Скляр Б. Цифровая связь (2003) (1151859), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Раз- дел А.5.3), мы можем преобразовать произведение временных функций х(г)хь(г) в урав- нении (2.5) в свертку частотных функций ХЩ в Хь(1), где (2.6) является Фурье-образом последовательности импульсов хь(г), а 7; = уТ, — частотой дискретизации. Отметим, что Фурье-образ последовательности импульсов — это другая последовательность импульсов; периоды обеих последовательностей обратны друг другу.
Последовательность импульсов хь(г) и ее Фурье-образ Хь(г) показаны на рис. 2.6, в, г. Свертка с импульсной функцией смещает исходную функцию: Х(1) ь б(г-лЯмХ(Т-лу). (2.7) Запишем теперь Фурье-образ дискретного сигнала: Х,( Г) = Х( Т) ь ХЬ(Т) = Х(Т) ь — Ебц — пУ5) 1 1Т ~ л= (2.8) 1 — Х(Т вЂ” лг,). 2.4. Фооматиоованил аналоговой иллюомю ~ии Итак, приходим к заключению, что в пределах исходной полосы спектр Х,(1) дискретного сигнала х,(г) равен, с точностью до постоянного множителя (11Т,), спектру исходного сигнала х(г). Кроме того, спектр периодически повторяется по частоте с интервалом Т, Гц. Фильтрующее свойство импульсной функции позволяет легко получить свертку в частотной области последовательности импульсов с другой функцией. Импульсы действуют как стробнрующие функции.
Значит, свертку можно выполнить графически, накрывая последовательность импульсов Хь(7), показанную на рис. 2.6, г, образом ~Х(г)~, представленным на рис. 2.6, б. Этот процесс повторяет функцию )Х(7)~ в кажлом интервале частот последовательности импульсов, что в конечном итоге дает функцию ~Х,Щ показанную на рис. 2.6, е. После выбора частоты дискретизации (в предыдущем примере 7;= 2У ) каждая спектральная копия отделяется от соседних полосой частот, равной 7", Гц, и аналоговый сигнал полностью восстанавливается из выборок путем фильтрации. В то же время для выполнения этого потребовался бы идеальный фильтр с абсолютно крутыми фРонтами Очевидно, что если 7;>2Т,, копии отдалятся (в частотной области), как показано на Рис. 2.7, а, и это облегчит операцию фильтрации.
На рисунке также показана типичная характеристика фильтра нижних частот, который может использоваться для выделения спектра немодулированного сигнала. При уыеныненни частоты дискретизации до); < 2Т копии начнут перекрываться, как показано на рис. 2.7, б, и информация частично будет потеряна. Явление, являющееся результатом недостаточной дискретизации (выборки производятся очень редко), называется налахсением (а))аз)п8). Частота Найквиста )= 2Т вЂ” это предел, ниже которого происходит наложение; чтобы избежать этого нежелательного явления, следует удовлетворять критерию Найквистаг, > 2Т . Характеристика фильтра, несбхсдимая для восстановления )Хв(Е) ) сигнала из дискретных данных -2Е» -Ев -Еи О Ем Ев 2(в а) )Х,(Е)) / "2)в -Ев О Ев 2(в б) Реес.
2 7. Слаалры длл различных частот дискретизаииие а) дис- кретный слектр (й > 2гв); й) дискретный слектр (); < 2уи) С практической точки зрения ни сигналы, представляющие технический интерес, ни реализуемые узкополосные фильтры не имеют строго ограниченной полосы. Сигналы с идеально ограниченной полосой не существуют в природе (см. раздел 1.7.2); следовательно, реализуемые сигналы, даже если мы можем считать, что они имеют ограниченную полосу, в действительности всегда включают некоторое наложение.
Эти сигналы и фильтры могут, впрочем, рассматриваться как ограниченные по полосе. Под последним мы подразумеваем, что можно определить полосу, вне которой спектральные компоненты затухают настолько, что ими можно пренебречь. 2.4.1.2. Естественная дискретизация В данном разделе справедливость теоремы о дискретном представлении демонстрируется с помошью свойства преобразования Фурье, заключающегося в сдвиге частоты. Хотя мгновенная выборка и является удобной моделью, все же более практичный способ дискретизации аналогового сигнала х(е) с ограниченной полосой частот (рис. 2.8, а,б) состоит в его умножении на серию импульсов или коммутируюший сигнал хв(е) (рис. 2.8, в).
Каждый импульс серии хе(е) имеет ширину Т и амплитуду ПТ. Умножение на х,(е) можно рассматривать как включение и выключение коммутатора. Как и ранее, частота дискретизации обозначается через Тн а величина, обратная к ней (время между выборками), — через Те Получаемая последовательность дискретных данных, х,(е), показана на рис. 2.8, д; она выражается следующей формулой: (2.9) х,(Е) = х(Е)хв(Е).
Й Й ° ИИИИИ!ИИИИ о а) о е) Ь(1)з й О: )Хз(1) ) -4Т» -2Т» О 2Т» 4Т» а) -21» -1» О 1» Юэ г) Хэ(О = Х(Г) Хр(1) ) х,(0) 4Т» -2Т О 2Т» 47» -21, -1, -1 О 1 1, 21, а) е) Рис. 2.8. Теорема о дискретном нредставхении и сдвиг частота Фурье-образа В данном случае мы имеем дело с так называемой естественном" дискретизацией (пашга1 загпр)ш8), поскольку вершина каждого импульса х,(1) в течение интервала его передачи имеет форму соответствующего аналогового сегмента. С помощью уравнения (А13) периодическую серию импульсов можно выразить как ряд Фурье: хр(1) = ~с„е »=в (2.10) з1пс у = —. ха ку ху Огибающая спектра амплитуд серии импульсов, показанная на рис. 2.8, г пунктиром, имеет виа функции йпс. Объели)ия выражения (2.9) и (2.10), получаем следующее: х,(1) = х(1) ) с„е ~'"Т~ . (2.11) Образ Х,(т) дискретного сигнала находится следующим образом: Х,(Т")=3 Х(1) ~~) С„Е тнуз (2.12) 2.4.
Форматирование аналоговой инфоРмации где частота дискретизации, Я= 1)Те выбрана равной 2Т, так что выполнено минимальное необходимое условие критерия Найквиста. Из уравнения (А24) с„= (11Т,) зтс(лТ)Т), где Т вЂ” ширина импульса, ЦТ вЂ” его амплитуда, а Для линейных систем операции суммирования и преобразования Фурье можно ме- нять местами. Следовательно, можно записать следующее: Х,(Т) = 2 3~2(г)сие ю~т». (2.13) Используя свойство переноса частоты преобразования Фурье (см. раздел А.3.2), полу- чаем следующее выражение для Х,5: (2.!4) Пример 2.1. Сравнение дискретизации единичными имнульсамн и естественной дискретизации Рассмотрим данный сигнал х(г) и его Фурье-образ Х(т). Пусть Х„(г) — спектр сигнала х„(г), являющегося результатом дискретизации х(г) с помощью серии единичных импульсов хг(г), а Х,г(т) — спектр сигнала х,г(г), являющегося результатом дискретизации х(т) с помощью серии импульсов х,(г), имеющих ширину Т, амплитуду ЦТ и период Т,.
Покюките, что в пределе Т -+ О Хи()) = Ха(т). Реигеиив Из уравнения (2.8) Х,!( Т) = — ~~) Х( Т вЂ” лу",) 1 Т ги и из уравнения (2.!4) Х,г(Т)= ) с„Х(Т вЂ” лт;). При Т-т 0 амплитуда импульса стремится к бесконечности (площадь импульса посто- янна) и х,(г) -+ хг(г). С помощью уравнения (А.!4) коэффициенты с„мозсно записать как следующий предел: Т,/2 1 т с„= !нп — ~х (г)е ю"~'г(г= т- оТ, ' -трг Т,Г2 — ~ха(Г)в гю"Т'й . 1 -т,гг Подобно дискретизации с использованием единичных импульсов формула (2.14) и рис. 2.8, е показывают, что Х,()) — это копия Х(т), периодически повторяющаяся по частоте с интервалом б Гц.
Впрочем, прн естественной дискретизации видим, что х,(г) взвешена на коэффициенты ряда Фурье серии импульсов, тогда как прн дискретизации единичными импульсами имеем импульсы постоянной формы. Отметим, что в лределе, при стремящейся к нулю ширине импульса Т, с„стремится к 1!Т, для всех л (см. пример ниже) и уравнение (2.14) переходит в уравнение (2.8). Следовательно, в пределах интегрирования (от — Т)2 до Т(2) единственный ненулевой вклад в интеграл дает значение х«(г) = 8(с); в данном случае можно записать следующее: гр2 с„= — ~8(г)е 7'й = —. -зм« Т, з' Т ' -трг Получаем, что в пределе для всех л Хмф = Хл((), х, (Г) = Р(Г) «гх(Г)ха(Г)] = = Р(г)" х(г) * ~~) б(г — лТ) «=- (2.15) Фурье-образ, Х,(г), временной свертки в уравнении (2.15) равен произведению в час- тотной области Фурье-образа Р(]) прямоугольного импульса и периодического спектра импульсно-дискретных данных, показанного на рис.
2.6, е: Х,Ц) = РЦЯ х(г) ~~) б(г — пТ,) П=- 1 = РЦ) ХЦ) * — ) 8Ц вЂ” лу;) ~ «=- (2.16) = РЦ) — ) ХЦ вЂ” лу",) . 1 Т 1«=- Здесь Р(г) имеет вид Т, з!всуТ„Результатом умножения является спектр, подобный спектру примера естественной дискретизации (рис. 2.8, е). Наиболее явный результат операции хранения — значительное затухание высокочасготных спектральных копий (сравните рис.
2.8, е и 2.6, е), что весьма желательно. Клк правило, для завершения процесса фильтрации требуется дополнительная аналоговая фильтрация, позволяющая подавить остаточные спектральные компоненты, кратные частоте дискретизации. Вторичным результатом операции хранения является неоднородное усиление (или подавление) спектра нужной полосы частот за счет функции Р(7) (см. формулу 2.16). После фильтрации это подавление можно компенсировать пугем применения функции, обратной к Р((). 2.4.2. Наложение На рис. 2.9 представлено увеличенное изображение рис.
2.7, б, на котором дана положительная половина спектра немодулнрованного сигнала и одна копия сиг- 2.4. Форматирование аналоговой информации 2.4.1.3. Метод "выборка-хранение" Простейшим, а поэтому и наиболее популярным методом дискретизации является выборка-хранение. Описать этот метод можно с помощью свертки серии дискретных импульсов, [х(г)г«(г)], показанной на рис. 2.6, д, с прямоугольным импульсом Р(г), имеющим единичную амплитуду и ширину Т,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
