Тузов Г.И. Статистическая теория приёма сложных сигналов (1977) (1151885), страница 14
Текст из файла (страница 14)
В частности, при Л=й — 1 формула (2.92) трансформируется в Š— ! ,М,, Р ~а- й)=1.2.3, ..., (~-1)=(~- 1)! Ь=! Это доказывает, что в алфавите ьМх отсутствуют последовательности, являющиеся результатом циклических перестановок последовательностей того же ансамбля. Отметим, что при увеличении числа элементов (в пределе до бесконечности) по формуле (2.92) можно определить предельные значения алфавита оптимальных (Л~, (~1) и квазиоптимальных (Ль <2) ДЧМ сигналов: 1пп,М,=1пп(Š— 1)= Е=)/В, с1пп, М, = 1пп (Š— ! )(Š— 2) = 1,' = В, т.-ко А~в где  — база сигналов.
Последнее означает, что объем алфавита оптимальных ДЧМ сигналов соизмерим с корнем квадратным из базы сигналов, а объем алфавита квазиоптимальных ДЧМ сигналов — с базой. Если ь' — число простое, то можно построить (Š— 1) последовательностей, имеющих при любых взаимных сдвигах попарно не более одного совпадения одноименных элементов, при условии, что кодовые расстояния (разности) между элементами одной последовательности постоянны (4=сонэ(), а совокупность кодовых расстояний для всех (1 †) последовательностей составляет полную систему неотрицательных вычетов по простому модулю Е: У~о = У~~~~ + 1гч (пюб 1.), (2.93) 1, 1 =- 1; 2; ...; Š— 1, 4 = 1; 2; ...; Л вЂ” 1 (пюб Е).
Согласно (2.93), если задаться каким-либо одним элементом (Ух) 1-й последовательности, то можно построить все (Š— 1) последовательности. В качестве примера покажем этапы построения алфавита оптимальных пятиэлементных ДЧМ сигналов (Ль (1) в соответствии с (2.93).
Пусть У',п=У~"= У~ ~= У~'~=1. Тогда, полагая, что Н,=1, получаем: для 1=1 У~'~ = — У',"+ А = 1+ 1 = 2 (той 5), Уз'~= — У~" +2с(,=1+2=3 (пюд 5), ЛФ) =Уги+ ЗА =— 1+3= 4 (щоб 5) У~хи=У~" +4г(,=1+4=5 (той5); для 1=2 У'," = У,'"+ 4 = — 1+ 2 =— 3 (пюб 5), У~," = — У',"+ 24 = 1+ 2 2 = 5 (пюб 5), У~'~ — У",~+Зд,= — 1+3 2е— м 2 (пюб5), У~ЗА=У~ ~+4д — = 1+4 2м— я 4 (щоб 5); 9! для 1=3 У'," =— У',"+ й, = 1+ 3 = — 4 (щоб 5), У~ = У~ + Ыа — = 1 + 2 ' 3: — 2 (шоб 5)~ У~" У~" +ЗН.=! +3 3=5 (щоб5), У~э =Л", ~+и†= 1+4 3 — 3 (пюбб); для 1=4 У~,'— = У~" +20,=— 1+2 4=4 (щоб5), У~~!мвУ~ ~+ЗН,= 1+3 4= — 3 (гпоб5), У', ! =— У',"+ И, = 1 + 4.
4 = 2 ( б 5). Таким образом, последовательности алфавита опти- мальных пятиэлементных ДЧМ сигналов записываются в виде (Ух)'>= — ! 2 3 4 5, (Ув)'! — 1 3 5 2 4, (Ух)о! =1 4 2 5 3, (Уа)ы! = 1 5 4 3 2. Для удобства записи последовательностей алфавита последние целесообразно представлять в виде матрицы, содержащей (Š— 1) строку и Ь столбцов 12345 13524 !4253 1 5 4 3 2.
Ниже приводятся матрицы оптимальных ДЧМ сигналов с числом элементов 1=7, 11, построенные аналогичным образом: 1.=7,,М,=6 1234567 1357246 1473625 1526374 1642753 1765432 7.=11, „7И, =10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1О 11 1 3 5 7 9 11 2 4 6 8 10 1 4 7 10 2 5 8 11 3 6 9 1 5 9 2 6 10 3 7 11 4 8 1 б 11 5 10 4 9 3 8 2 7 1 7 2 8 3 9 4 10 5 11 6 1 8 4 !1 7 3 10 6 2 9 5 ! 9 6 3 !1 8 5 2 1О 7 4 1 10 8 б 4 2 11 9 7 5 3 11110 9 8 7 б 5 4 3 2.
Пунктиром обозначена линия симметрии, разделяющая прямые и зеркальные последовательности. Аппарат теории чисел позволяет находить последовательности оптимальных ДЧМ сигналов при нечетном составном 7., причем число таких последовательностей равно наименыпему простому сомножителю а без единицы. Например, при 1=15 (а=3) можно найти две оптимальные последовательности, причем одна из них является зеркальным отображением другой. Следует указать, что построение алфавитов оптимальных ДЧМ сигналов, сохраняющих свои взаимные корреляционные свойства при произвольном сдвиге во времени, возможно лишь при нечетном Ь. При четном числе элементов нельзя получить равномерного совпадения по одному элементу при всех дискретных задержках.
Можно показать, что при различных задержках двух лучших последовательностей в половине случаев будут два совпадения, а в половине совпадений не будет. При этом среднее значение коэффициента взаимно-корреляционной связи будет равно !г1.. 2.6. Сложные сигналы с манипуляцией ло двум параметрам Сигналы с частотно-фиговой манипуляцией Сигналы, полученные в результате манипуляции несущей сразу по двум параметрам — частоте и фазе (ЧФМ сигналы), могут рассматриваться как результат 93 дальнейшего развития ФМ и ДЧМ сигналов [3, 1О, 11] Интерес к ЧФМ сигналам объясняется несколькими причинами.
Основные из них — возможность построения больших ансамблей ортогональных сигналов, относительная простота получения больших значений базы сигналов и возможность раздельного выбора законов модуляции фазы и частоты с целью построения сигналов с необходимыми корреляционными свойствами. Рассмотрим вариант ЧФМ сигнала, период которого включает Ь радиоимпульсов длительностью Та, с относительным частотным смещением каждого такого импульса на величину У!ф ((У!) — числовая последовательность, модулирующая частоту) и внутриимпульсной фазовой манипуляцией по закону двоичной последовательности. Если в качестве основы для манипуляции фазы ЧФМ сигнала использовать периодическую двоичную последовательность, то возможны, по крайней мере, три вида манипулирующих фазу функций. Первый включает в себя Т.
периодов двоичной последовательности, второй— Е периодов различных последовательностей и третий— один период последовательности с числом элементов М'=ЕМ, где М вЂ” число элементов двоичной последовательности в интервале Т,. В дальнейшем вид манипулирующей фазу функции будет конкретизироваться по мере необходимости. Комплексная огибающая ЧФМ сигнала единичной амплитуды может быть представлена в виде Я(1) = '~~ ~~!~', т!ь гес1 [г/ч, — (й — 1) — М(! — 1)] Х Х ехр (1(У! — У„)Ь0! [1 — т,(й — 1) — Т,(! — 1)]], (2.94) где Т.
— число элементов числовой последовательности (У!), модулируюшей частоту' У! ! в= У!,' УЯМУт при зчьт; !, з, и!=1, 2, ..., ь*; т,— длительность элемента двоичной последовательности, элементы которой т!ь принимают значение +1 или — 1; У„= (Е+!)/2; Лв= =2!тЛ! — минимальный частотный сдвиг частоты гес1[г]= ~ ( 1, г!::-(О 1) $ О, г !)- (О, 1). Длительность, ширина спектра и база сигнала (2.94) могут быть представлены как 7'= М/ т„р= (1/т„) [1+/)'(й — 1)!, (2.95) В = 2РТ = 2МО1+Ю' (Е+ 1) ], Х(х У)=~~ ~ ~ ~~1~~ ]1~~ т'зт~ Х,(и, о) ехр [/О], С=~~ 1С=~ (2.90) где х=т/т„, у=Я/Лв, и=х+ (и — й) +М(1 — 1), о = 2я [(й/; — У~) + у], 6 = 2е(% — И„)и+ + у [(й — 1)+ М(1 — 1)], — з)п(1 — ]и!)ехр]/ — "(и+1)~, ]и]<1, Х,(и, о)= ™ 2 О ]и!) 1.
Безразмерную задержку х представим в виде х=рМ+у+е, О(е(1, где р=еп1!ег[т/Мт,], у=епНег[т/т,] — рМ. Аналогичным образом у=т~+$, О($<1, (2.97) (2.98) где т1=еп11ег(у). где 0'=Ь/т,. Частными случаями сигнала (2.94) является ДЧМ сигнал при М=1 и ФМ сигнал при /.=1. Заметим, что при заданном т„определяемым быстродействием цифровых синтезаторов кода, увеличение базы ЧФМ сигнала легко может быть достигнуто как за счет увеличения длительности сигнала (как для ФМ сигнала), так и за счет увеличения его полосы (как для ДЧМ сигнала). Это обеспечивает возможность построения ансамблей ЧФМ сигналов с большим значением базы, получение которых при ФМ и ДЧМ сигналах может представлять технические трудности. Функция неопределенности и ее анализ [10]. Функция неопределенности ЧФМ сигнала, учитывая результаты 5 2.1, 2.3, может быть представлена в виде м ь м Анализ (2.96) показывает, что для конкретного значения 1 при суммировании по индексу 1 отличными от нуля оказываются лишь два слагаемых; точно так же для данного значения а отличны от нуля слагаемые лишь при двух значениях индекса лс Поэтому (2.96) можно представить в виде суммы четырех слагаемых Х(х, у) =!Х,(х, у)+ Х,(х, у)+,"Х,(х, у)+'.Х,(х, у),.
(2.99) где с т Х,(х, у)'= — „' Я ~~)~~о!24,;,'„Ртр+!,„[(1 — ), Е]Х т=р+2 2=! Х р0",+, „[(1+.), Е]], т+! Х,(х, у) = — ~~)~ ~~~)~~ о!Рть+Рм — — тР !, „[2' Е] Х т=р+22=! Хехр[!от, „(2, Е)], с м х(х у)= !. Е Е Утьт:Ру! [(1-2)Е]Х т=р+!2=!+! Хехр [/о! [(1+ 2), Е]), с м х.(х у)= —, ~!~ ~~~)~ ~'и",' тУ! [2 е]Х т=р+!2=2+2 Хехр[)о! [2, Е]), (2.103) (2.100) (2.101) (2.102) где о! тр Е] 2!а~0' Ии! — Хт-Р)+ !+ Ы (2 104) — .0 1(Ут- ! Р)+ч+Е) о! [2, Е] = Я0' [[(Атт — Ф! - Р) + т! + Е] 2 + + 2(И!-р — У„)(в — 1)+ 2 [(!Š— 1)+ М(! — 1)](т!+ Е)). (2.105) Выражение (2.99) полностью определяет функцию неопределенности на плоскости т, 11, однако сложность зависимостей (2.100) — (2.105) затрудняет анализ этого выражения в общем виде. Поэтому проведем анализ функции неопределенности в характерных (узловых) точках плоскости т, 11 при 2=9=0, 9б В этом случае из (2.99) получим ! %'т кх; р — р — 1 Л(77р Ъ У) = Мь ~~ ~~ т"т«+м — „Х р=р+2«=1 Х вЂ” Х анР((7рг — 7«9-р-1) + ч) ХехР(1.( ((У, - У вЂ”,-~)+ Ч3+ м + Г 'Π— """'1'"' — "'-'+" Х вЂ” ~ «'а — 7 -.,77'(х! — ур-а)+Ч р=р+1«=1+1 ~ ехр ()яо ((Л7; — Л7; — р)+ Ф ("08) Далее полагаем, что параметр 1)')1 и принимает целые значения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
