Варакин Л.Е. Теория систем сигналов (1978) (1151881), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Однако детальное исследование вопроса выбора систем сигналов показывает, что различные системы сигналов обеспечивают различную помехоустойчивость. В то же время в формулу (4.2), кроме ширины спектра, не входят иные свойства систем сигналов. Такое различие между результатом (4.2) и влиянием свойств систем сигналов на помехоустойчивость объясняется двумя основными допущениями, которые были сделаны при выводе формулы (4.2): во-первых, предполагалось, что взаимная помеха нормализуется, и во-вторых, что ее спектральная плотность в общей полосе частот равномерна.
Однако и то, и другое предположение могут не выполняться, что в значительной мере определяется свойствами используемой системы сигналов. Для выяснения влияния свойств систем сигналов на помехоустойчивость ААС с кодовым разделением перейдем к корреляционному определению взаимной помехи, основы которого приведены в работе (56). Обобщение корреляционного метода определения взаимной помехи и выбор сигналов для ААС дан в (31). Корреляционное определение взаимной помехи.
Рассмотрим работу приемника й-го абонента. Если 1.„— число абонентов в ААС, то й = 1, т'.„. Поскольку выделение информации происходит на выходе приемника, определим характеристики сигнала и взаимной помехи на выходе. Допустим, что информация передается двумя противоположными сигналами и осуществляется когерентный прием.
Оптимальный приемник й-го абонента состоит из согласованного фильтра и решающего устройства (см. рис. 2.4, б). На входе приемника действует сумма полезного сигнала (последовательность сложных сигналов, манипулированных последовательностью информационных символов) и взаимной помехи, которая в свою очередь является суммой мешающих сигналов.
Нормированное напряжение на выходе согласованного фильтра будет равно сумме автокорреляционных функций (АКФ) от полезных сигналов и взаимокорреляционных функций (ВКФ) от мешающих сигналов. По определению (1.23) АКФ й-го сигнала (4.1 4) 94 а ВКФ »тго и й-го сигналов с равными энергиями (1.21) 00 ! с Л»„(т) = — ~" и» (») и„(» — т)»». 2Š— ОЭ (4.15) Решающее устройство принимает решения в момент окончания полезных сигналов, т. е. полагаем, как и ранее, что в приемнике есть синхронизатор, который обеспечивает синхронный отсчет информации. Если на входе фильтра действует только, полезный сигнал, то значение напряжения на его выходе в момент принятия решения (момент отсчета) равно ~1, поскольку оно равно максимальному значению АКФ с учетом знака передаваемого информационного символа.
При действии /-го мешающего сигнала значение ВКФ в момент отсчета равно 1«»» (т), где т — произвольное значение аргумента, ~т~ ( Т. При непрерывной передаче информационных символов »тм абонентом в момент отсчета напряжение будет равно У»д = $»»«»д(т — 1») + $Я»»(т — 1» — Т), (4.16) где $», з»' = ~1 — случайные величины, определяемые знаками информационных символов; 1» — случайный сдвиг во времени начала работы )тго абонента.
Таким образом, величина У»» случайна из-за случайности информационных символов и случайного сдвига во времени начала работы 1тго абонента. Пронумеруем номера мешающих абонентов так, чтобы 1 = 1, 1. Взаимная помеха в момент отсчета есть сумма напряжений вида (4.16): 1 У»с ~.", У»» = ~ч.', Й» В»» (т — »»)+Ь' 1~»ь (т — »» — Т)1. (4 1У) »=1»=1 Индекс «с» означает, что У„, соответствует одному из возможных сочетаний мешающих абонентов, число которых определяется биномиальным коэффициентом С~» . к Обозначим через 1«»ь произвольное значение 1«»„(т — 1»), т.
е. )«»» Е »«»» (т — 1»). Так как »» — случайная величина, то и Я»»в случайная величина. Аналогично, »«»» Е 1«»д (т — 1» — Т). Поскольку»«»„(т — 1») и 1«»» (т — 1» — Т) имеют одни и те жезначения, что и Я»д (т), но только в различные моменты времени, то 1«»» Е 1!»ь (т) и )«»» Е 1«»» (т). С учетом принятых обозначений, из (4.17) получаем: У, = ч", (В» Р~, + В»' 1«» ). (4.18) » ! Величина У», — случайная, так как, во-первых, она сумма случайных величин У»» и, во-вторых, сумма случайного числа слагаемых по различным сочетаниям. Таким образом, случайная величина У„„ взаимная помеха в момент отсчета, представляет собой функцию следующих случайных величин:.
11) числа Мешающих Эб абонентов 1; 2) номеров мешающих абонентов (различных сочетаний С~, 3) информационных символов $;; 4) момента начала работы абонента Для выяснения влияния взаимной помехи Рь, на помехоустойчивость в дальнейшем будет определена вероятность ошибки, которая является функцией Уд, и, следовательно, функцией перечисленных случайных величин.
Отметим их основные характеристики. Число мешающих абонентов 1, так же как и число активных абонентов, определяется биномиальным законом распределения Р (1) = С'„р,' (1 — р,) (4.19) Поскольку Уь, является функцией 1, то и ее плотность вероятности будет функцией случайной величины 1.
Поэтому все возможные функции от Уы необходимо усреднять по 1. В соответствии с известными результатами [104] среднее значение функции ~ (Уь,) определяется равенством: У.„— ! ! г ! и!! ([' Яь!)) = „'!', Р (1) !и! ~7 ~ '~ Я! Рж+ В!' Р)!), (4,20) ! !-! /=! где символ 1 под ш! означает усреднение по 1. В общем случае такое усреднение произвести довольно трудно, так как слагаемые в (4.18) имеют различные функции распределения.
Для простоты, когда в окончательные расчетные формулы 1 будет входить в явном виде, будем подразумевать под 1 ее среднее значение7 = р,܄— 1 в соответствии с (3.6). Основанием для этого является то, что среднее значение суммы случайного числа одинаково распределенных случайных величин равно произведению среднего значения числа слагаемых на среднее значение случайной величины [104[. Относительно изменения номеров мешающих абонентов следует заметить, что все возможные сочетания равновероятны. Поэтому вероятность появления какого-либо сочетания равна 1/С[, ° н Информационные символы 1 и — 1, по предположению, равновероятны. Поэтому их плотность вероятности и! ($) = 0,5 '[6 ($ + 1) + 6 ($ — 1)[, (4.21) где 6 (х) — дельта-функция.
Относительно момента начала работы абонента будем предполагать, что 1, распределено равновероятно на интервале ( — Т, Т). Такое предположение справедливо потому, что если ВКФ от /-го мешающего сигнала попадает на момент отсчета, то ее смещение не превышает 2Т. Прежде чем перейти к определению плотности вероятности взаимной помехи, остановимся на корреляционнв!х и статистических свойствах ВКФ.
Корреляционные и статистические свойства ВКФ. Обозначим плотность вероятности случайной величины )7)ь как в1 (х). Хотя сама ВКФ Л1а )7)ь (т) является детерминированной функцией времени, но из-за случайной задержки 11 ее отсчетное значение )7)а — случаййая величина. Так как ВКФ с различными номерами отличаются друг от друга, то ик функции распределения и моменты также будут различны. Сначала найдем функцию распределения и моменты при непрерывном определении ВКФ (4.15). При этом будем предполагать, что ВКФ действительная функция.
Как было отмечено, величина )71ь случайна потому, что из-за случайной задержки Гу ВКФ )7)ь (г) попадает на момент отсчета произвольно. Для определения случайной величины )71а надо предположить, что аргумент В КФ принимает произвольные значения на отрезке [ — Т, Т). Поскольку Гу равномерно распределена внутри отрезка [ — Т, Т), то плотность вероятности случайной величины т П)2Т при [х[ ( Т, ,( )=( (4.22) 0 при [ х[ > Т Случайные величины )71ь и связаны функциональной зависимостью )7)д=Р)ь (т).
(4.23) Поэтому для нахождения плотности вероятности в, (х) необкодил;а мо воспользоваться общим правилом определения плотности вероятности функции случайной величины [104). Поскольку обратная функция т = = гр ()7уа) неоднозначна, то плотность вероятности будет равна сумме плотностей вероятности от каждого однозначного участка функции т =. гр ()(Тя). Пусть таких участков будет р. Согласно [104) имеем вл (х) = уь = ~я~~ в [(рн (х)[ [ гр„' (х) [, (4.24) н где ф„(х), ~рн (х) — обратная функция и ее пройзводная на р-м участке однозначности. Используя (4.22), нз (4.24) получаем вл (х) = 1ь 1 = — ~ [,р ' (х) [, (4.25) 2Т Р н Найдем тьй начальный момент случайной величины )71ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
