Финк М. Теория передачи дискретных сообщений (1970) (1151862), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Если сдви- фазы всех составляющих какого-либо из сигналов гол ф, изменяющийся от О до 2п, то соответствую- точка опишет окружность, лежащую в плоскости, ендикулярной к подпространству 5). Точки, лежана этой окружности, при некогерентном приеме неичимы. Но разным сигначам г', ' (1) соответствуют различные не- 1)) ресекающиеся окружности". Поэтому все сигналы г~~)((), онн различимы при когерентном приеме, остаются размыми и при некогерентном приеме. То же относится стеме сипьзлов г)з)(!). Таким образом, идеальный канал с точно известными аметрами сигналов, имеющих мощность 2Р„можно дставить как суперпозицию двух каналов с неопренной фазой, в каждом из которых сигналы имеют ность Ро и передается половина всей информации.
юда пропускная способность С ф канала с неопреденой фазой должна равняться половине пропускной способности идеального канала при удвоенной мощности сигнала, или на основании (3.84) * Строго говоря, ояружностн, соответствующее двум снгнзлям з)1' (1) н я)л)) ()), могут совпадать я точ случае, есля з)1') ()) — з)ь') ()) нлн А) (1) = — А (1). такие протнноположные сягяялы охн- зыязючся яернзлячямымн прн некогерентном примере я один яз кнждой пары противоположных снгнялон нужно исключить яз сметены я) (1), и) пригодной для канала с неопределенной фазой. Пря ятом число рзз- лячнмых сигналов может уменьшиться не больше чем вдвое.
Однако зто'сонрзщеняе вносят лишь пеболыпу»о попрзяху н скорость передячн нм)ормнннн, я прн предельном переходе (Т-» со) поправка стремятся я нулю, 3!1 11рз Р,,- Р„, ЗРс . ! ~с "=--""~й=- — '~'" — ' 'и'1=- Р Си Р зющности сигнала и спектральной плотности помех сис1ема сигналов, ортогональных в усиленном смысле, обеспечивает пропускную способность (4.113). Это зная'т чпг, что для системы из ш=е ортогональных в усиленном смысле сигналов вероятность правильного приеча прп достаточно болыпом Т превышает 1 — е, где е— :коль угодно малое положительное число, если где ф— пропускная способность идеального канала; при Р <<Р 2 Р„, Р„, Таким образом, при слабых сигналах пропускная сгюсобпость канала с неопределенной фазой почти не отличается от пропускной способности идеального канала.
С увеличением же мощности сигнала разница между этими пропускными способностями возрастает. и в пределе пропускная способность из-за неопределенности фазы уменыпается вдвое. Этот результат не является неожиданным. При слабых сигналах. небольшие различия в начальной фазе двух сигналов маскируются помехой и поэтому идеальный канал с полностью известной фазой приходящего сигнала не имеет существенных преимуществ (в смысле различимостп сигнала) перед каналом с неопределенной фазой.
С увеличением мощности сигнала появляется возможность лучше различать фазы сигналов в идеальном канале, что и приводит к существенной разнице в пропускных способностях. Если заданы мощчость сигнала Р,. и спектралытая плотность шума ч, а полоса частот й не ограничена, то наибольшая предельная пропускная способность при Р— со может быть определена нз (4.112) с учетам того, что Р„т Р: Р, "-'!Ип С Ф (4.113) что совпадает с полученным ранее выражением (3,85) для идеального канала.
Вопрос о том, можно ли указать регулярный метод выбора сигналов, обеспечивающих досгнженпе пропускной способности (4.112), в общем случае не решен. Однако для канала с неограниченной полосой пропускання такой метод существует. Докажем, что при заданных 1з и'<С (4.114) Будем исходить из выражения (4.46) для вероятности правильного приема д при оптимальном некогерентном правиле решения: у=.-е " ) 4е "ч1,(Р'2тй)[1 — е "ч ) 'г!4„ где 1!спользуя интегральное представление модифицированной функции Бесселя, запишем его в следующем виде: — Е Ч1 ]юи-~~,' оо ! ~ ехр [ — 2 (2Й'+»,' — 2~~'2 64 соз 1~)) г(~ Обозначив т1соз о==х, яз!и у=у, а затем х — уг 26= = ', получим ля, га !ы — 1 1 — е 1;к — кч — з ), ехр [ — — (26'+ х'+у' — ~l 2 йх)~ г!х1(у= со у2 ям )' — ~ — ОЭ вЂ” ехр ~ — — (з'+ 2~/ 2 Ьз+2Ь'+у') )(! г!у1~г.
(4.1!5) Определим при заданном е число а„)0 так, что (4.116) Поскольку подынтегральная функция в (4.115) не отрица- тельна и е ~~ -1, имеем ж а р~+и д ~ — ] г(а ] е ~1 — ехр ~ — — „~у'+ +(~+ Р'2 й)'1~ г(у=- 2 ~, г(а~ е Х(1 — ехр [ — — (г+ !'"2 ?1) )™ ~ 1?у. (4,!17) 2 а2. 2 Выберем Т ">Т,= —. Тогда [: 2 Ь>а и выражение, заключенное в фигурные скобки в (4.!17), будет возраста- ющей функцией а при з > — а.
Г!питому при замене иа — п правая часть (4.117) ие увеличится и 2ж — а)'~~ 1(ж=-(! — ехр ~ — — Ц.' 2 и — а)'~~ Х вЂ” е у] е г 1 à —,рр,~ Г -гнт, 2ч или, учитывая (4.116), у=.-(1 —. р~ — — '()г2й — ) [(" 'у Х ] — '[ .-."а* — —,' ]1.-. ы-1 [1 — ехр [ — — )l 2 й — а)-"[[ — — ' (4.118) Если выполнено условие (4.114), то можно найти та- кое б>0, при котором й ЪТ(Н+6) или й>р т р'н+з. (4.!! 9) Вадавшись достаточно малой величиной б, удовлетворяющей условию (4.119), можно найти такое т1>0, при котором — т> ~' Н'+й +ч. Ь (4.120) Тогда, учитывая, что !Т 2 й > а, 1 — хр ~ — — (р 2 й — а)'~=.
=:.1 — ехр ~ — 2 (!ОТ(Н'+а)+~~2Тт! — а)'] При Т:"- Т, = — — „ 1 — ехр ~ — — (!' 2й — а)'~=-1 — ехр[ — Т(Н'+8)1 (4.!2 ) Из (4.1!8) и (4,121) д.=- (1 — ехр [ — Т (Н'+ Ь)Ц 1 — (т — 1) схр [ — Т (Н + б)] — — > > — ~ хр[ — (Н'+~)[ — 2. и'г Учитывал, что щ == е, получим д>1 — е [е г г[ — — =1 — е г — —. 2 2 1 2 Положив Т, = — 1п —, получим окончательно, что 2 при Т > п1ах (Т„Т„?',) д~! — а, что и требовалось доказать. Напомним, что исходная формула (4.46) была получена в предположении, что за время Т начальная фаза сигнала практически остается неизменной. Поскольку в приведенном доказательстве предполагалась возможность выбирать величину Т сколь угодно большой, то оно справедливо только для канала, в котором фаза 315 сигнала не флюктуирует, по остается неизвестной и построении решающей схемы, так что возможен только некогерептный прием. Для случая, когда начальная фаза сигнала флюктунрует достаточно быстро, вычисление йропусквой способности канала наталкивается на большие трудности.
С целью получения оценки этой пропускной способное~и снизу можно прибегнуть к следующему рассуждению. Выберем достаточно малый интервал времени Ть на протяжении которого фаза практически не фшоктуирует, и будем передавать сообщение с помощью последовательности двоичных сигналов длительностью Т<Ть Кодирование в дискретном канале будем производить, обьединяя достаточно длинные последовательности инфорлгацнонных символов, обеспечив заданную (сколь угодно малую) вероятность ошибки декодирования прн скорости передачи, сколь угодно близкой к пропускной способности дискретного канала (2.28).
В натуральных единицах эту пропускную способность можно записать В СЛЕДУЮЦ1ЕМ ВИДЕ: — (1~ 2+ 71 1в,ц+ (! —,р) 1п (1 - — р)) в"~'"' ", (4.122) где р — вероятность ошибки в дискоетном канале, завися- Ргт щая от /г=-= — ', Максимальная пропускная способность дискретного симметричного двоичного канала будет иметь место, когда вероятность ошибки минимальна. Последнее обеспечивается прп некогерентном приеме выбором системы 1 ..Фч ,в ОФТ, для которой р= —,е'" . Выразив Т через й н 2 подставив в (4.122) значение вероятности ошибки, найдем * ч Строга говоря, формула (4.122! для ОФТ не верна.
Она справедлива лля канала бел памяти, тогдз нак при ОФТ имеется тенденция н оопариозгу групппровашпо ошибон. Однако зту фбрмулу мо>нна врачевать нак опенку снизу, поскольку канал г ОФТ можно превратить в канал с яезависн»ыми ошибками, рассматряаая отдельно символы с четвымн и нечетными ночерама и раздельно объединяя их в кочонвапаи корректиругагцего кода.
Если же учитывать зависнмосгь ошпбов, ло идгпгускпая способность окзжется несколько боль- гпе, чем (4.122!. 316 С = — з ', ~1п 2 — — е ' (1п 2+ угз) + 1 газ! ч Л' 2 +(, 2 !1'1~1 2 е 1 (4.!23) Изменяя величину Т (так, чтобы она оставалась меныпе Т,), мы будем изменять и йе. В отличие от случая канала с постояняой фазой, где скорость передачи информации при двоичном кодировании (3.97) монотонно возрастает с уменьшением 7; здесь имеется оптимальное значение йз, прн которовг (4.123) достигает максимума. Анализ выражения (4.123) показывает !25), что этот максимум имеет место при Ьз= =1,551.
Это соответствует оптимальному значению я 7',„,: 1,551 —. овч ' уэ ' ! Если мощность сигнала достаточно велика, так что Топч<Т„то выберем длительность сигнала равной Т„„. Подставив в (4.123) Аз=1,551, найдем С=(),229 — ", =9,229С„. <я=21 ч (4.124) Таким образом, пропускная способность канапэ с флгоктуацнямн фазы и с неограниченной полосой пропускания не меныпе чем 22,9о от пропускной способности канала с постоянными параметрами, если мощность сигнала и скорость флюктуаций таковы, что за время Т =-= 1,55!в гс фаза практически не изменяется. Случай, когда последнее условие не выполняется, требуе~ отдельного рассмотрения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
