 30х1 — 49хз — 31хз — 9х4+и; а=ха, хз=хз, ха=хе, хе= — бх1 — 17хз — !7хз-7хл+и; х~ =хз, хз=хз хз=хл. хл= — 12х1 -28хз-23хз-8хл+и; х~ =хз, хз=хз, хз=жл, хл = — 20х1 — 42хз — ЗОхз — 9х4+и; х1 =хз, хз =хз, хз =хл, хл = — 40х1 — 64хз — 38хз — 10хл+и; х~ =хз, хз=хз, хз=хл, хе= †7~ — 89хз — 39хз — 9х4+и.
и = †(8х~ + 12хз + 8хз); б) и = -(24ж~ + 13жз + 1!хз); и=-(16х~+бхз+8хз); г) и= — (Збх~+9хз+!2хз); и = — (20х~ + 12хз); е) и = — (18х~ + 1Зхз + 10хз); и = — (54х1+ 7хз+ 11хз); з) и = — (40х~ +бхз+ 12хз); и = — (60х~ + ха + 14хз); к) и = — (ЗОх1+ 9хз + 11хз). Глава 2 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ. МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ Практически все системы управления, строго говоря, являются нелинейными, т.е.
описываются нелинейными уравнениями. Линейные системы управления являются их линейными моделями, которые получаются путем обычной линеаризации — линеаризацин, состоящей в разложении нелинейных функций в ряд Тейлора 'н отбрасывании нелинейных слагаемых. Однако такая линеаризация не всегда возможна. Если нелинейность допускает обычную линеаризацию, то такая нелинейность называется несущественной. В противном случае нелинейность называется существенной. Существенными нелинейностями, в частности, обладают всякого рода репейные элементы.
Даже и в тех случаях, когда обычная линеаризация возможна, часто на конечном этапе исследования может потребоваться рассмотрение исходной нелинейной модели. 2.1. Особенности нелинейных систем. Определение устойчивости. Изображение процессов на фазовой плоскости Особенности нелинейных систем. Нелинейные системы по сравнению с линейными системами обладают рядом принципиальных особенностей. В частности, такими особенностями являются следующие: — не выполняется принцип суперпозиция, и исследование нелинейной системы при нескольких воздействиях нельзя сводить к исследованию при одном воздействии; — устойчивость и характер переходного процесса зависят от величины начального отклонения от положения равновесия; — при фиксированных внешних воздействиях возможны несколько, а иногда н бесконечное множество положений равновесия; — возникают свободные установившиеся процессы, которые в линейных системах невозможны (напрнмер, автоколебания); Универсальных аналитических (математнческих) методов исследования нелинейных систем нет.
В процессе развития теории автома- 32 Гя. 2. Нелингйныг системы. Метод фазовой плоскости тического управления были разработаны различные математические методы анализа и синтеза нелинейных систем, каждый из которых применим для определенного класса систем и задач. Наиболее широко используемыми методами исследования нелинейных систем являются метод фазовой плоскости; метод функций Ляиунова; метод гармонической лингаризации (ма!иод гармонического баланса); мегиодь! исследования абсолютной устойчивости и др. Любое исследование более или менее сложных нелинейных систем, как правило, заканчивается математическим моделированием.
И в этом отношении математическое моделирование является одним из универсальных (неаналитических)методов исследования. Определение устойчивости. Линейная система называется устойчивой, если общее решение однородного описывающего ее дифференциального уравнения стремится к нулю при стремлении времени к бесконечности. Очевидно, это определение нельзя распространить на нелинейные системы. Поэтому в общем случае используются другие определения устойчивости. Существует множество различных понятий и определений устойчивости. В этой книге будут рассмотрены наиболее широко используемые понятия устойчивости, основанные на определениях, данных А. М. Ляпуновым. Пусть система управления описывается уравнениями у. = К(у!, уз, ", у„, $), з = 1, 2, ..., и или в векторной форме у = х'(у,з).
(2.1) Допустим, что у'(() = (у! (() уз(()" у„"(()) — частное решение уравнения (2.1), которое описывает интересующее нас движение. Это движение н само решение называют невозмущгнным движением (траекторией). Любое другое решение и движение, которое описывается этим решением, называют возмущенным движением (трагнторигй). Принимается, что в фазовом пространстве (пространстве состояний) 11" рассматриваемой системы введена эвклидова метрика (нор; ма), т.е. длина (норма) вектора у н расстояние между точками у!') и урбопределяются следующим образом; н (!) (з)~ ~~, '( (!) (2))з г=! Если у(Ф) = (у!(8) уз(г)" у (8)) — какая-либо траектория системы (2.1), то точка в фазовом пространстве, соответствующая этой траекторий в текущий момент времени (, называется изображающей точкой. Определение 2.1.
Нгвозмущгнног движение у'(г) называется устойчивым ло Лялунову, если для любого положительного 2.Д Особенности нелинейнык систем, Определение устойчивости 33 числа г найдется такое положшпельное число б, что расстояние между изображающими точками невозмущенной и возмущенной траекторий у'(Ф) и у(ь) в любой момент времени с > го меньше г, если только расстояние между этими траекториями в начальный момент с = го меныие б, т.е. если выполняется следующее условие: 1у'(г) — у(1)~ < е, Уй > то, если 1у'(те) — у(гэ)~ < б. (2.2) Число б, которое определяется по заданному числу г„в общем случае зависит как от г, так н от начального момента 8о.
В том случае, если можно выбрать число б, не зависящее от начального момента го, говорят, что невозмущенное движение равномерно устойчиво. 0 пределе н не 2.2. Невозмущенное движение нааывается асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и существует такое положительное чисяо гЬ что расстояние между изображающими точками невозмущенной и возмущенной траекгпорий стремится к нуяю щги стремлении времени к бесконечности, если только расстояние между этими траекториями в начальный момент меныие гь т. е. выполняется следующее условие: 1у'(1) — у(т)~ — О при с — со, если 1у'(зо) — у(то) ! < гу. (2.3) Прежде чем переходить к другим понятиям устойчивости, преобразуем исходное уравнение.
Дело в том, что прн нсследованнн устойчивостн методом функций Ляпунова уравнення системы управления должны быть записаны в отклонениях, т.е. так, чтобы невозмущенному движению соответствовало нулевое решение. Введем новые переменные, которые определяются следующим образом: х = у — у'. В новых переменных уравнение (2.1) примет внд х = Х(х, с), (2.4) где Х(х,г) = х"(х+у',т) — у'(1). Прн этом невозмущенному движению системы (2.4) соответствует нулевое решение х'(г) = О.
Кроме того, нулевое решение (начало координат) является положением равновесия системы (24). Действительно, нмеем: Х(0,1) ='У(у',т) — у'(1) =О. Таким образом, прн таком преобразовании проблема устойчивости невозмущенного движения сводится к проблеме устойчивости положения равновесия. Любое ненулевое решение является возмущенным движением. l Определение 2.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
