Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151994), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Если управляемая система частично управляема, то область управляемости совпадает с подпространством, порождаемым совокупностью независимых столбцов матрицы управляемости. Это подпространство называют подпространством управляемости. 52. Улравляемость и стабиеиэируемасть объеета л авления 15 Здесь в!0 — 1-вектор, в!2! — (и — 1)-вектор, Ан — (1 х 1)-матрица, Ам— (1 х (и — 1))-матрица, А22 — ((н — 1) х (и — 1))-матрица, В1 — (1 х г)- матрица. Из структуры уравнений (1.7) видно, что вектор я(21 неуправляем, т.е. на его изменение управление ни непосредственно, ни через другие фазовые координаты, зависящие от управления, не оказывает никакого влияния. Вектор в('! вполне управляем, т.е.
его можно изменять нужным образом путем выбора соответствующего управления. Пример 1.3. Преобразовать уравнения х1 = ха+ хз+ и, Х2 = Х2 Хз =Хи Х4 — — Х2 — Х4 в каноническую форму управляемости. Решение. Матрицы А, В и их произведения АВ, А2В, АзВ имеют следующий вид: 1 0 А2В =, АзВ = 0 ' 1 0 0 Составив из этих матриц матрицу управляемости, получим 1010 у 1ВАВА2ВАзВ) 0 0 0 0 0101 0000 Матрица управляемости имеет два независимых столбца, и ее ранг равен двум.
Матрицы Т,, Т2 и Т выберем следующим образом: Т, = т=(Т,Т2]= Тогда получим 0 1 1 О 0 0 0 0 0 1 О 0 0 А =Т 'АТ= В=Т 'В= 0 ! 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 -1 0 -1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 Т,= 1 0 0 0 0 1 0 АВ = 0 1 0 1000 0010 0100 0001 1 0 0 0 1б Гл. 1. Преоб азоеания. Управляемость.
Стабиьизируемость ИспользУЯ вектоРные обозначениЯ Я1') = (з~ зз)т и в1з) = (зз зь)т, последнее уравнение можно записать в виде гь [ ь>=[ Стабилнзируемость линейиык стацмонармьзк систем. Одним из важных понятий при рассмотрении задач управления является стабилнзируемость. Управляемая система (объект) называется стабилизируемой, если существует закон управления, при котором замкнутая система асимптотическн устойчива. Определение 1А. Линейный стационарный объект х = Ах+ Вн, х е К", ц Е В" называется стабилизируемым, если существует закон управления и = Кх, при котором замкнутая система х = (А+ ВК)х асимптотически устойчива.
Критерий стабилизируемости. Для того чтобы линейная стационарная управляемая система была стабилизируема, необходимо и достаточно, чтобы она была вполне управляема или, если она не вполне управляема, матрица Ааз в канонической форме управляемости была устойчива. Пример 1А. Исследовать стабилизируемость управляемой системы, которая описывается уравнением х~ =ха+ха+и, хз =хм хз = хн ХЧ = -ХЗ вЂ” Хь.
Решение. Эта система была рассмотрена в примере 1.3 и, как там было показано, эти уравнения при преобразовании в каноническую форму управляемости принимают вид в1з)— Для того чтобы рассматриваемая система была стабилизируема, согласно критерию стабилизируемости матрица в правой части второго 1.г. задачи 17 уравнения должна быть устойчивой. Характеристическое уравнение этой матрицы имеет вид Корнями этого уравнения являются Л| г = Ы, т.е.
указанная матрица неустойчива и, следовательно, система не стабилизнруема. Задачи 1.4. Исследовать управляемость системы, которая описывается уравнением х = Ах+ Ви, когда элементы матриц. А = аг| агг аю, В = Ьг принимают следующие значения: =2, аз|=0 пи=2 азз =4 ам=3, аз|= Ь! =1, Ьг=О а|а =О, а|з =3, аг| = азз=2, Ь|=0, Ьг=! =3, аз|=1, ам=1, ам=О, ам= ага=5, Ь! =О, Ьг=О =О, аз|=1, а|г = 1, а|з = 3, аг| = азз=4, Ь! =О, Ьг=! = !. аз| = 1. ею=2, аж=1, а|и= азз — 3, Ь| — 1, Ьг — 0 а)ам=1, азг =О, б) а|| =2, азг =О, в) а|| =1, азг =2, г) а|| =1, азг = 3.
д) а|| = 1, азг = О, е) а|| = 1, азг = 3, ж)ац=1, азг =О, з) а|| =3, азг =2, ам=2, а|э=1, аз|=4, пег=3, ага=О, аз| =О, ага=2 Ь! =О. Ьг=О. Ьз=1' а|г = 1, а|з = 5, аг| = 1, агг = 2, ак| = 4, аз| = 3, азз=й, Ь| =О, Ьг=1, Ьз=О; а|г = 2, а|з = 3, аг| = О, агг = 3, агз = 4, аз| = О, азз=5, Ь| =1, Ьг =О, Ьз=О; 1, агг=2, агз Ьз = 0; 1, агг = 2, агз Ьз = 0' 3, агг = 2, агз Ь, = 1; 3, агг = 2, агз Ьз О, Ь, 18 Гл.
1. П еоброзоеания. У ляемосе|ь. Сл|абилизируемосмь и) аы =3, а|г = 1, а|з = 1, аг| — — 1, агг = 4, ав! = 5, аз| = 2 азг = О, азз = 3, Ь! = О, Ьг = 1, Ьз = 0; к) а|| =3, ам=1, а|э=1. аз|=1, агг=4, агз=О. аз| =2, азг=2, паз=3, Ь!=О, Ьг=О, Ьз=1. 1.5. Исследовать управляемость системы, которая описывается уравнениями ниях аз ующих значе =3, аз =2, = О, сг = 1; 1.6.
Показать, что система управления, которая описывается уравнением х=Ах+Ва, не вполне управляема и не стабилиэируема, когда элементы матриц А аг| агг агз В= Ьг при след а) а| с| б) а| с| в) а| с| г) а| с| д) а| с| е) а| с| ж) а| с| з) а| с| и) а| с| к) а| с| у| + а| у| + агу| + азуг + плуг = с|и, й+6|уг+Ьгуг+Ьзу|+64у! =сгн параметров: О, ал = О, Ь! = 2, Ьг = 4, Ьз = 3, 64 = 2, = 2, аг = 1, аз = О, ал = 1, Ь! = 2, Ьг = 4, Ьз = 3, Ьь = 2, = О, сг = 1; = 2, аг = 1, аз = О, ое = 0 Ь! = 2, Ьг = 4 Ьз = 3, Ьл = 2 = О, сг = 1; = 2, аг = О, аз = О. ал = 1. Ь! = 2 Ьг = 4, Ьз = 3, Ье = 2 = О, сг = 1; = О, аг = 2, аз = 2, ое = 1.
Ь! = 2, Ьг = 4, Ьз = 3, Ьл = 2, = О, сг = 1; = 3, аг = 2, аз = 4, ае = 3 Ь! = 4 Ьг = 2. Ьз = 1. Ьь = 5. = 1, сг = 0; = 3, аг = 2, аз = 4, а4 = 3, Ь! = 4, Ьг = 2, 6з = 1, Ьл = О, =1,,=0; =3, аз=2, аз=4, а|=3, Ь! =4 Ьг=2 Ьз=О Ьь=! ° = 1, сг = 0; = 3, аг = 2, аз = 4, ал = 3, Ь! = 2, Ьг = 5, 6з = О, 64 = О, = 1, сг = 0; = 3, аг = О, аз = 4, ал = 3, Ь! = 2, Ьг = 5, Ьз = О, Ьл = О, =1, сг=О.
62. Задачи 19 принимают следующие значения: а) а!! = 1, а!г = 2, аю = О, аг! = 4, агг = 3, агз =О, аз! =О, азг=О, азз=2 Ь|=0 Ьг=О 6з=1' б) ам=2, а!г=О, а!з=б, аг!=1, агг=2, агз=4, аз!=3, азг = О, азз = 8 Ь! = 0 Ьг = 1. Ьз = 0' в)а!!=1, ам=2, а!з=З, ам=О, агг=З, агз=4, аз!=О, азг = 2 азз = 5, Ь! = 1, Ьг = О, 6з = 0; г) аи = 1, агг = 2, а!з = 3, аг! — — О, агг = 2, агз = 2, аз! — — О, азг = 3, азз = 4, Ь! = 1, 6г = О, Ьз = 0: д) а!! = 1, а!г = О, а!з = 3, аг! = 1, агг = 2, агз = 3, аз! = 1, азг = О, азз = 2, Ь! = О, Ьг = 1, Ьз = 0; з) а!! = 3, а!г = 2, аю = 1, атп = О, агг = 4, аю = 5, аз! — — О, азг = О, азз = 3, Ь! = 1, Ьг = О, Ьз = 0; н) аи = 3, ащ = О, а!з = 1, аг! = 1, агг = 4, агз = 5, ам = 2, азг = О, азз = 3, Ь! = О, Ьг = 1, Ьз = 0; к) а!! = 3, а!г = 1, агз = О, аг! = 1, азг = 2, азз = 3, Ь! = О, Ьг = О, Ьз агг = 4, агз = О, аз! = 2, = 1.
1.7. Показать, что система управления, которая описывается уравнением х = Ах+ Ви, не вполне управляема, но стабилизируема, когда элементы матриц А = аг! агг агз В = Ьг пРинимают следующие значения: а) ап =1, а!г = 2, а!з =О, аю = — 4, агг = — 3, агз = О, аз! =О, азг=О, паз =2, Ь! =О, Ьг =О, Ьз =1; б) а!! = — 2, агг = О, агз = 5, аг! = 1, агг = 2, агз = 4, аз! = 3, азг = О, азз = -8, Ь! = О, Ьг = 1, 6з = 0; е) ап =1, азг = 3 ж)ам=1, азг =О, агг =1, а!з = О, агп = 3, агг = 2, агз = О, аз! =1, азз = 5 Ь! =0 Ьг =О, Ьз =1; аю = О, агз = 3, аг! = 3, агг = 2, агз = 1, аз! = 1, азз = 4, Ь! = О, Ьг = 1, Ьз = 0; 2О Гл, Д Преобразования.
Управляемость. Стабилиэируемость При синтезе систем с обратной связью управления получаются как функции от фазовых координат. В общем случае фазовые координаты не могут быть измерены непосредственно. Доступны измерению (наблюдению) координаты выходного вектора у = (у! уз " ур)т. Выходные переменные функционально связаны с фазовыми координатами, и для реализации управлений с обратной связью необходимо определить фазовые координаты по измеренным значениям выходных переменных. В связи с этим возникают проблемы наблюдаемости и восстанавливаемости, заключающиеся в установлении возможности определения состояния объекта (фазового вектора) по измеренным значениям выходного вектора на некотором интервале времени.
Пусть объект описывается уравнением х = у(х, ц, З), х б В~, (1.8а) и выходной вектор связан с фазовым вектором соотношением У=в(х,н,т), (1.8б) которое называется уравнением наблюдения нли уравнением выхода. Улравляемия система (1.8) называется наблюдаемой или вполне наблюдаемой, если суи(естеует такое с! (1 < с! < оо), что ло дан- в) ап азз г) ап азз д) ап азз е) ап азз ж) ап азз з) ап азз и) ап азз к) ап азз 1, а|з = 2, а|з = 3, аз! = О, азз = -3, азз = 4, аз! = О, 2, азз = -5, Ь! = 1, Ьз = О, Ьз = О; 1, а|з = 2, а|з = 3, а|п = О, азз = — 2, азз = 2, аы = О, 3, азз = — 4, Ь~ = 1, Ьз = О, Ьз = О; — 1, ав =О, аю =3, аз! =1, азз = 2, азз = 3, аз! =1, О, азз = — 2 Ь! = О. Ьз = 1 6з = О' -1, а|з = 1, ав = О, аз! = — 3, азз = — 2, азз = О, аы = 1, 3, лаз=5, Ь!=О, Ьз=О, Ьз=1; — 1, а|з =О, а!а =3, аз! =3, азз = 2, ая! =1, аз! = — 1, О, азз= — 4, 6!=0, Ьз=1, Ьз=О; 3, аш = 2, ао = 1, аз! =О, азз =-4, ая! — — — 5, аз! =О, 2, азз= — 3, Ь!=1, Ьз=О, Ьз=О; — 3, аш=О, а!э=1, аз|=1, азз=4, атз=5, аз|=2, О, азз= — 3 Ь! =О 6з=! Ьз=О' -3, а|з = 1, ао =О, аз! = 1, азз = -4, азз =О, аз! =2, 2.
азз = 3, Ь! = О, Ьз = О, Ьз = 1. 1.3. Наблюдаемость и восстаиавливаемость ДЗ. Наблюдаемость и еосстанавгиваемость 21 ным измерения выходного вектора у(т) и управления н(т) на интервале 1 < т < Ф~ можно определить состояние х(т). Наблюдаемость, или полная наблюдаемость, означает, что имеется возможность определить фазовый вектор х(т) по будущим значениям выходного вектора. Однако в задачах управления текущее состояние обьекта должно определяться по прошлым значениям выходного вектора, так как по текущим значениям фазового вектора формируется управление с обратной связью. Поэтому более важным с точки зрения управления является понятие восстанавлнваемости, определяемое следующим образом (7]: Наблюдвемость линейных стационарных систем. Рассмотрим линейную стационарную управляемую систему х = Ах+ Вн, х е В", н е В', у = Сх+ Вн, у е Ве.
(1.9а) (1.9о) Введем в рассмотрение матрицу [ст АтСт (Ат) -~Ст) (1.10а) которая называется матрицей наблюдаемости. Эта матрица состоит из столбцов матрицы Ст и столбцов произведений матриц А~Ст, (Ат)зСт, ", (Ат')" 'С" и имеет размерность (п х рп). НаРяду с матрицей наблюдаемости рассмотрим транспонированную матРицу наблюдаемости С СА Н т (1.106) СА" ' которая имеет такой же ранг, что и исходная матрица Н.
Критерий наблюдаемостн. Управляемая система (1.9) вполне наблюдаема (восстанавливаема) тогда и только тогда, когда ранг матрицы наблюдаемости (1.10а) или, что то же, ранг транспонированной матрицы (1.106) равен и. Определение 1.5. Управляемая система (1.8) называется восстанавливаемой, или вполне восстанавливаемой, если существует такое 1~ ( — со < 1~ < 1), что по данным измерения выходного вектора у(т) и управления п(т) на интервале Ф~ < т < Ф можно определить состояние х(1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
