Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151994), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Положение равновесия х= О системы (2.4) называется устойчивым ио Ляпунову, если для яюбого положительного числа е найдется такое пояожительное число б, что в любой момент времени 1 > 1о расстояние от изображающей точки возмущенного движения до начаяа координат 1х(1)~ меньше г, 34 Ги 2. Иелинейные системы. Метод ой плоскости если начальное отклонение ~х(то)~ меньше б, т.е. если выполняется следующее условие: (х(1)~ < е Ф > то, если )х(то)! < й. Определение 24. Положение равновесия х = О системы (24) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво ло Ляпунову и найдется такое положительное число т1, что возмущенное движение х(т) стремится к началу координат, если начальное отклонение ~х(го)~ меныие и, т.е.
выполняется следующее условие: х($) -+О приз ~ оо, если )х(Фе)~ < т). Приведенным определениям устойчивости можно дать следующую геометрическую интерпретацию. Устойчивость по Ляпунову означает, что если задана сфера Я радиуса е, то существует сфера ог радиуса б такая, что если возмущенное движение начнется внутри сферы Яз, то изображающая точка никогда не достигнет сферы Я„ т.е. движение будет происходить внутри втой сферы (рис. 2.1,а).
Асимптотическая устойчивость означает, что выполняется условие устойчивости по Ляпунову и существует сфера Яч радиуса и такая, чвю если возмущенное движение начинается внутри сферы Яч, то оно стремится к началу координат при стремлении времени к бесконечности (рис. 2.1, б). Рнс. 2.1.
Если положение равновесия х = О асимптотически устойчиво, то множество всех начальных точек хо, из которых возмущенное движение приходит в начало координат при стремлении времени к бесконечности, называется областью притяжения начала координат. Иначе говоря, если точка х принадлежит области притяжения начала координат, выполняется условие 1ппх(хо,т) -+ О при т -+ оо, где х(хо,т) — решение уравнеяия (2.4) при начальном условии х(го) = = хо(х(хо, то) = хе).
2.6 Особенности нелинейныл систем. О еделение устойчивости 35 О п р е де л е н и е 2 5. Положение равновесия х = О системы (2 4) называется глобально устойчивым, если оно устойчиво ло Ляпунову и нри любых начальных условияк все ее фазоеые координаты ограничены при всех Ф > Го. Это определение устойчивости тесно связано с определением устойчивости по Лагранжу. Система (2.4) называется устойчивой по Лагранжу, если все ее решения ограничены на всем интервале О < ь' < со. Очевидно, положение равновесия х = О системы (2.4) будет глобально устойчиво, если оно устойчиво по Ляпунову н устойчиво по Лагранжу. Определен н е 2 6. Положение равновесия х = О системы (2 4) называется асимнтотически устойчивым в целом или глобально асимнтотически устойчивым, если оно устойчиво но Ляпунову и возмущенное движение стремится в начало координат из любого начального положения.
Другими словами, положение равновесия называется глобально аснмптотически устойчивым, если его область притяжения совпадает со всем фазовым пространством. Теперь рассмотрим, как соотносится определение устойчивости линейных систем с рассмотренными здесь определениями устойчивости.
Если положение равновесия линейной системы устойчиво, то возмущенное движение стремится к положению равновесия из любого начального положения. Так что принятое в теории линейных систем определение устойчивости совпадает с определением глобальной асимптотической устойчивости. В случае линейных систем положение равновесия (система) считается неустойчивым, если не все корни характеристического уравнения расположены в левой полуплоскости.
Однако в общем случае с понятием неустойчивости не так все просто. Поэтому специально остановимся на его определении. При этом, как и выше, сферу радиуса р с центром в начале координат обозначим Яр. Определение 2 7. Положение равновесия х = О системы (2 4) называется неустойчивым, если существует такое число е > О, что для любого числа Ю > О найдется такая точка внутри сферы Яз, что возмущенное движение, начинающееся в этой точке, достигает сферы Я,. Или, другнмн словами, положение равновесия х = О системы (2.4) называется неустойчивым, если существует такое число е > О, что не найдется сферы Яг, которая не содержала бы внутри себя вючки, начиная с которой возмущенное движение достигает сферы Я,.
Это определение является логическим отрицанием определения устойчивости по Ляпунову. Поэтому если положение равновесия не является устойчивым по Ляпунову, то оно неустойчиво. Положение равновесия линейной системы, неустойчивое в том смысле, как это принято в теории линейных систем, не обязательно 36 Га. 2. Нелииейвые системы.
Метод фазоеой плоскости будет неустойчивым в выше определенном смысле. Если линейная система неустойчива, но имеет место маргинальная устойчивость (характеристическое уравнение не имеет правых корней, но имеет чисто мнимые корни), то система может быть устойчива по Ляпунову. Изображение процессов на фязовой плоскости. Если уравнения системы управления представлены в нормальной форме, то ее вектор состояния однозначно определяет состояние системы. Каждому состоянию системы в пространстве состояний соответствует точка. Точка, соответствующая текущему состоянию системы, называется изображающей точкой.
При изменении состояния изображающая точка описывает траекторию. Эта траектория называется фазовой траекторией. Совокупность фазовых траекторий, соответствующая всевозможным начальным условиям, называется фазовым портретом. Наглядно фазовую траекторию и фазовый портрет можно представить в случае двухмерного фазового пространства. Двухмерное фазовое пространство называется фазовой плоскостью. Фазовая плоскость в это координатная плоскость, в которой по осям координат откладываются две переменные (фазовые координаты), однозначно определяющие состояние системы второго порядка.
Метод анализа и синтеза системы управления, основанный на построении фазового портрета, называют методом фазовой плоскости. Рассмотрим систему управления второго порядка, которая описывается уравнениями х1 = Х1(хихтЦ хз = Хт(хм ха)./ Решение этой системы дифференциальных уравнений х; = х;(хо г) й = ) 2 при начальном условии х(гэ) = хо = (хо х~)т являются параметрическими уравнениями фазовых траекторий.
Параметром здесь выступает время. Построив фазовые траектории по этим уравнениям прн различных начальных условиях, получим фазовый портрет. Уравнения (2.5) являются дифференциальными уравнениями фазовых траекторий в параметрической форме. Разделив второе уравнение на первое, получим дифференциальное уравнение ахз Хз(хы хз) (2.6) ах1 Х~ (хы хз) решение которого непосредственно связывает фазовые координаты. Это уравнение будем называть (непараметрическим) дифференциальным уравнением фазовых траекторий.
Точки, в которых правая часть уравнения (2.6) равна отношению нулей, называются особыми. Особые точки являются корнями системы 2.1. Особенности нелинейных систем. Определение устойчивости 37 уравнений Х;(хы хз) = О, 1 = 1, 2. 0,3 0,2 0,1 0,5 -0,1 — 0,2 — 0,3 — 0,4 — 0,5 — 0,5 0 5 10 15 20 6) 0 0,5 а) Рнс. 2.2.
Как следует нз уравнений (2.5), в особых точках фазовая скорость х равна нулю. Следовательно, особые точки являются положениями равновесия. Через особые точки может проходить более одной траектории в то время, как через неособые точки проходит только одна траектория.
Часто при изображении процессов на фазовой плоскости за фазовую ксюрдннату хз, которую откладывают по оси ординат, принимают производную х1 координаты хы откладываемой по оси абсцисс. В этом случае уравнение (2.6) принимает вид <Ь~ Хт(хы хз) Йх~ хз и фазовые траектории обладают следующими свойствами, В верхней полуплоскости изображающая точка движется слева направо, так как х1 = хз > О и х1 возрастает. В нижней полуплоскости, наоборот, изображающая точка движется справа налево, так как х~ = хт < О и х~ убывает. На осн абсцисс (хз = О) производная с(хт/Их~ = оо (за исключением точек равновесия), и поэтому фазовые траектории пересекают ось абсцисс под прямым углом.
По фазовому портрету можно судить о характере переходных процессов. В частности, по фазовой траектории можно построить без особых расчетов качественно временную характеристику — кривую зависимости х1 от времени, и, наоборот, по временной характеристике можно качественно построить фазовую траекторию. В качестве примера сначала по фазовой траектории построим временную характеристику, а затем по временной характеристике †фазовую траекторию. Пусть задана фазовая траектория (рис.
2.2а). Отметив на ней характерные точки: начальную точку, точки пересечения 38 ) л. 2. Нелинебнме сисвевм. Меаюд фазоаой плоскости с осями координат, нанесем соответствующие им точки на временной плоскости н соединим их плавной кривой (рис. 2.2, б). о од б) -О,5 Рнс. 2.3. Пусть теперь 'задана временная характеристика (рис. 2.3,а). Отметив на ней характерные точки: начальную точку, точки экстремума и точки пересечения с временной осью, нанесем соответствующие им точки на фазовую плоскость н соединим нх плавной кривой (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
