Ипатов В. Широкополосные системы и кодовое разделение сигналов (2007) (1151883), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Первый тип возможных ошибок — ложная тревога (см. 3 3.2), т. е. принятие пустой ячейки за истинную. Когда она происходит, поиск завершается неверной оценкой запаздывания сигнала, так что стремление к удержанию вероятности подобного события на достаточно низком уровне вполне естественно. С другой стороны, пребывание в истинной ячейке может также с ненулевой вероятностью завершиться неправильным решением: пропуском сигнала и переходом в следующую (пустую) ячейку, уже тестировавшуюся ранее.
Подобная возможность придает процедуре циклический характер: если поиск не заканчивается при первом прохождении области неопределенности, за ним следует второе и т.д., иначе говоря, каждый из последовательных пропусков сигнала инициирует новый 1!икл. Положим далее, что подлежащий поиску сигнал постоянно присутствует на входе приемника, так что число возможных циклов не ограничено сверху. Из рис.
8.3 следует, что при беспрепятственном прибытии системы поиска в истинную ячейку из нее возможны два маршрута: правильное решение (и окончание поиска) с вероятностью обнаружения рл или пропуск сигнала с вероятностью 1 — рл. Последнее событие ведет к продолжению поиска новым циклом проверок и не имеет иных негативных последствий, кроме дополнительных временных затрат.
Пребывание в пустой ячейке может также иметь два возможных исхода: правильное решение об отсутствии сигнала с вероятностью 1 — ру, сопровождаемое переходом в следу!ощую ячейку, или признание ее истинной с вероятностью ложной тревоги ру. В отличие от пропуска сигнала по- (зз«г:-«. и. ° ° -.,-.
«« следствия ложной тревоги можно отнести к катастрофическим, поскольку неверная оценка фазы кода, выданная поиском, сделает все последующие операции, выполняемые приемником, бессмысленными. Для снижения риска подобного события каждое решение о захвате фазы кода, как правило, дополнительно перепроверяется за счет продления тестирования подозрительной ячейки (см. следующий раздел), тем не менее, всегда остается некоторая ненулевая вероятность окончания поиска в ложной ячейке. Назовем шагом поиска всякое пребывание в некоторой ячейке, завершающееся решением о продолжении либо окончании поиска.
Из рис. 8.3 непосредственно видно, что когда поиск начинается с ячейки номер один (наиболее удаленной от истинной), он может окончиться в 1-й ложной ячейке (1 = 1, 2,..., М вЂ” 1) после «пМ+ Ф шагов и в истинной ячейке после «пМ + М = («и+ 1) М шагов, где т = О, 1,... — число полных «холостьпо> поисковых циклов, т.
е. проходов по всей области неопределенности, предшествующих конечному (т+1 — му) циклу, на котором поиск завершается либо в ложной, либо истинной ячейке. Тогда интерпретация рис. 8.3 как графа дает следующее выражение для вероятности р(з) окончания поиска после з шагов: ру(1 — ру)~ ![(1 — рл)(1 — ру)м ~), з =тМ+1, р(з) = 1=1,2,...,М вЂ” 1, тч(1-ру)~-'[(1-рлН1-ру)~-')-, .=-М+М, (8.1) где т = О, 1,...
Все события (и только они), вероятность которых дается второй строкой (8.1), завершают поиск правильной оценкой фазы кода. Следовательно, полная вероятность Р,! (индекс «1«указывает, что поиск стартует с первой ячейки) правильного завершения поиска (правильного захвата) есть сумма этих вероятностей по всем возможным значениям т, т.
е. сумма геометрической прогрессии со знаменателем (1 — рл) (1- ру) ~ СО (1 )м — ! Р«! = р~(! - ру) " ~~~ [(! — р~)(! — р!) ) — (! )(! п«=0 (8.2) Другим важным параметром является среднее число шагов Л! поиска: й! = ~ ~яр(з) = тМ+1, (8.3) «=! где индекс «1 ° вновь указывает на стартовую ячейку с номером один. В равенстве (8.3) величина т отвечает среднему числу холостых циклов поиска, предшествующих финальному, тогда как 1 есть среднее число шагов в последнем цикле, который завершается либо в ложной, либо в истин- В.й. и «д с ЗД ной ячейке.
Вероятность того, что отдельный цикл поиска окажется холостым, есть произведение вероятностей безостановочного прохождения всех М вЂ” 1 пустых и единственной истинной ячейки, т. е. (1 — рл)(1 — ру)м ~. Следовательно, вероятность р(т) того, что завершению поиска будут предшествовать точно т холостых циклов р(т) = [1 — (1 — рл)(1 — ру) ][(1 — рл)(1 — ру) ~]~, т = О, 1, (8.4) Как видно, распределение р(т) подчиняется геометрическому закону. Хотя математическое ожидание такой случайной величины хорошо известно, для дальнейшего полезно привести его вывод с использованием производящей функции [14, 66] д (г) = ~™ = ~ я™р(т). т=О Производные производящей функции в точке я = 1 позволяют находить моменты соответствующей случайной переменной. В частности Для общей формы геометрического распределения р(1) = а~(1 — а), 1 = О, 1,...; О < а < 1, производящая функция находится суммированием геометрической прогрессии д~(я) = ~~~ я а (1 — а) = ь=о так что после дифференцирования (8.5) а(1 — а) а (1 — яа)~ 1 — а я=1 Из сравнения общего геометрического закона с распределением (8.4) сразу видно, что подстановка а = (1 — рл)(1 — ру)м ~ в (8.5) дает искомое математическое ожидание т: т— (1 — рл)(1 — ру)~ ' 1 — (1 — рл)(1 — ру)~ ' (8.6) Чтобы найти 8 в (8.3), заметим, что вероятность завершения финального цикла в пустой ячейке с номером 1 безотносительно к числу предшествующих холостых циклов можно найти, суммируя по т вероятности из первой строки в (8.1) (см.
также рис. 8.3), тогда как вероятность прибытия в единственную (М-ю) истинную ячейку и завершения поиска в ней (снова безотносительно к числу предшествующих холостых циклов) уже ~ЭЗЭ Р Р. П «р д р найдена — это попросту Р,1 из (8.2). Таким образом, распределение ве- роятности р(1) числа шагов 1 в финальном цикле рт(1 — рт)' ' 2.
[(1 — р Н1-рт)~ ')™ = рп=О =1,2,...,М вЂ” 1, 1 — (1 — зчН1 — рт)м ' р (1 — рт)~ ' 1- — (1 — рл) (1 — рт) Производящая функция этого распределения р(т) = М М вЂ” 1 я1(Л) = ~~ я р(1)— м 1 ~~~ я (1 ру) +я Рс1= (1 р„Н1 р )и-1 +э Р1. М(1 )М вЂ” 1 1 — (1 — р Н1 — рт)м " 1 — (1 — рт) Дифференцирование д1(г) в точке э = 1 после некоторых алгебраических манипуляций приводит к результату 1 — (1 — рт) — мрт(1 — р~Н1 — рт)~ ' (8.7) рт[1 — (1 — рл)(1 — рт)м 1) Теперь, используя (8.6) и (8.7) в (8.3), окончательно имеем выражение для среднего числа шагов Р =ро(т=М[г)+Ро э(г)РМ = ( м 1 (89) р (1 — рт)м ' (1 р Н1 р )М 1 Тем же способом пересчитывается и среднее число шагов.
Если поиск завершится в 1-й ячейке нулевого цикла, число пройденных шагов составит $ — г + 1, но если сигнал будет пропущен, то к уже пройденным (1 )М (8.8) рт[1 — (1 — р Н1 — рт)м '] Отбросим теперь исходное предположение о стартовой ячейке и выясним, каким образом повлияет на полученный результат начало поиска в ячейке с произвольным номером г. В этом случае возникает частичный цикл (индексируемый далее нулем), охватывающий М вЂ” г пустых плюс одну истинную ячейку. В ходе этого цикла возможны следующие события: окончание поиска в ложной и-й ячейке с вероятностью ро(э[г) = = рт(1 — рт)~ ', т = г,г + 1,...,М вЂ” 1, завершение поиска в истинной ячейке с вероятностью ро(1 = М~т.) = рп(1 — рт)м " и, наконец, пропуск сигнала и продолжение поиска с первой ячейки с вероятностью Ро (г) = = (1 — ро)(1 — рт) '. Тогда полная вероятность правильного завершения поиска при старте с г-й ячейки (8.11) (8.13) М вЂ” т+1 шагам в среднем добавятся я1 шагов.
Таким образом, при старте с произвольной (т-й) ячейки среднее число шагов составит величину М йт = ~~~ («т + 1)ро(ф) + (М т + 1 + 3«)Рот(т) ° (8.10) «=т Первая сумма последнего выражения после замены индекса суммирования на 1 = 1 — т + 1 принимает вид М-т Р« ~: 1(1 — Р«)* ' + (М вЂ” т + 1)РО(1 = ~4т) »=1 где первое слагаемое можно вычислить через производяшую функцию, как это сделано при выводе (8.7) — 1 — (1 — Р«) -"+' — (и —.+1)Р«(1-Р«) -' г(1 — р«)' з ю=1 Р« Используя этот результат в (8.11) и (8.10) совместно с равенством Ро(« = МЯ + Рс (т) = (1 — р«) ', после простых алгебраических пре- образований имеем Зт = — ( Р«) — 1 Рст + З»Репи(т) = " + —, (8,12) РУ Р«рл Разумеется, при подстановке т = 1 равенства (8.9) и (8.12) обращают- ся в (8.2) и (8.8) соответственно.
Теперь, зная априорное распределение вероятности ре(т) номера стар- товой ячейки, можно усреднить (8.9) и (8.12) по всем начальным ячейкам в зоне поиска. Для равномерного априорного распределения р (т) = 1/М, т = 1,2,..., М это приведет к средней вероятности Р, правильного за- вершения поиска и среднему числу шагов з поиска р 1 ч .Р Рл(1 (1 Р«)ьт) МР«[1 — (1 — «Ч)(» — Р«)м ']' 1 — Р, Р, л= + —. (8.14) Р« Рл 8.2.3.Минимизация среднего времени поиска Вычисление и сравнение с порогом корреляции для каждой тестируемой фазы кода предполагает некоторую конечную продолжительность пребывания в каждой из анализируемых ячеек. В ряде поисковых схем эта продолжительность может быть случайной и, более того, зависимой от того, истинна ячейка или пуста.
Настоящее рассмотрение, однако, ограничится простейшей версией последовательного поиска с постоянным временем ~~~332 Глава 8. Поиск и автаосонровоокдение широконолосньси сигналов У ехр — 1,(7 У), У > О, ~ 1" +7~~ О, У(0, (8.15) анализа Та на ячейку. Об альтернативах будет вкратце сказано в следующем параграфе. В'оговоренных условиях среднее время Т,„затрачиваемое системой поиска, есть просто произведение среднего числа шагов на время анализа: Т', = вТа. Понятно, что при фиксированной мощности сигнала чем больше время анализа Та, тем достовернее решение о том, истинна ячейка или нет, иными словами, тем меньшие вероятности ложной тревоги (ру) и пропуска (1 — рл) на ячейку могут быть гарантированы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
