Тузов Г.И. Статистическая теория приёма сложных сигналов (1977) (1151885), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Каждой неособой траектории соответствует переходный процесс к стационарному режиму. Следует заметить, что качественная картина траекторий на фазовой плоскости при данных частных значениях параметров системы (7.29) лишь в том случае отражает реальные черты физической схемы, когда эта картина не меняется при малых изменениях параметров, т. е. если для данных частных значениях параметров система является грубой. 7.4. Динамика подсистем следящего приемника Прежде чем перейти к исследованию следящего приемника с перекрестными связями рассмотрим динамику двух его подсистем — ФАП и ССЗ. Динамика системы фазовой автоподстройки частоты.
Основное дифференциальное уравнение ФАП может быть записано в виде р8+К Р (р)~(8)=реи (734) где 1(8) — характеристика фазового детектора. Уравнение показывает, что в любой момент в замкнутой системе ФАП, параметры которой постоянны, алгебраическая сумма мгновенной разности частот р8 и расстройки, вносимой управляемым элементом К Р (р)1(8), равна начальной расстройке р8р. Точное аналитическое решение этого уравнения получается только при Р (р) =1, Во всех других случаях для анализа этого уравнения используются приближенные методы 15, 9, 13, 14, 291.
Согласно 113) приведем некоторые результаты анализа нелинейной динамики ФАП с пропорционально интегрирующим фильтром и синусоидальной характеристикой фазового детектора Р (р)= + "~', ~(8)=з(п8. (735) а ~+т,,р ' Подставляя (7.35) в (7.34), после введения безразмерного времени К=($ГК /Тн и параметров 6=-К Т„; Ар=1)~/ К„Т; ур —— р8,/К . получаем 6+1,(1+6соз8)8-) з(п8=7р. (7.36) 348 Если разделить это уравнение на О=Я(гй' и учесть, что 0 = Ю/пг', то первое слагаемое в нем становится равным 8/О = д8!Ю.
Исключив г', можно рассматривать 8 и 0 как независимые переменные, и тогда из (7.36) получается уравнение ,4й т~> — мп в — — ~ю(!+Ь сов 0), (7.37) в которое удобно предста~вить графически на фазовой плоскости в координатах 6 и 8. Условием установившегося (стационарного) процесса является 6=0. Этому случаю соответствуют два значения фазы: Э~=агсэ(пур и Вэ=л — Вь Полученный результат свидетельствует о том, что установившийся режим возможен при условии, что начальное отклонение частоты УГ не превышает полосы удержания, т.
е. РО.= йв~(Кэ, так как з(пй,<1. Нетрудно показать, что решение 8ь 0 дает устойчивую на фазовой плоскости точку Рь а решение Вм 0 соответствует неустойчивой точке Р,. При этом для значений параметров ур<1, Хэ(1+Ь соз 6) )2 состояние равновесия Р,(йь 0) — устойчивый узел (переходной процесс имеет апериодический характер), а для значений ур<1, Х4(1+Ь сов 6) <2 состояние Р~(йь 0) — устойчивый фокус (переходной процесс имеет колебательный ха'рактер).
Состояние равновесия Рг(йм 0) всегда седло. Величина полосы захвата ФАП Л4э, определяется областью полной устойчивости состояния равновесия и характеризует диапазон частот УГ, в пределах которого происходит втягивание ФАП в синхронизм при любых начальных условиях. Следовательно, для оценки зависимости полосы захвата от параметров ФАП необходимо знать разбиение пространства параметров системы на области, соответствующие различному поведению фазовых траекторий (7.37), и выделить из областей различного поведения траекторий область полной устойчивости.
На рис. 7.7 представлены различные картины поведения фазовых траекторий, имеющих место при заданных параметрах системы и различных ур. Для структуры фазовой плоскости на рис. 7.7,а характерно такое расположение траекторий, при котором сепаратриса 5'~ седла Рь являющаяся продолжением 349 спирали фокуса Рь идет выше сепаратрисы 5ь При этом образуется кривая 60(6), областью притяжения которой является вся плоскость, за исключением части, ограниченной штриховкой.
Эта замкнутая кривая 60(6) образует устойчивый предельный цикл 11 рода, что соответствует стационарному режиму биений в системе, при которой происходит периодическое повторение некоторой разности частот и рост разности фаз. С уменьшением ур фазовой портрет изменяется, наклон сепаратрисы 5~ уменьшается, а сепаратрисы 5'з— увеличивается. При некотором критическом значении начальной расстройки сепаратрисы 5~ и 5з сливаются в верхней полуплоскости и образуют полуустойчивый предельный цикл (рис.
7.7,в). При дальнейшем уменьшении ур сепаратриса 5', проходит ниже сепаратрисы 5з и предельный цикл исчезает (рис. 7.7,б), а изображающая точка при любых начальных условиях стремится к точке равновесия Рь Полоса захвата неразрывно связана с переходом от устойчивого предельного цикла 11 рода к полуустойчивому.
Когда цикл станет полуустойчивым, то с одной стороны часть фазовых траекторий будет приближаться к нему, тогда как с другой — фазовые траектории будут удаляться от него. Для схемы ФАП с пропорционально интегрирующим фильтром образование предельного полуустойчивого цикла П рода возможно двумя различными способами; слиянием ветвей сепаратрис двух седел и слиянием устойчивого предельного цикла с неустойчивым. Зависимости относительной полосы захвата от параметров системы, при которых в схеме ФАП все предельные устойчивые циклы 11 рода отсутствуют, приведены на рис.
7.8. Из приведенных графиков видно, что включение ФНЧ в контур ФАП приводит к уменьшению полосы схватывания по сравнению с полосой удержания. В асимптотическом случае, когда К„Т„ — со, полоса захвата выражается формулой 7, = )Г1 — (1 — л)', где и = Тм~Тц. Для подобной цепи ФАП аналогичные результаты удалось получить и другими способами [16, 29). Динамика схемы слежения за задержкой. Основное дифференциальное уравнение ССЗ (4.22) может быть переписано в виде 350 Рис.
7.7, Типовые расположения траекторий на фазовой плоскости для ФАП. 351 Дз Да У г з з'ать аз зР ю пс аду лзу~ Рис. 7,8. Бифуркационные кривые, характеризуюпзие полосу схваты- вания ФАП. Возьмем в качестве ФНЧ пропорционально интегрирующий фильтр с функцией передачи Р, (Р) = (1+ + РТ,з)/(! + РТ„). Тогда после введения безразмерного времениР= 7з~лК,,~Т„, переменных г= с/ч„г.= с,/т и параметров Ъ= ~ !/К Те|', Ь= К Тт, 'рр= — лгз вместо (7.38) можно записать г + 7. [1 + Ье (г)) г + з (г) = рр. (7.39) При написании (7.39) предполагалось, что ге=сопи!, т.
е. скорость перемещения опорной н принимаемой последовательностей (скорость поиска) постоянна. В [3! изучение (7.39) сводится к исследованию разбиения фазовых плоскостей г, г на траектории, т. е. к определению фазового портрета ССЗ. Приведем основные результаты этого исследования. При значениях 0<[)р<'! система имеет два состояния равновесия: Р~(а=рр, г=О) и Рз(г=2 — рр, г=О), определяемые из (7.38) при г=г=О для — 1<г<1 и 1<г<2 соответственно *. Если Х(1+Ь))2, то состояние Р~ — устойчивый узел, при Х(!+Ь) <2 — устойчивый фокус. Точка Р, на фазовой плоскости соответствует стационарному режиму синхронизации.
* Здесь рассматриваются значения рр>0, так как рр<0 сводится к Рр>0 заменой г на — г. 352 Рис. 7.9. Типовые расположения траекторий на фазовой плоскости для ССЗ. Состояние Р,— седло, сепаратрисы которого в части фазовой плоскостн 1<а<2 являются прямыми, уравнение которых имеет вид г= — Х(1 — Ь) ь13Р(1 — Ь)я+41(г — 2+рр)/2. При рр — — 0 система имеет устойчивое состояние равновесия Рс(0, 0) в начале координат и два отрезка покоя на линии г=О при г< — 2 и г>2. При рр — — 1 состояния Р, и Ра сливаются, образуя точку типа седло-узел.
На рис. 7.9 представлены различные, в зависимости от параметра йю случаи расположения траекторий на фазовой плоскости. С помощью метода Ляпунова в [31 показано, что исследуемая система не имеет предельных циклов на всей фазовой плоскости ни при каких значениях параметров ()р, Х и Ь. Поэтому в системе невозмомен стационарный режим биений около постоянной разности по задержке и нулевой разности частот. Рассмотрев рис. 79, можно отметить следующее: сепаратрнса 5, пРиближаетса к линии й=йа/Х в области а>2, оставаЯсь целиком в полуклоскости 2>О. Сепаратриса 5', приближается к устой 23 — 751 353 чивому состоянию равновесия Рь Сепаратриса 5'з целиком расположена в области з>2 — ))ш з<0. Сепаратрнса 5з либо целиком остается в полуплоскости з>0, либо переходит в полуплоскость з<0. Если сепаратриса 5з расположена целиком в области з>0 и имеет одно пересечение с линией г= — 2 в точке с ординатой х> >(),/Л (рис.
7.9,а), то внутри полосы — 2<а~2 на прямой = р /Л существует интервал начальных значений, примыкающий к точке з= — 2 такой, что все траектории, начинающиеся в начальный момент времени на линии начальных значений з"=йр/Л, в точках этого интервала с ростом времени приближаются к состоя. нию Рь (П йй 7В Г „а З'547 75 4Р 100 32~ Гтг7т, Рис. 720. 1(ривые, характеризующие полосу схватывания ССЗ. Если сепаратриса 5, имеет два пересечения с линией г= — 2 (одно при 2>0, другое при 2<0) (рис. 7.9,в), то внутри — 2<а<2 на линии 2=))р/Л либо не существует интервала начальных значений с указанными выше свойствами, либо если он существует, то ограничен значениями з, и з,. Изображающая точка, начав движение с линии 2=))р/Л слева от точек гп е, никогда не придет с ростом времени в достаточно малую окрестность состояния Р,. Из рис.
7.9 следует также, что область притяжения к состоянию Р, в случае параметров, которым соответствует расположение траекторий (рис. 7.9,а), больше, чем для параметров на рис. 7.9,в. Анализ расположения состояния равновесия и сепаратрис седла показывает, что система имеет бифуркацию, связанную только со слиянием состояний равновесия (бр в — 1), и не может иметь бифуркацию, связанную со слиянием сепаратрис седла (как для системы ФАП).
Расположение сепаратрисы 5, в зависимости от параметров определяет размер области притяжения устойчивого состояния равновесия Р, н служит некоторой характеристикой эффективности области начальных условий (условий захвата). Из сказанного следует, что в рассматриваемой задаче важно установить значения параметров, при которых имеет место граничный случай, когда сепаратриса 5, з области †со<а совпадает с линией з=(зр/Л (рис. 7.9,б), так как в реальных ССЗ наибольший интерес представляют такие начальные условия [3), прн которых з=йр/Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
