Варакин Л.Е. Системы связи с шумоподобными сигналами (1985) (1151877), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Изменение спектра помехи. Помеха подстраивается под сигнал, а фильтр — под сигнал и помеху согласно (10.43). Помеха выбирается так, чтобы получалось минимальное значение отношцння сигнал-помеха, т. е. дз=д' ~ . Это варнацнонная задача на условный экстремум. Действительно, изменяя Ф(а), надо минимизировать интеграл (10.44) прн условии, что мощность помехи (10.7) Р, сопз1. Такая задача относится к нзопернметрнческнм. Ее решением является спектральная плотность л! (в) = = !й'(а)!. ~х (10.48) Поскольку Х постоянная величина, спектральная плотность помехи должна совпадать по форме с амплитудным спектром сигнала. Соответственно г'Х= — ) !я(в)! да.
(10.49) пР» е Прн этом обязательным условием является существование интегра- ла от правой части равенства (10.49). Отметим, что для реальных сигналов данное условие всегда выполняется. Решение (10.48) со- ответствует минимуму интеграла (10.44): Г! м 1з 0.,„=,—, ~ — ~ !8(в)!бв~ . (10.50) П Предположим, что сигнал н помеха сосредоточены в некото- рой области частот В, ширина которой ЯГ=2пР. При этом энергия сигнала н мощность помехи определяются выражениями (10.45), (10.7), в которых пределы интегрирования определяются областью В. Согласно неравенству Буняковского — Шварца нз формулы (10.50) следует, что Ч~ы~( — — ~ Ла — ~ !й'(в)!еда= — = — .
(10.51) 1 1 - 1 Е2Г 2 ЕЕ Р» »Р, Р, Равенство в (10.51) выполняется только при ~8(в) 1=сопз1. В этом случае У(а) =Мо=Р,!Р=сопз1 и максимальное значение д' ы=2Е(Хв Таким образом, если помеха подстраивается под сиг- нал, то максимум отношения сигнал-помеха будет тогда, когда спектр сигнала равномерный. Выразим д' через отношение мощностей сигнала и помехи. По- скольку средняя мощность сигнала на входе фильтра Р,=Е~Т, то максимальное значение дз,»п=2р'В.
Отсюда следует, что отноше- ние сигнал-помеха на выходе фильтра возрастает по сравнению с отношением сигнал-помехи на его входе в 2В раз. 200 (! 0.54) Е„=~ Е„, выражение (10.54) записывается в следующем виде: (10.56) Уо ~ Е/ Таким образом, чем больше энергия сигнала Е по сравнению с суммарной энергией помех Е„тем больше отношение сигнал-помеха.
Оценим влияние на величину д множителя Уь/(Уь+Уо) в формуле (10.53). Пусть спектральные плотности всех узкополосных помех одинаковы н равны Умь Полагая Уьо)№, из (10.53) приближенно получаем, что (10.57) Уе ~ Е УыЕ/ Третье слагаемое в (10.57), отсутствующее в (10.56), обусловлено учетом множителя Уь/(Уь+№) в формуле (10.53). Чем больше отношение №6/Уы тем меньше влияние этого слагаемого и, следо- 201 (10.55) Помеха в виде суммы белого шума и узкополосных помех. Сказанное ранее относилось к случаям, когда либо сигнал подстраивался под помеху, либо помеха †п сигнал. На практике пред. ставляет интерес оценка отношения сигнал-помеха для случая, когда помеха равна сумме белого шума со спектральной плотностью Уе и узкополосных помех. Будем считать, что спектры узкополосных помех не перекрывают друг друга.
Пусть Й-я узкополосная помеха сосредоточена в полосе частот 2пРы а ее спектральная плотность постоянна в этой полосе частот и равна Уь Обозначим область частот, где действует белый шум и й-я узкополосная помеха, через 5ы а где только белый шум †чер 5ы При таких предположениях из формулы (10.44) получаем д~ = — ( !у (а)!' де+ ~ч~ ) !а (е)!з дго. (10.52) пУе й, ь и (вь+л1е! вь Суммирование производится по всем й. Имеем 2Е( Еь Уь (10.53) Уа ~ ь и вь+Уе / Допустим, что Уд~Уы Тогда 2Е1 ! Уг ж — ~ 1 — — ~~~~ Еь Фа Е Из выражения (10.54) следует, что отношение сигнал-помеха зависит от отношения части энергии сигнала, приходящейся на все частотные участки„ где действуют узкополосные помехи, к полной энергии сигнала.
Обозначая суммарную энергию всех узкополосных помех через (10.59) вательно, множителя Уа/(УьХУе) в (10.53)'. Это объясняется тем, что с ростом Ухо/Уе коэффициент передачи фильтра на тех частотах, где есть узокополосная помеха, в (№+Уьо)/Уеж Ухо/Уе раз меньше по сравнению с коэффициентом передачи на тех частотах, где помех нет.
Чем больше Ухо/Уа тем меньше влияние тех частотных участков, где есть узкополосные помехи. К такому оптимальному методу приема будет близок неоптимальный, который сейчас и рассмотрим. Допустим, что фильтр согласован с сигналом, принимаемым на фоне белого шума, а узкополосные помехи вырезаются полностью режекторными фильтрами. Отношение сигнал-помеха на выходе фильтра Ю'= — ' ~ ~а(в)1'(а. (10.58) аеа Окончательно имеем 2Е(1 Е ) Сравнивая (10.53) и (10.59), замечаем, что разница между ними определяется множителем Уь/(Уь+Уе) в формуле (10.53).
С ростом отношения Уа/Уе эта разница уменьшается. Произвольная помеха. Допустим, что фильтр согласован с сигналом в предположении, что помехой является белый шум, а в действительности помеха обладает неравномерным спектром У(в). В этом случае отношение сигнал-помеха г 1 ОО т 1 дэ = Е' ( — ( ~ я (в) 1' У (в) б а) (10.60) 12а 5 Допустим, что спектр сигнала постоянный в полосе частот (Р=2пР. Спектральная плотность сигнала записывается в следующем виде: бее = и Е/УР= Е/2 Р.
(10.61) Подставляя (10.61) в (10.60) и учитывая (10.7), находим д* = 2 ЕР/Р . (10.62) Если Е и Є— постоянные величины, то отношение сигнал-помеха увеличивается с ростом Р независимо от вида помехи. Для помехи с постоянным спектром Уе в полосе сигнала мощность Р.=УеР. Тогда (10.62) превращается в известное выражение г/а= 2Е/Уа Отношение сигнал-помеха (10.60) примет наименьшее значение д' в тогда, когда интеграл примет максимальное. Минимум имеет место при условии 1а(внв =Ь У(а). (10.63) Условие (10.63) означает, что спектральная плотность наиболее 202 мешающей помехи совпадает по форме с энергетическим спектром сигнала. Окончательно имеем Е 1 х — 1 4.'!.= —,~ — „) ~а(мМ' (») (10.64) Ра я Если допустить, что спектр сигнала равномерный в полосе частот Р, то (10.64) сведется к 4' ы= 2Е(!!!!.
Оценим, к каким потерям в от!ношении сигнал-помеха приводит неравномерность спектра сигнала. Предположим, что спектр сигнала сосредоточен в полосе частот от 0 до Р, а энергетический спектр сигнала ! й (е) Р =0', + х' соз (1 а/Р). (10.65) Здесь 1 — целое цисло, а х — характеристика неравномерности. Подставляя (10.65) в (10.64), получаем 2ЕР ~ х! т — ! (10.66) Второй множитель в формуле (10.66) определяет потери д' !„ обусловленные неравномерностью спектра сигнала.
Если х'=6з' (наихудший случай), то потери отношения сигнал-помеха составят 1,78 дБ. Отметим, что величина потерь не зависит от формы спектра сигнала, так как в формулу (10.66) не входит величина 1, определяющая характер изменения спектра (10.65). Это связано с принятой аппроксимацией спектра сигнала (10.65), Необходимо отметить, что если сигнал или помеха в согласованном фильтре подстраиваются друг поддруга, то наиболее часто встречающимся на практике является случай, когда сигнал и помеха обладают равномерными спектрами в одной и той же полосе частот.
С точки зрения постановщика помехи необходимо так подстраивать помеху, чтобы имело место равенство Ф(в) =а~у(в( (10.48), где а — постоянная размерная величина. Это равенство определяет характер оптимального воздействия помехи: сильнее подавлять те спектральные составляющие сигнала, которые переносят ббльшую часть энергии сигнала.
Если помеха имеет резкий пик в своем спектре, то согласно (10.43) усиление согласованного фильтра в области частот пика резко бн!ижается и в этой области частот согласованный фильтр становится режекторным и исключает эту мощную часть помехи. Здесь имеется полная аналогия между оптимальным накоплением с весовыми коэффициентами (10.36) и согласованным фильтром (10.43). Весовой коэффициент (усиление фильтра) пропорционален сигнальной составляющей (по напряжению) и обратно пропорционален мощности помехи. В свою очередь любой «провал» в спектре помехи позволяет согласно (10.43) увеличить усиление согласованного фильтра и тем самым повысить отношение сигнал-помеха (10.44).
Поэтому система постановщик помехи — приемник находится в динамическом язз равновесии только тогда, когда спектр сигнала н спектр помехи равномерны. Прн этом нн одна нз сторон не получает дополнительного выигрыша в повышении (поннженин) помехоустойчивости нз-за неравномерности спектра. Точно такой же результат следует.нз рассмотрения кривых рнс. 10.3, которые сходятся в точке гп=М, т. е. когда помеха действует на все элементы. Особенно показательно сравнение прямых 3 н 4. Прямая 3 характеризует снижение помехоустойчивости, если помеха воздействует на пг элементов, а в приемнике не принято специальных мер по защите от мощных помех н цакопленне в приемнике линейное.
Если приняты меры по защите от мощных помех в виде оптимального накоплення (прямая 4), то это обеспечивает существенный вынгрьпп в помехоустойчивости. И только в точке гп=М этого выигрыша нет. Прн этом выигрыш в помехоустойчивости согласно (10.2) можно обеспечить только за счет увеличения базы сигнала. Если помеха не является стационарной, то сначала целесообразно рассматривать ее воздействие на элементы сигнала, а затем учитывать результаты накопления. 10.5. Реальная база и помехоустойчивость ШСС ' Прн выводе основной формулы (10.2) дт,=2ртВ обычно полагают, что ширина спектра помехи равна ширине спектра сигнала Р. Следует отметить, что соотношение (10.2) справедливо прн некото-. рых непринципиальных предположениях н для ряда других пред.
намеренных помех. Если на входе приемника Р,(Реег..1, то используя ШПС с базой В»1, можно получить отношение сигнала к помехе дт,~1 н тем самым обеспечить надежную связь. В этом н состоит выигрыш в применении ШПС в системах )у(~11 связи прн действии преднамеренных помех. Однако определение реальной помехоустойчивости н выигрыша в помехоустойчивости согласно (10.2) затруднено тем, ! что прн расчете по (10.2) возни- кают недоразумения в определега ннн ширины спектра сигнала. Для примера рассмотрим рнс. г "гг 10.4, на котором приближенно изображен спектр в виде функции Рис.
!0.4. Спектр ФМ сигнала Ю (1) = (зш я 0 — 1е) теИя И вЂ” 1о) те) фазоманнпулнрованного (ФМ) сигнала на несущей частоте (е, где то — длительность одиночного импульса, а число импульсов гт'= = Т(то. ' Материал данного параграфа написан на основе совместной работы с В.
Н. Талмвивмм 170]. 204 На рис. 10.4 приведены два определения ширины спектра. Видно, что при формальном вычислении при Р=Рв база будет больше, чем при Р=~~. Соответственно и помехоустойчивость сот. ласно (10.2) при Р=Рв будет больше. Но постановщику преднамеренной помехи иет необходимости использовать помеху с равномерной спектральной плотностью мощности при неравномерном спектре сигнала, так как при этом ее эффективность падает [41. С точки зрения постановщика помехи целесообразно использовать помеху со спектральной плотностью мощности (10.48) )х'(в) = =а)К(в) ~, где )к(в) ~ — модуль спектральной плотности сигнала, а — размерный коэффициент пропорциональности, определяемый нз условия ограниченности средней мощности помехи Рп=сопз1, размерность [а| = [Вт/В1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
