Тузов Г.И. Статистическая теория приёма сложных сигналов (1977) (1151885), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Применение метода припасовывания ограничивается тем, что метод основан на локальном подходе к анализу фазового пространства, так как исследуется только одно конкретное З»2 движение. Метод не обеспечивает отыскания всех возможных периодических движений и является весьма громоздким, Метод фазового пространства особенно удобен для анализа уравнений не выше второго порядка. Однако этот метод дает правильные результаты лишь при достоверном знании топологии фазового пространства. Частотный метод В. М. Попова не позволяет в общем случае определить границы устойчивости. Наряду с приближенными аналитическими методами широко используются методы математического моделирования.
Во многих случаях математическое моделирование является лучшим инструментом анализа, так как с его помощью можно достаточно точно промоделировать сложные системы со многими нелннейностями и исследовать широкую область начальных условий и внешних возмущений. Следует, однако, заметить, что чем выше порядок дифференциальных уравнений, тем ббльшую вычислительную работу должна провести машина. Довольно часто методы математического моделирования применяют в сочетании с другими методами, например с методом фазового пространства.
В частности, такое сочетание оказалось весьма плодотворным и успешно использовалось для исследования нелинейной динамики сложных систем [4, 5, 9, 13 — 15, 24 — 26, 29!. Это сочетание, с одной стороны, дает возможность обойти некоторые аналитические трудности при исследовании, а с другой стороны позволяет, исходя из качественной картины поведения изучаемых систем, установленной аналитическими способами, со значительной экономией машинного времени рассчитать параметры систем, обеспечивающие нх усгойчивую и эффективную работу. Ниже будут изложены основные результаты исследований нелинейной динамики двухкоординатных приемников ПС сигналов, проведенные автором, В. В.
Спириным, В. П. Пономаренко [24 — 26, 151, а также результаты исследований [3,!О, !3, 29~ отдельных систем ФЛП и ССЗ, входящих и состав синтезированных приемников. Исследование динамики приемников ПС сигналов целесообразно начинать при отсутствии шума на входе приемника и с наиболее простого случая, когда фильтры нижних частот имеют функции передачи Р (р) = Р',(Р)=1, Такое рассмотрение позволит выявить общие закономерности, присущие приемнику рассматриваемого типа. 343 При сделанных ограничениях уравнения (4.99) могут быть сведены к виду РО =. РО,— К (~, а) з1п О = (г (О, ), (7.29) р с = Р«, — К «(«, а) сов 6 = Р (д, «). Здесь «.(т, а) — автокорреляционная функция ПС сигнала, определяющая амплитуду демодулированного сигнала на входе контура ФАП, зависящая от ошибок ССЗ и параметра сигнала а, равного при сигнале с произвольным углом манипуляции Оп е(т, а) — дискриминационная характеристика; Я, Р— функции 6 и т.
Изучение динамики рассматриваемых приемников проводится путем исследования «в большом» фазового пространства системы дифференциальных уравнений (7.29), основу которого составляет определение взаимно. го расположения состояний равновесия (особых точек), сепаратрис седел и предельных циклов [!). Эти «особые траектории» составляют как бы скелет всей картины фазовых траекторий в рассматриваемом пространстве (фазовый портрет) и позволяют получить качественную характеристику всех возможных движений системы. В силу периодичности правых частей уравнений (7.29) по координате О за фазовое пространство системы принимается поверхность цилиндра. Так как состояние системы (7.29) в точках О+2ит (гп — целое число) тождественно, будем рассматривать цилиндр развернутым на часть плоскости — и ( 6 ( л.
Поскольку в дальнейшем изложение материала будет вестись на языке фазовых представлений, приведем краткую характеристику основных понятий применяемого метода. Состояние равновесия. Особая точка системы (7.29) определяется как точка фазового пространства, в которой наклон интегральных кривых становится неопределенным; через нее проходит множество фазовых траекторий. В особой точке гЮ/от=Я(6, т)7Р(9, т) =О/О, следовательно, особые точки находятся как точки пересечения кривых, определяемых уравнениями Я(6ь ту) =О, Р(Вь ту) =О. (7.30) Анализ состояний равновесия Оь т; (характер особых точек и поведение системы вблизи них) связан с процес- З«4 и к Рис. 7.6. Особые точки иа фавовой плоскости.
сом линеаризацин (?.29) в малой окрестности особой точки и с изучением корней характеристического уравнения )чк — (а+с() А+ (ас( — йс) =О, (?.31) для которого значения коэффициентов имеют внд дЯ! дЯ ~ дР дР = дв ~ар ° ' = д. ,'о,.' = ди ~вн„° = д, (7.32) 34о Правила для определения вида особой точки формчлируются следующим образом 11): !. Если оба корня уравнения (7.31) действительны и отрицательны, т. е. Лз<Л~<0, Л,/Л~>1, то особая точка является устойчивым узлом (рис.
7.6,а). 2. Если оба корня действительны и положительны, т. е. Хн>Лз)0, 1>Лз/Л~>0, то особая точка является неустойчивым узлом (рис. 7.6,б). 3. Если оба корня вещественны и имеют разные знаки, т. с. Лз<0<Ль Лз/Л~<0, то особая точка является седлом (рис. 7.6,в). 4. Если корни комплексно-сопряженные, т. е. Л~=б+ +/м и Лз=б — /гв, то особая точка — фокус. При б>0 фокус неустойчивый, при 6<0 — фокус устойчивый (рис. 7.6,г, д).
5. В случае чисто мнимых корней особая точка представляет собой центр (рис. 7.6,е) . 6. Если корни кратны и хотя бы одна из величин (а — Н), Ь, с, не равна нулю, то особая точка представляет собой вырожденный узел, который при Л~=тЛ«<0 устойчивый (рис. 7.6,ж), а при Л~>0 — неустойчивый. 7. При Ь=с=О, а=с/ особая точка является дикритическим узлом (рис. 7.6,з).
8. При аИ вЂ” Ьс=О линеаризованная система (7.29) имеет своими состояниями равновесия все точки прямой а8+Ьт=О. Остальные траектории составляют семейство прямых с угловым коэффициентом ~=с/д. Прн а+~(>0 прямая состояний равновесия неустойчива, при а+И< <Π— устойчива (рис. 7.6,и). Кроме особой точки типа центр, все приведенные состояния равновесия являются грубыми: их характер не изменяется при достаточно малых изменениях правых частей уравнений (7.29).
Во всех случаях термин «устойчивый» означает, что при / — э.«о фазовые траектории сходятся в особую точку, а термин «неустойчивый» вЂ” что траектории удаляются от особой точки. Сепаратрисы седел. В тех случаях, когда особая точка является седлом, через нее проходят две интегральные кривые 5, и 5м называемые сепаратрисами (см. рис. 7.6,в). Сепаратрисы седел разделяют фазовую плоскость на области, в каждой из которых фазовые траектории обладают различными топологическими характеристиками. Взаимное расположение сепаратрнс позволяет 346 определить как существование н расположение областей начальных условий, начиная с которых система приходит к тому или иному стационарному режиму, так и появление и существование периодических движений. Уравнение сепаратрис на плоскостях О, т имеет внд гп9/с(т=Я(6, т))Р(д, т), а их угловые коэффициенты в седле (йь т;), где сепаратрисы являются асимптотами, определяются корнями уравнения (7.33) для которого а, Ь, с и г( находятся из (7.32).
Предельные циклы. Предельные циклы представляют собой изолированные замкнутые кривые, соответствующие периодическим движениям системы. Они могут быть устойчивыми, неустойчивыми и полуустойчивыми. На рис. 7.6,к показан устойчивый предельный цикл; при неограниченном возрастании времени к нему стремятся все близлежащие траектории. Вопрос о наличии или отсутствии предельных циклов может быть решен либо с помощью критериев Бендиксона и Дюлака 11, 81 (хотя для большинства случаев их применение связано с большими трудностями) либо построением фазового портрета системы в соответствующем районе фазовой плоскости (когда имеются основания считать, что предельный цикл существует).
Применительно к совместным системам ФАП и ССЗ, описываемых уравнениями (7.29), рассмотренные особые траектории (если они существуют) имеют следующий физический смысл: !) устойчивое состояние равновесия — это стационарный режим работы при постоянных разностях фазы и задержки (режим синхронизации); 2) устойчивый предельнын цикл 1 рода, охватывающий состояние равновесия,— это стационарный режим биений около постоянных разностей фазы и задержки; 3) устойчивый предельный цикл П рода, охватывающий цилиндр, это стационарный режим биений, при котором происходит периодическое повторение некоторой разности задержки и неограниченное нарастание разности фаз; 4) неустойчивые состояния равновесия и неустойчивые предельные циклы, хотя и не имеют физического смысла (так как соответствующие им режимы практически не осуществляются), но они являются границами З47 областей начальных значений, начиная с которых система приходит к определенному стационарному режиму.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
