Тузов Г.И. Статистическая теория приёма сложных сигналов (1977) (1151885), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Для второй группы получено 30 различных последовательностей. Число последовательностей в последующих группах резко возрастает. Общее число кодовых последовательностей во всех группах составляет (~.— 1)! Рис. 2.!О. Символическое дерево дли последовательности первой группы с в=7. 2,5. Анализ функции неопределенности сигналов с частотной манипуляцией в характерных точках и выбор ансамбля сигналов Анализ функции неопределенности Оценим значения функции неопределенности ДЧМ сигнала (2.50) в характерных (узловых) точках, Такая оценка является наглядной и позволяет получить ряд экстремальных значений функции неопределенности ДЧМ сигнала и найти условия минимизации боковых бь 83 лепестков. Для этого представим безразмерное временное смещение и т/т, в виде х=у+е, где у=еп!!ег (х) — ближайшее целое, меньшее (равное) х, а 0(е(1.
Аналогично безразмерный частный сдвиг у=Я/Лв представим как у=т+ь, где ч=еп!1ег (у), 0( (~(1. Определим функцию неопределенности в характерных точках, которые по оси т кратны т„а по оси частот !! кратны Лв. В этих узловых точках х=у и у=я (т. е. при е=О, ь=О) из (2.50) с учетом (2.52) и нулевого значения (2.53) получаем 1 я'ч Ми (е(УЙ вЂ” Уд т) + з) у(т, т)=— УУ =, ~ .«„„)'+,1 ~ а=1=! Х ехр и (У вЂ” У,,)+ В.
(2.83) ~Х(у, т) = — ~ Р(чае), ! (2.84) где аз=(Уе — Уз )+ч (А=у+1, ..., Ь), (2.85) Известно, что при целых аз мп та~ ( 1 пРи а=О, (288) 10 прн ахфО. Следовательно, при изменении й от у+1 до 1. величина Р(пад) равна единице, если уравнение (2.85) при данном й обращается в тождество — У,,+я=О И=у+1, ..., 1) (287) и равна нулю в остальных случаях.
В соответствии с (2.85) имеем Ь вЂ” у уравнений при каждом из Ь вЂ” у значений л. 64 При целых значениях (Уе — У,)+ ч в формуле (2.83) сомножитель ехр(!я[(Уе — У„,)+т]) обращается в единицу и может быть опущен. Обозначим Если для данных у и т при некоторых значениях А обеспечивается тождество (2.87), то Р(пах) =1. При изменении л от у+1 до А для разных т и у тождество (2.87) может иметь место Л(у, т) раз, а следовательно, значение функции неопределенности в точках у, т равно Х(т т)= (",'' (2.88) Оптимизация функции неопределенности ДЧМ сигнала сводится к выбору таких последовательностей (Уь), для которых обеспечивается Л(у, т)=ш!и при любых значениях у и т, кроме у=т=О.
В работе [3) показано, что существуют законы формирования последовательностей (Уь), для которых л(у, )<!. (2.89) Последовательности, удовлетворяющие условию (2.89), названы в работе 13) оптимальными. Ясно, что для оптимальных последовательностей (2.90) Х (у, т) ( 1/Е, т. е. боковые лепестки функции неопределенности не превосходят величины 1/~/ В= 1у.
Найдем значения функции Х(т, 1) в узловых точках на оси !), т. е. прн у=О. При этом условии система (2.87) обращается в тождество лишь при т=О, причем Л(0, 0)=7. и Х(0, 0)=1. При тчьО ни одно из уравнений системы (2.87) не обращается в тождество, т. е. Л(О, т) =0 и Х(у, 0) =О, тФО. Нетрудно видеть, что при уФО, т. е. в узловых точках на оси т, Х(у, 0) =О, уФО, так как УэфУ„, при уфО и Л(7, 0)=0. Рассмотрим построение функции неопределенности в узловых точках для заданной последовательности (Уь). Для этого запишем (2.87) в виде = э т — Уэ(й=Т+1 "'1) (291) Эта запись показывает, что при выбранном у, т. е. для сечения у=у, координата т, обращающая уравнение в тождество, определяется как разность между двумя членами числовой последовательности, отстоящими друг от друга на у — 1.
Для у=1 это будут разности между соседними членами последовательности при иэменениий зв от 1 до 7., при у=2 — разности членов последовательности, отстоящие друг от друга через один член последовательности, и т. д. Сказанное можно пояснить примером, представленным в табл. 2,3 для последовательности (У»)=4, 3, 1, 6, 2, 5, 7. Таблица 2.3 Число вовтомииа циклов » (1. ) (м») = =В З ! В О В 1 2 — 5 4 — 3 — 2 3 — 3 — 1 1 — 5 — 2 1 — 4 — 4 2 — 2 †— 1 — 4 — 3 М», — М» У», — У» У»-л — !к'» ЛЪ л — к'» У»-в — У» У»-в Разности У „— У» согласно (2.91) дают значения т, в которых при данном уг(пи»)=1.
Если координата то при данном уо повторяется Л раз, это означает, что значение функции неопределенности в точке с координатами (уо то) равно Х(уо, то) =Л(уо, то)/».. Приведенная выше последовательность не имеет в строчках табл. 2.3 одинаковых значений У, — У», поэтому все отличные от нуля значения функции неопределенности в точках, кратных т, по оси т и Ло» по оси 14, равны 1/»., и эта последовательность является оптимальной. Для приведенного примера контурная диаграмма, характеризующая функцию неопределенности в рассматриваемых точках, имеет вид, представленный на рис. 2.1!,а, где точками обозначены узлы, в которых функция неопределенности отлична от нуля.
Рассмотрим пример расчета функции неопределенности для линейно-ступенчатой последовательности (табл. 2.4). Контурная диаграмма, отражающая результат расчета функции неопределенности, приведена на рис. 2.11,б, цифрами указаны высоты (значения Л(у, т)) боковых пиков. Нетрудно убедиться, что контурные диаграммы двух обратных последовательностей (У») и (У» ь) являются взаимозеркальными относительно оси у.
86 Следует подчеркнуть, что проведенный анализ функции неопределенности в узловых точках не дает исчерпывающей характеристики функции неопределенности в целом, так как рассматриваются ее значения в точках, Таблица 2.4 Число иоиторсииа цифр а !ь.! Е 21= =7 е 5 4 3 2 ! отстоящих друг от друга на оси времени и оси частот на интервалы, большие интервалов корреляции. Так, для исчерпывающего описания функции неопределенности Рис.
2.11. Контурные диаграммы функции неопределенности. согласно теореме Котельникова В. А. при Р'=1 необходимо брать отсчеты через интервалы 1/2.г=! /2ЕЛ! по оси времени и Ц2Т=172Ъвв по оси частот, здесь же использовались интервалы в 2Р раз большие. Тем не менее анализ функции неопределенности в узловых точках является полезным, так как позволяет 87 й!а, — !в'а й!а в — У» Лва в — вуа !и'а — Лва два в — Лва в "~а - в 1 1 1 ! 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 3 3 6 ний (большее единицы), например только два совпадения Л~, й 9. Условно назовем такие последовательности квазиоптимальными. Следует отметить, что методика нахождения модулирующих последовательностей, обеспечивающих не более заданного числа совпадений одноименных элементов для любой пары ДЧМ сигналов, входящих в алфавит из М сигналов, при произвольных значениях у и т, пока полностью не разработана.
Можно лишь указать на некоторые частные решения, полученные для нулевого сдвига по частоте (т = О) . При условии т=0 оказывается возможным найти предельный (максимальный) объем алфавита ДЧМ сигналов с заданными взаимокорреляционными свойствами. Для этого сформулируем задачу в общем виде, приемлемом при комбинаторном анализе. Задано Е разноименных элементов. Требуется определить максимальное число последовательностей, состоящих из Е элементов, любая пара из числа которых имела бы не более наперед заданного числа совпадений одноименных элементов при любых взаимных сдвигах.
Максимальное число последовательностей, содержащих по Е разноименных элементов, равно числу перестановок из Х. по Е: Р ь ~ 1 Поскольку каждая последовательность имеет 1. циклических перестановок, входящих в общее число П, то количество последовательностей, не являющихся результатом циклических перестановок других последовательностей, должно быть в Л раз меньше: Р = (.1. — 1)1 Выведем рекуррентные соотношения, позволяющие среди (Š— '1)! последовательностей найти максимальное число последовательностей с заданным числом совпаде.
ний. Пусть все интересующие нас последовательности одновременно совпадают только одним элементом. Тогда оставшиеся (Л вЂ” 1) элементов можно разместить несколькими способами, количество которых зависит от ограничений, накладываемых на ннх, Например, если 69 необходимо, чтобы последовательности совпадали не более чем одним элементом, то число таких последовательностей не может быть больше числа сочетаний из ( — 1) по одному: ьМ~( С1ь-1 = Š— 1. Далее, если в каждой из последовательностей ьМ~ допустить одновременное совпадение второго элемента, то оставшиеся (й — 2) элементов можно разместить не более С'ь з способами, обеспечивающими отсутствие тройных совпадений.
Следовательно, общее количество последовательностей с числом совпадений не более двух должно быть не более ьМг( ( — 1) ( — 2). По аналогии можно показать, что из каждой последовательности, входящей в ьМм есть возможность построить не более (Š— 3) последовательностей, обеспечивающих не более трех совпадений: г.Мз( (Л вЂ” 1) ( — 2) (1 — 3) . Обобщая полученные результаты, можно утверждать, что объем алфавита последовательностей из Ь элементов, обеспечивающих не более Л совпадений одноименных элементов, не может быть больше: ,М, Р' С,,= Д (Ь- й), (2.92) ь=! ь=! где 1(А(А — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
