Ипатов В. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов (2007) (1151883), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Безусловно, надежность поиска, характеризуемая вероятностью правильного завершения поиска Р,, должна быть не хуже некоторой наперед заданной. Как следует из (8.13), одно и то же значение Р, может быть достигнуто при различных комбинациях вероятностей ру, ра на ячейку. Этот факт объясняет возможность минимизации среднего времени поиска за счет вариации одного из параметров ру или ра при фиксации вероятности Р, правильного завершения поиска.
Логика подобной оптимизации довольно прозрачна. Допустим, на вероятность обнаружения наложено жесткое требование близости к единице. Это означает, что поиск почти наверное завершится единственным (начальным) циклом, однако для гарантии высокой вероятности обнаружения анализ в каждой ячейке должен быть продолжительным, так что движение в направлении истинной ячейки будет медленным, а среднее время поиска Т,— большим. В противовес этому можно заметно увеличить вероятность пропуска, чтобы ощутимо уменьшить Та, что однако приведет к высокой вероятности повторения циклов, а, значит, увеличению среднего числа шагов в сравнении с предыдущим случаем, вследствие чего среднее время поиска Т„может опять оказаться большим. Очевидно, что должен существовать некий промежуточный оптимум вероятности обнаружения на ячейку рд, минимизирующий значение Т,.
Для решения задачи Тв = шш при Р, = сопвФ необходимо задаться явной зависимостью времени анализа от вероятностей ру, ра, или, эквивалентно, моделью канала. Ориентируясь на канал с АБГШ, напомним, что модуль корреляции фактически представляет собой действительную огибающую на выходе согласованного фильтра, которая в пустой ячейке является огибающей гауссовского шума, а в истинной огибающей смеси сигнала и шума. Во многих руководствах по теории связи (например, (2, 4, 7. 8]) можно найти доказательство того, что плотность вероятности огибающей гауссовского шума подчиняется рзлеевскому закону (см. 3 3.2 или (3.12)), тогда как огибающая суммы сигнала и гауссовского шума имеет распределение Рэлея — Райса.
Последнее при удобной здесь нормировке можно представить как 8.У. П д а ЗЗЗ)) (8.17) 6д(РУ Рд) 2Р(1Чс В итоге, согласно (8.14), среднее время поиска (8.18) Т, = зТд = + — ) Тд(р~, рд) Ру где У вЂ” значение огибающей, нормированное к среднеквадратическому значению шума, дд — отношение сигнал — шум по напряжению, аккумулированное за время анализа Тд, а Хе( ) — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка.
Разумеется подстановка щ = О, соответствующая отсутствию сигнала, превращает (8.15) (имея в виду равенство 4(0) = 1) в распределение Рзлея. Напомним, что решение о содержимом ячейки выносится на основе сравнения У с порогом. Если 1~ — порог, нормированный к среднеквадратическому значению шума, решение об истинности ячейки принимается всякий раз, когда У > Уь При этом вероятности ру, рд можно записать как ру = / И (1 ~Нс) п~ рд = ( И (У~Н1) пУ, 7~ где плотности вероятности И'(У)Не) и И'(У)Н1) . варианты (8.15) для гипотезы Нд (пустая ячейка, дд = 0) и Н1 (истинная ячейка, дд > 0) соответственно. После интегрирования плотностей / ру = ехр ~ — ~, рд = Ям(дд,У,), (8.16) где Ям(,.) обозначает попросту интеграл от распределения Рзлея -Райса и нередко встречается под названием Я-функции Маркума [7, 8]. Решение первого из соотношений (8.16) как уравнения относительно У при фиксированном ру дает значение порога, необходимое для удерр * ° 1 р .
я ьк=~/21(1!п). Подстановка его во второе равенство в (8.16) непосредственно связывает величины рд и ру для заданного отношения сигнал — шум дд. рд = Юм пд, 21п— В свою очередь, отношение сигнал — шум, аккумулированное за время д, ~ ( . ~ з.с: д,=,/~Р~„/к, д*р— мощность сигнала, а Не — односторонняя спектральная плотность мощности белого шума. Пусть теперь Тд(ру,рд) и дд(ру,рд) — время анализа и отношение сигнал — шум, необходимые для обеспечения фиксированных вероятностей рд и рр Тогда ~~~334 Глава 8.
11оиех и автоеонровоиедение ширононолоеньат сигналов или в нормированном виде Т вЂ” = '+ — ' 4(ру рд) (8.19) 1. Выберем некоторое значение вероятности ложной тревоги на ячейку ру из диапазона 0 < ру < 2(1 — Р,) (М. 2. Решая уравнение (8.13) относительно неизвестной рд, находим ее значение, обеспечивающее требуемую вероятность Р, при выбранном рР МР,ру(1 — (1 — р )"-1] 1- (1 -ру)м-Ч1+ ру(МР. — 1)1' 3.
Решая (8.17) относительно неизвестного ол, находим его значение, необходимое для обеспечения вероятностей рл и рр 4. Подставляем найденное значение в (8.19). б. Варьируя ру, строим зависимость среднего времени поиска от рд и находим пару значений рд и ру, доставляющих минимум Т,. зо г8 зг зо 26 Ы$" Ю 18 гг 16 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 Рл 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 Рл Рис. 8.4. Нормированное среднее время поиска в зависимости от вероятности обнаружения Теперь процедуру оптимизации можно описать в деталях. Пусть заданы вероятность правильного завершения Р, и размер зоны поиска М. г.з.
и. в р р., зф На рис. 8.4 представлены зависимости нормированного времени поиска т,( — )м ' от вероятности обнаружения на ячейку р4 для двух значений вероятности правильного завершения поиска Р, = 0.,99; 0,999 и четырех значений ширины зоны неопределенности М = 50, 200, 10з и 104. Как видно, минимум среднего времени поиска приходится на интервал значений р4 Е [0,9, 0,95).
Достаточно плоский характер кривых в окрестности минимума позволяет принять значение рл = 0,9 в качестве универсального оптимума вероятности обнаружения на ячейку безотносительно к ширине зоны М и вероятности правильного завершения поиска Р,. 8.3. Методы ускорения поиска 8.3.1. Постановка задачи Как легко понять, среднее время поиска возрастает с числом тестируемых ячеек М, т.е. с расширением зоны неопределенности при неизменности остальных факторов. Поэтому вполне объяснимо стремление к сокращению М всякий раз, когда это позволяет сделать надежная априорная информация о фазе кода, частоте сигнала или других сканируемых системой поиска параметрах.
К примеру, в системе СРБ каждый из 24 спутников передает данные о текущем и предсказанном состоянии всего космического созвездия, которые хранятся в памяти приемника пользова-. теля. Благодаря этой информации пользовательский навигатор, захватив сигнал любого спутника и зная приблизительное положение последнего, может спрогнозировать с определенной точностью фазы кодов других видимых спутников, существенно сократив область неопределенности поиска их сигналов. Похожая картина имеет место и в мобильной сети ссЬпаОпе (18-95), где жесткая синхронизация всех базовых станций облегчает поиск сигналов новой БС пользовательским приемником в процессе эстафетной передачи.
Однако в реальной жизни неизбежно возникают сценарии, в которых область неопределенности настолько обширна, что продолжительность описанной выше простой последовательной процедуры поиска оказывается непомерно большой. Среди прочих подобная ситуация характерна для этапа инициализации приемника (его первого включения), когда местный эталон времени имеет произвольный уход по отношению к системной шкале, а априорные сведения, которые могли бы сократить зону поиска, недоступны.
Обратимся к следующей иллюстрации. (336 Г 8.П . р д р Пример 8.2. Рассмотрим поиск фазы кода длины Х = 2ш (екороткогое кода системы сп|паОпе) в отсутствие априорной информации, сокращающей зону неопределенности. Положив ЛХ = Ь = 2ш и вероятность правильного окончания не менее 0,99, экстраполяцией зависимости рис. 8.4 можно получить нижнюю оценку среднего времени поиска Т, > 25- 2ы/(2Р/Хс). Если принять за правдоподобную цифру 2Р/Хо = 40 дБВГц, среднее время поиска превысит 80 с. Эта оценка, однако, излишне оптимистична, поскольку в ее основе лежит допущение об идеальном синхрониэме чипов местной опоры и принимаемого сигнала (см.
начало подпараграфа 8.2.2). В этом идеализированном случае достаточен сдвиг фазы опоры от шага к шагу на один чип. В реальности же изначальная синхронизация чипов чаще недостижима, и инкремент в один чип чреват попаданием на склон основного лепестка АКФ сигнала вместо его вершины (см., например, рис. 6.9), что увеличит риск пропуска истинной ячейки. Чтобы этого избежать, приходится использовать дробный инкремент, как правило, равный половине длительности чипа, тем самым увеличивая число ячеек М в зоне неопределенности, а значит,и продолжительность поиска. Фактор временных затрат может играть особенно критическую роль в приложениях, использующих сверхдлинные широкополосные коды, таких, как системы измерения дальности и автосопровождения удаленных космических объектов. Остановимся кратко и без погружения в математические детали на некоторых методах ускорения поиска.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
