Варакин Л.Е. Теория систем сигналов (1978) (1151881), страница 22
Текст из файла (страница 22)
По определению глт ()~уь) Ю хт в~ (х) дх. (4.26) Подставляя в (4.26) функцию распределения (4.25) с учетом участков однозначности, получаем гп ()77а) = 1 х„+1 — хч ~ <р' (х) [ бх, (4,27) н кн 1 тн+ ! = — 2Т~ в тм (4.26) Суммируя, находим, что гп (Руд) = 1 — )7т (т) г(т. 2Т вЂ” г (4.29) Полученная формула (4.29) позволяет находить моменты случайной величины )Г1ь по детерминированной ВКФ )7)л (т), 97 где х„и х„+1 границы р-го участка однозначности.
Напомним, что в интегралах (4.26), (4.27) аргумент х соответствует случайной величине )71а. Поскольку )7)ь и т связаны функциональной зависимостью (4.23), то можно перейти к новой переменной т в интеграле (4.27). При этом пределы интегрирования преобразуются в т„, т„„,, что определяется обратной функцией т —.. Ф(х); произведение [гр„' (х)[пх = бт, поскольку г(т/г(х = гр' (х); степень хч = )гра (т). В результате получаем )а гп (Я)а) = Найдем теперь закон распределения случайной велвчииж и ее моменты при дискретном определении ВКФ.
Пусть ВКФ определена в дискретных точках при значениях т = Л31, Л вЂ” целое число. Если /-й дискретный фазоманипулированный сигнал определяется кодовой последовательностью (1.93) А г = = (ады ..., а,,, а),ч), где 1У вЂ” число символов а, т = 1, !у, а й-й сиг!'е' нал — кодовой последовательностью Аа = (а! х, ..., вы, ..., аа1ч), то ВКФ таких сигналов в точках т = Ла! определяется соотношением (1.125), которое для Л ) 0 и Л < 0 записы. вается так: ( 1 !ч — Х ';",.— ч=х+! при Л)0, Р)ь(Л)= ге+~ ' — х' а! аз т=! при Л О. (4.30) Поскольку дискретный сигнал имеет конечное число различных градаций символов а; (в простейшем случае ФМ сигналов а;„= ш 1), то ВКФ гтуь(Л) также имеет конечное число различных значений. Поэтому для определения случайной величины Яуь достаточно найти вероятности, с которыми она принимает то или иное значение.
ВКФ имеет всего 2)У + 1 значение, но из них два крайних равны нулю тождественно. Так как при непрерывной передаче информации последний нуль одной ВКФ совпадает с первым нулем ВКФ, запаздывающей на 2Т относительно исходной, то будем учитывать только первый нуль, т. е. считать в каждой ВКФ 2Л! боковых пиков. Каждый из боковых пиков данной ВКФ имеет равную вероятность 1/2 ЛГ попасть на момент отсчета, если данная ВКФ попадает на этот момент.
Пусть кга (д) — число появлений данного значения гт ь = = Ф Тогда вероятность появления данного значения Руь равна р (д)=худ(д)/2Л!. (4,31) о8 В соответствии с определением (104) т-й начальный момент ш„()туа) = = ~Ч~', астр (41), (4.32) уь где суммирование производится по всем !. Подставляя (4.31) в (4.32), получаем и (Рть) = 1 = — ~ дч!к!а(дг). (4,33) Переходя от суммирования по 1 к последовательному суммированию значений ВКФ, находим т (Я!а) = гг — ! — Р)М (Л). (4.34) 2М Л = — !!Ч вЂ” 1) Таким образом, ч-й начальный момент случайной величины Руа при дискретном определении ВКФ пропорционален сумме значений ВКФ, взятых в т-й степени.
Суммирование в (4.34) производится цо всем Л, при которых гтуь (т) не равна то!кдественно нулю. Плотность вероятности взаимной помехи при приеме противоположных сигналов. Обозначим произведения в (4.!8) т!1Ь = Ь %1ь ч)а=в,! %. (4.36) Поскольку плотность вероятности случайных величин вф в' определена формулой (4.21), то, используя определение плотности вероятности произведения двух случайных величин (104), получаем шп (х) = = 0,5 [шл ( — х) -(- ш, (хЦ.
(4,36) Плотность вероятности ш„(х) яви!а ляется четной функцией. Так как $у и ьу статистически независимы, то статистичесни независимы и случайные величины т(уа и г))ь. Поэтому ш, (к) = ш (х). Из-за четности и;ь плотности вероятности (4.36) сред- (4. 37) хг в (х) г/х= Л/А 00 =Х сг= с ! М осг (о!,О)м им/з гл! нее значение ш! (ч/А) = О, а дисперсия и четвертый момент случайной величины Ч/» по определению, с учетом формул (4.29), (4.36) равны: 00 а'» = ) х'в (х) дх = г!гй Π— хгвЧ (х) бхОО /й О г = — )" /7! ( )бт, 2Т !. МЫ»= ) хгв„(х) О/х= ч/й т — //!4» (т) О/т, (4.38) 2Т г Подставляя (4.35) в (4.18), запишем взаимную помеху в следующем виде: [/йс ~~.'~ (Ч/й + Ч/»). (4,39) / ! Среднее значение взаимной помехи гп, (Рве) = О, а ее дисперсия Мз (1'йс) 2 ~~ о/㻠—— 21о»гс (4 40) !=! где среднеарифметическое Произведем пормировку случайных величин в (4.39).
Обозначим Ейс=[/йс/ай~ [ги, (4.42) з/А=Ч/А/айс [/й, (4.43) и = 21. (4.44) При этом ! г~ = ~чр~ (з/А+ 1»), (4.46) 1 ! а гпг(2»с) = 0 Мг(2»с) = ! Плотности вероятности случайных величин в/й определяются следующим образом [104): (х) = = а»с [/йв, (ойс )/и х). (4.46) ч/й Плотность вероятности случайной величины Ей с найдем, используя характеристическую функцию. Пусть случайной величине е/»соответствует характеристическая функция 0 Е (о)= ) в, (х) е!с" бх, (4.47) ОР Разложим ее в ряд по моментам: (о) = а/»" М /А иа»с 2 иг а$0 24 (4.48) Нечетных моментов нет, так как плотность вероятности случайной вели. чины 2» с является четной функцией.
Поскольку характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций сла. гаемых [!04), то ! е, (с)=П е (о)- з/й 1=! / аг — П (1 — — о'+ !(, иай 2 Используя обычные методы при. ближения [104[ и полагая для простоты, что Мм/й = 0 при гл ) 4, получаем Е, (о)см Ас оя е ' /т (! + (уй /24и) ог), (4.50) 99 а плотность вероятности шх, (х) = —,'-(1 — 5) )7! ь (т — !!)-[- +~'7!),а( — !! — т)+ + (! — 5 ) Я! „(г — 1,— Т)[. (4.54) (4.51) где И«(х) — многочлен Эрмита четвертого порядка, 1 ., 7о!я~4 ! !.
! 'Пас! 4-з( — т, ( ! ) — ~~. (П«ч а коэффициент эксцесса у!д определен следующей общей формулой [104): у = (Мв(о«) — 3. (4.53) Из (4.52) следует, что уд с является средневзвешенным значением коэффициента эксцесса для данного сочетания абонентов, причем слагаемое в квадратных скобках определяет смещение. Плотность распределения взаимной помехи прн приеме ортогональных сигналов. Плотность распределения (4.51) была получена при условии, что осуществляется прием противоположных сигналов. Кратко остановимся на тех особенностях, которые имеют место при приеме ортогональных сигналов. Предположим, что все абоненты осуществляют передачу информации при помощи двух ортогональных сигналов. Рассмотрим взаимную помеху на выходе одного из согласованных фильтров й-го абонента, если на его входе действуют сигналы от ! мешающих абонентов.
Используя такой же метод определения взаимной помехи, что и при передаче информации двумя противоположными сигналами (см. формулу (4,17)), можем записать взаимную помеху в момент отсчета при передаче ортогональных сигналов в виде [43) 1 (гдс = /=! [Я! а (т — !!) + 1=1 100 В этом выражении в отличие от (4.!7) информационные символы 5' .= 1,0 с вероятностями, равными 1!2. Когда в = 1, то 1 — 5 = О, а когда 5 = О, до 1 — 5 = 1.
Поэтому ' квадратная скобка в (4.54) содержит также два слагаемых, как и в (4.17). Индексы !«и 1, у ВКФ в (4.54) соответствуют двум ортогональным сигналам !ьго абонента, которые служат для передачи информационных символов «0» и «1». В общем случае ВКФ с индексами !«и н !»й не равны тождественно друг другу, как в случае противоположных сигналов. Это является основной причиной отличия взаимной помехи (4.54) от (4.! 7). При противоположных сигналах исходная плотность распределения (4.36) симметрична относительно начала координат. А это означает, что все нечетные моменты взаимной помехи (4.17) равны нулю. Прн ортогональных сигналах плотность распределения произвольной ВКФ может и не быть симметричной.
Поэтому ее нечетные моменты могут быть и не равны нулю. Следовательно, их необходимо учитывать при определении плотности распределения взаимной помехи (4.54). Поскольку при разложении плотности распределения основное значение среди нечетных моментов имеют первый начальный момент ( или среднее значение) и третий центральный момент, выражаемый через коэффициент асимметрии, то имеет смысл рассматривать только эти нечетные моменты. Однако для большинства В КФ среднее значение тождественно равно нулю, и лишь для немногих мало отличается от нуля.
Поэтому положим, что среднее значение ВКФ равно нулю и будем учитывать только третий центральный момент. Используя тот же метод [ЗЦ, который был применен для определения плотности вероятности (4.51), можно показать, что плотность вероятности нормированной взаимной помехи Яд с = )где/[/и од * (4.42), где )гь с определено согласно (4.54), шг (х) = дс где представляется следующим выражением: е "Ч ~1 + Нз (х)+ + — Нз (х) + — Нз (х)1, (4.55) 24п 72п л о' = — ~ о)зд, (4.56) 1 =! аде= — ~к~~~ а)д[ — ), (4.57) и 1=~ ( оде! -,'-э~ — т.
( — ) — \~, э.йч коэффициенты асимметрии а)д определяются согласно общей формуле [104[ сс = Мз!оз, (4.59) а коэффициенты эксцесса у;д согласно (4.53); Нз (х), Нд (х), Нз (х) — многочлены Эрмита. Из формулы (4.56) следует, что о', является среднеарифметическим значением дисперсий о;д ВКФ мешающих абонентов; из формулы (4.52) видно, что ад с является средневзвешенным значением коэффициентов асимметрии ауд; из формулы (4.58) видно, что удс является смещенным средневзвешенным значением коэф. фициентов эксцесса у)д. При когерентном приеме ортогональных сигналов знание плотности вероятности (4.55) мгновенного значения взаимной помехи достаточно для расчета помехоустойчивости. При некогерентном приеме необходимо иметь плотность распределения модуля взаимной помехи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
