Ким Д.П. Сборник задач по теории автоматического управления (2008) (1151994), страница 2
Текст из файла (страница 2)
(1.2) Рассмотрим отдельно два случая: тп = О н О < гп < и. А) тп = О. В этом случае, разрешив уравнение (1.2) относительно (ь-3) старшей производной н положив у = хп у = хи"., у = х„, по- Здесь хп хэ, ..., х„называются фазовыми координатами нлн фазовымн переменными, х — фазовым вектором нлн вектором состояний; ипнэ, ..., и„— управляюи(ими параметрами нлн управлениями, н — вектором управления, управлением или просто входом; уыуэ, ..., у — выходными переменными, у — выходным веквюром нлн просто выходом; 1 — время.
Уравнение, записанное в виде системы дифференциальных уравнений 1-го порядка, разрешенных относительно производной, называется нормальной формой Коши нлн просто нормальной формой. Множество всех векторов состояний (фазовык векторов) называют пространсевом состояний нлн фазовым пространством. Уравнение (1.1а) называют уравнением состояния, а уравнение (1.1б) †уравнени выхода нлн уравнением наблюдений.
В этой книге всюду вектор рассматривается как вектор-столбец. Так что имеем: х = (хатха " .х„)т, н = (и1 из " и„) , у = = (у~ уз ". у )т, где Т обозначает операцию транспоннровання. Вектор также будем рассматривать как матрицу-столбец. Преобразование уравнений линейных систем в нормальную форму. В общем случае уравнение одномерной управляемой системы (объекта) имеет внд лучим х~ =хм Х2 =ХЗ, или в векторной форме х = Ах+ Ьи, т где 1 О х1 Х2 О О хн-1 х= х» Б) О < тп < и. В этом случае уравнение (1.2) можно преобразовать к виду х~ = хг + Й~и хг = хз+ Йги (1.3а) (1.3б) где Йо = 6о, Йе = 6, — ~> а Й; , ( =1, 2, " ° , и. гм! (1.3в) х = Ах+Ьи, у =с~х+Йо .
Д 6 Уравнение сиегнемм е нормальной форме х„! =х„, х„= 6ои — а„х~ — а„1хг — " — а~х„, О 1 О ." О О О 1 " О О О О " 1 -а„— а ~ — а„г ° " — а1 хн ~ = х„+Й„ги х„= — а|х„— агх„~ — " — анх~ + Й„и у =х~+Йои, В векторной форме эта система принимает вид О О О О 6о !О Гл.!. Преобразования. У овлявмосвь. Смабилизируельость Здесь 1 0 °" 0 О 1 -"О 0 0 Ь~ н2 1 о х! хз Ь= й„ 0 0 0 °" 1 — а„— а„1 — ао з ." -а~ о 0 хн В данном случае коэффициенты уравнения равны а~ =10, аз=100, аз=100, Ьо=Ь1 =О, Ьз =10, Ьз =100. По формуле (1.3в) найдем коэффициенты й; (1 = О, 1, 2, 3): йо = Ьо = О.
Ь~ = Ь! — а~ Ьо = 0 йз = Ьз — (а~ Ь1 + азйо) = 1О, йз = Ьз — (а~йз+азй! + азйо) = О. В соответствии с формулами (1.3а) и (1.36) уравнение в нормальной форме принимает вид х! =хз хз = хз+ 1Ои, хз = 10хз 100хз — 1Оох!, Задачи 1.1, Записать в нормальной форме уравнения систем, заданных следующими передаточными функциями (у — выход, и — вход): 1О Ро(р+ !) а) И'э„(Р) =; б) Игэ„(Р) = Соотношения (1.3в) получены при предположении, что т = и.
Условие 0 < т < и нужно рассматривать как частный случай, когда коэффициенты при старших производных равны нулю, Пример !.!. Пусть управляемая система описывается уравнениодр+! О,О(рэ+ 0,1рт+ р+ 1"' Требуется преобразовать это уравнение в нормальную форму. Ре ше н и е. Запишем исходное уравнение в обычной форме: 0019 + 0,1у+ у+ у = 0,1и+ и. Разделим обе части на 0,01. Тогда получим у + 10у'+ 100у+ 1Ооу = 1Ой+!Оои. Дд Задачи 20(р+1) Зря+бр+1 в) з ( ) 2рз+4рт+бр+6* "" рз+4рт+2р+1 2р+4 рз+31Р+5р+1 ""(1 ) 2рз+4рт+8р+6' "" 1Р+4рт+2р+1' 2рз+рз+5р+3 рз+Зрд+бр+1 рз+4рт+2р+1' "" 2рз+рт+5р+3' 2рз+Зрт+5р+1 рз+Зрз+5р+1 р4+2рз+рт+бр+3 " "" 2рч+2рз+4рт+бр+2 1.2 Преобразовать в нормальную форму следующие уравнения: а) У+4у+2у = и+4и+и; б) 2 У+4У+2у = и+4й+и; в) У+4У+2У+у = 4и+и; г) 4У+4У+2У+у = 4и+и; д) 'У+4У+2У = 2и+й+4и+и; е) 2У+4У+2У = 2и+й+4и+и; ж) 4У+2У+8У = 8и+4й+166+4и; з) 2У+4У+бу = 4и+2й+8и; И) и) У+2У+4У+бу = 8и+4й+1би+4и; И) к) 2 У -)4У+2у+бр = и'+46+66+4и.
1.3. Используя обозначения Х1 = Уы Х2 = У!, Жз = ун Х4 = У2, ХБ = У2, Ха Ут преобразовать в нормальную форму следующие системы уравнений: а) У ~ + 2У1 + Зу~ + р + уз + 4ут + Зут = О, у~ + 5У| + Зу~ + 'у'т + 2ут + 4ут + 2ут = 0; б) У 1 + Зу~ + 2у) + 2ут + буз + бут = О, бу~ + 7у~ + у1 + 'у т + 4уз + бут + Зут = О; в) У 1 + Зу~ + 2У1 + 4уз + буз + Зут = О, 4У~ + 2У1 + у т + бут + 7ут + уз = О; г) У ~ + 2у~ + ЗУ1+ у~ + уг+ 4уз+ Зут = О, 4У1 + 2У1 + 'у'з + 5уз + 7ут + ут = 0; д) У ~ + Зу~ + 2У1 + У1 + 5уз + 4ут = О, бу~ + 7Й +у~ + Уз+ 4ут+бут+ Зут = 0; е) у ~ +Зу| +2У1 +У1 +5ут+4ут = О, У ~ + Зу~ + у~ + У т + 2уз + 4ут = 0; ж) У 1 + 2у~ + ЗУ1 + У1 + У а + 4уз + Зут = О, Й + 5У| + Зу| + У т + 2ут + 4ут + 2ут = 0; 12 Пе 1.
Преобразования. У лявмость. Стабилиз гмость з) У~ +Зу~+2у~ +2уа+бра+бух = О, У~ +7У1+у~ + Уз+ 4ра+буа+Зут = О; и) у'1 + Зу~ + 2У1 + у а + 5уа + Зут = О, У~+4у1+2У~+2уз+5уг+7у,+4У, =О; к) У|+ 2у~ +У1 + Уз+ 4рг+Зут =О. У ~ + 4р1 + 2У~ + 2'У'а + 5ут + 7ут + 4уз = О. 1.2. Управляемость и стабилизируемость объекта управления Рассмотрим управляемую систему (объект), которая описывается уравнением х=г(х,ц,г), хеЯ", цеВ", (1.4) где х — вектор состояния,ц — управление (вектор управления). Управление и = и(1) = (и1(С) ит(1) " и„(1)) называется кусочно- непрерывным, если все его компоненты и;(1) являются кусочно- непрерывными. Кусочно-непрерывные управления называют допустимыми. Определение 1.1. Управляемая система (объект) (1.4) называется управляемой или вполне управляемой, если, каковы бы не были точки хе и хт в фазовом пространстве 11", существует допустимое управление, определенное на конечном интервале [Ге, 17] и переводящее систему (1.4) из начальной точки х(ье) = хе в конечную точку х($7) = ху.
Другими словами, если объект вполне управляем, то ои может быть переведен допустимым управлением из произвольного начального состояния в любое другое состояние за конечное время. Управляемость линейных стационарных объектов. Пусть уравнение х = Ах+ Ви, х б В", и Е В" (1.5) описывает стационарную систему, т. е, матрицы А и В являются постоянными. Матрица У = ]В АВ А2В...А" !В], (1.6) столбцы которой представляют собой столбцы матрицы В и произведений матриц АВ, АтВ, ..., А" 'В, называется матрицей управляемости. Критерий управляемости линейных стационарных систем. Линейный стационарный объект вполне управляем тогда и только тогда, когда матрица управляемости имеет максимальный ранг, т.
е. когда ее ранг равен и. д2. е' яемость и стабилиз емость обеемта упраелемия !3 Ранг матрицы равен числу независимых строк, числу независимых столбцов и порядку отличного от нуля минора максимальной размерности. Определение 1.2. Пару (А,В) называют управляемой или емолме управляемой, если ранг матрицы управляемости (1.Б) раеем н. Пример 1.2. Определить, при каких значениях параметра а объект, заданный уравнениями х~ =х~+ня, хз =хз+им хз = — хз+ атьг, вполне управляем. Решение.
Матрицы А н В в данном случае имеют вид !1 в=[ Найдем произведения матриц АВ и АзВ О 1 О а Π— а АзВ = А(АВ) = ! '.1 Для матрицы управляемости имеем АзВ) = ! О 1 О 1 О О гь Π— а а Π— а О а У = [В АВ Минор, составленный из 1-го, 2-го и 4-го столбцов, имеет вид — = 2а. Он отличен от нуля при а та О. При а = О все элементы последней ~~роки матрицы управляемости обращаются в нуль и ранг матрицы управляемости не может быть больше двух. Поэтому рассматриваемый объект вполне управляем при а ф О. А=[ 1 О О О О 1 О О -1 о —,] 14 7л.
Д Преобразования Управляемость. Стабилизируемость Утверждение 1.1. Одномерная управляемая система, описываемая уравнением бор" +Ь!р" '+ "+5 0< где не все коэффициенты 6! (1 = О, 1, ", гп) равны нулю, вполне управляема. Инвариатность свойства управляемости к линейным преобразованиям. Свойство управляемости при неособом линейном преобразований не меняется. Каноническая форма управляемости.
Пусть ранг матрицы управляемости линейной стационарной управляемой системы (1.5) равен 1 (1 < п). Рассмотрим неособое преобразование з = Тг, где матрица преобразования имеет вид Т = (Т! Тз) н строится следующим образом: Т! является (п х 1)-матрицей, и ее столбцами являются независимых столбцов матрицы управляемости, Тз является (п х (и — 1))-матрицей, и ее столбцы выбираются так, чтобы матрица Т была неособой. При таком преобразовании преобразованное уравнение й = Аз+ Вп, где А = Т 'АТ, В = Т 'В, принимает вид так называемой канонической формы управляемости или йы! = Анзы! + А!зз® + В!и з(з! —,4 з!з) (1.7) Определение 1.3.
Область, состоящую из всех точек пространства состояний, в которые может быть переведена управляемая система допустимым управлением из начала координат за конечное время, называется ее областью управляемости. Если управляемая система вполне управляема, то ее область управляемости совпадает со всем пространством. Если ранг матрицы управляемости управляемой системы не равен максимальному значению (т.е, размерности пространства состояний), но больше нуля, то говорят, что управляемая система не вполне управляема или частично управляема.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
