Варакин Л.Е. Теория систем сигналов (1978) (1151881), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Для ее определения используем из- вестный метод нахождения плотности вероятности модуля суммы двух независимых взаимно перпендикулярных векторов [!04). Обозначим модуль взаимной помехи рдс = [ )'дс [. Он равен Рдс = [/г2ддс + УДс, (4.60) где Лдс Удс — независимые случайные величины, законы распределения которых определяются формулой (4.55). Плотность вероятности модуля рдс определяется общим соотношением [104[ ш(рдс)=рдс ) шд (Рдссозф) Х е Хшг (Рдс з1п ф) г(ф, (4 6Ц так как ш =- ш . Заменяя в дс где. (4.55) аргумент х на рдссозф и Рдсз!пр, подставлЯЯ полУченные выражения в (4,61) и производя интегрирование, получаем: ш(рдс) Рдс е ~ 1+ п4(рдс)+ -4,7г [ Удс 24п аде 2 + Вв (аде) (4 62) 72п где многочлены Вз(Р) = (з/д) Р' — 6 Рз + 6, В (р) — (ьН ) р (4574) рч + + 45р' — 30. (4.63) Второе и третье слагаемое в квадратных скобках (4.62) определяют отличие закона распределения ш(рдс) от релеевского.
Чем они меньше, тем меньше отличие. Отметим, что коэффициент асимметрии аде входит в (4.62) в виде квадрата, т.е. любая асимметрия исходного распределения (4.55) приводит к увеличению различия между распределением (4.62) и релеевским.
101 4.3. Выбор систем сигналов для асинхронных адресных систем Р, «,=Р (Р««)1) = ~ и!т««(х) Нх, ! (4.64) где гс««, (х) — плотность вероятности случайной величины Поскольку все сочетания равновероятны, то вероятность ошибки для Ьго абонента при усреднении по всем сочетаниям равна с1, « Р «=и! (Р ««) = ! ~~~~ Р « с, К (4. 66) Из (4.64), (4.65) следует, что ° О Р, «=~«вт (х)ах, ! (4.66) с! К ~т«( ) = ~ч'„~т«, (х), с«! «« К (4.67) т. е. плотности вероятности усредняются. 102 С первого появления сложных сигналов и их применения в радиотехнических системах исследователи интуитивно представляли, что применяемые сигналы должны обладать «хорошими» корреляционными свойствами, т. е.
обладать «малыми» боковыми пиками АКФ. При этом смысл «малых» боковых пиков сводился к тому, что они должны быть как можно меньше, т. е. стремиться к нулю. При развитии ААС, помимо требований к АКФ, возникли те же требования и к ВКФ, т. е. боковые пики ВКФ должны быть малыми. Однако исследования многих систем сигналов и предельные свойства систем сигналов убеждают в том, что получить «нулевые» ВКФ невозможно. Поэтому сразу же возникает вопрос о том, каким образом следует уменьшить ВКФ.
Ответить на него можно только в том случае, если выяснить, как влияют боковые пики ВКФ на помехоустойчивость приема информации. Решение этого вопроса позволит сформулировать правило выбора систем сигналов: следует выбирать ту систему сигналов, которая обеспечивает максимальную помехоустойчивость. Основные правила выбора систем сигналов сформулированы в работе (31).
Для обоснования их сначала определим вероятность ошибки. Вероятность ошибки при приеме противоположных сигналов. Вероятность ошибки при приеме информации я-м абонентом и при данном сочетании мешающих абонентов определяется следующим выражением: Вероятности ошибки Р, „в общем случае могут быть различнымн для разных номеров й. Назовем средней вероятностью ошибки среднеарифметическое всех Р, ч Рош= —.'~~ Рошд. дк д=д (4.68) Определенную таким образом среднюю вероятность ошибки можно принять за основу правила выбора системы сигналов, которое сформулируем так: лучшей является такая система сигналов, которая обеспечивает меньшую среднюю вероятность ошибки.
Выразим среднюю вероятность ошибки Р, через параметрьг системы сигналов. Используя (4.42), из (4.64) получаем: Р, д,=Р(сд,)с)д,)= ~ шхд,(х)ах, чдс (4.69) где с)д,= 1/од, ~' н (4.70) является отношением сигнал/взаимная помеха по напряжению. Подставляя (4.51) в (4.69), получаем тд е 1'ош дс ~ 1 — Р (7дс)+ —" (Дс — 3~)до) — ° (4 71) 124н ~/2н где интеграл вероятности г (одс) определяется формулой (2.16). Поскольку при ддс '~) 1 для г (ддс) можно использовать асимптоти- ческую формулу 1104) г(йдс)-1 — — е '"' У2н% с (4.72) то из (4.71) находим, что Рошдс ~ (1 — Р (с)дс)) [1 + (удс(24н) (с)дс — 3с(дс)) (4 73) ,- 1сЫ2 Рошдо 1 к(рдс) — ~/2 су с ~Г2кс)дс (4.74) !РАЙ Из выражения (4.51) видно, что уд, ~ 0 приводит к отличию ьвхд, (х) от нормального закона распределения.
По этой же причине Р, „(4.73) отличается от 1 — г (д„). Правило выбора систем сигналов при нормализации взаимной помехи. Если уд, = 0 или настолько мало, что второе слагаемое в (4.73) много меньше единицы, то из (4.73) следует: Так как о!д (4.37) могут быть различными, то могут быть различными и ид, (4.41), и дд, (4.70). Определим условия, при которых минимизируется Р, „. Обозначим од, =од+ гдад,. Ьд, = !дод,/о!. (4.
76) Определим среднюю дисперсию и-го абонента как с! ~н с! н с=! (4.77) При этом с ! .н с! н Лод =- О, с=! ~ Ь„=О. с=! (4.78) Полагая, что Ьд, (( 1, т. е. отклонение дисперсий ад, мало, из (4.70) приближенно находим: !)дс ~ !)д (1 — Ьдс/2 + 36дс/8) дд = 1/од ' а. (4.79) где (4.80) Подставляя (4.79) в (4.75) с точностью до малых более высокого порядка, получаем с! ~и Р, д (1 — Г(!7д)) 1+, '~' Ьд, . (4.81) ~и с=! Первый множитель определяет вероятность ошибки как функцию средних значений од (4.77) и дд (4.80), а второй определяет увеличение вероятности ошибки за счет различия в дисперсиях од,. Поскольку 6д,) О, то для уменьшения Р; д необходимо уменьшать различия между дисперсиями од,.
Минимум ошибки будет в том случае, если ад, =- од. Отметим также, что влияние ,'~ бд, на Р, с тем больше, чем больше дд, т. е. чем меньше требуемая вероятность ошибки. Из (4.81) следует, что если с)дбдс (( ) 2(Ьд, (( )!'2одп), то вторым слагаемым во втором множителе можно пренебречь. При этом Рсш д — 1 ~ (!!А) (4,82) 104 В соответствии с (4.65) при усреднении по всем сочетаниям, находим: ! Р д —— (4.75) С~~ С,~ р2н Чдс ,дс! (4.84) Из приведенноГо условия следует, что с ростом и (числа слагаемых во взаимной помехе) влияние бь, на Р, ь уменьшается. Если же бьь = О, то (4.71) безусловно переходит в (4.82). Таким образом, при прочих равных условиях необходимо уменьшать разброс дисперсий оь', и стремиться привести их к среднему значению о3.
Согласно определениям (4.37), (4.77) имеем с! сч — (4.83! с — — ! /=-1 Рассматривая все сочетания элементов о!ь, / = 1, Е„, /! Ф /', можно выяснить, что элемент о!ь повторяется С~с ! з раз. Поэтому к С!~2К ск к! /ил /-ьь Следовательно, аь является среднеарифметическим значением дисперсий ВКФ с номерами /7!, где й = сопз1, / = 1, Š— 1. Аналогично, производя усреднение по й, т. е. определяя среднюю вероятность ошибки (4.68), можно найти, что она минимизируется, если разброс между о3 стремится к нулю, т. е. о$ совпадает со среднеарифметическим значением (4.85) ь=! /=! ь~! Величину ое назовем дисперсией системы.
Обозначая через о = 1/о)I и (4.86) при о4 -+- оь будем иметь Рош — 1 Е (//) (4.87) Полученные результаты позволяют сформулировать правило выбора системы сигналов: при условии нормализа//ии взаииной помехи необходимо выбирать систему сиен лов с наименьшей дисперсией о'. Если дисперсии системы равны, то лучше та система, у которой меньше разброс дисперсий ВКФ о/ь Мерой разброса является величина !н сн т;~ (А .ь )ь (4.88) ь=!/=1 м! где Ло!ь = о/ь — а'. Формула (4.88) может быть получена так же как сумма ~ б!, в выражении (4.81). Таким образом, если дисперсии с системы равны, то лучше та система, у которой ь меньше. Правило выбора систем сигналов, когда распределение взаимной помехи отличается от нормального, Сначала предположим, что все 106 ВКФ обладают одинаковыми дисперсиями, т.
е. а/А = а'. В этом случае из (4.73) имеем Р, А,~(1 — г(д))~1+ твс (дс — Зд') 1, (4,89) 24п где д определяется формулой (4.85), а уА, согласно (4.52) гьс ~ г!А/1' (4.90) /= 1 Производя усреднение по всем сочетаниям и абонентам, получаем Рсш — [1 — Р (д)] [1 + (т/24П) (дс — Здс)]„(4.91) а коэффициент эксцесса системы !и !.и 7=[~А(/-А — [П ' ~ ~ у!А. (4.92) А= ! /= ! А~! Чем меньше 7, тем меньше средняя вероятность ошибки.
Полученные результаты позволяют сформулировать правило выбора Рис. 4.2 системы сигналов: при равенстве дисперсий систем необходимо выбирать систему сигналов с наименьшим коэффициентом эксцесса. Сравнение двух систем сигналов. Сравним две системы дискретных фазоманипулированных сигналов с числом символов А/ = 64 [31]. Первая система (У) основана на кодовых последовательностях Уолша (см. гл. 12), которые являются строками матрицы Адамара. Вторая система (П) является производной системой сигналов (см. также гл.
12), кодовые последовательности которой получались при помощи посимвольного умножения кодовых последовательностей Уолша на производящую кодовую последовательность (рис. 4.2). Последняя была выбрана из условия малости боковых пиков АКФ. Были подсчитаны все ВКФ обеих систем (в дискретных точках) и определены дисперсии и коэффициенты эксцесса. Для системы У ас = 7,8 10-', 7 = 20. Для системы П а' = 7,7 10-', у = 0,64. Разница между дисперсиями очень мала, а коэффициенты эксцесса сильно отличаются. Это объясняется тем, что ВКФ системы У имеют боковые пики гораздо больше, чем ВКФ системы П.
Была рассчитана средняя вероятность ошибки. Для расчета использовалась формула (4.92), приведенная к следующему виду: Р, — П вЂ” Р (д)](1+ рй), где ]А = тос/24, а = д' — Зд', а д определяется формулой (4.86). На рис. 4.3 прйведены полученные зависимости Р, от д для обеих 106 СО 00 Рош — — ~ гЫ,~ шз(2д Ез)дЕм о г, (4.93) где Лм Л, — огибающие согласованного и несогласованного каналов оптимального приемника.
(Когда передается один из ортогональных сигналов, то один из каналов оптимального приемника (рис. 2.8) является согласованным с ним, а другой — несогласованным.) Двумерная плотность вероятности ш, (Е„ У,) равна произведению одномерных, так как Л, и Я, статистически независимы, поскольку сигналы и фильтры ортогональны. Одномерная плотность вероятности в несогласованном канале определяется выражением (4.62); в согласованном канале плотность вероятности также определяется по (4.62), но с введением среднего значения, равного нормированному значению сигнала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
