Скляр Б. Цифровая связь (2003) (1151859), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Идеальный фильтр Построить идеальную сеть, описываемую уравнением (1.5б), нереально. Проблема заключается в том, что в уравнении (1.5б) предполагается бесконечная ширина полосы, причем ширина полосы системы определяется интервалом положительных частот, в которых модуль ]О(1)( имеет заданную величину. (Вообще, существует несколько мер ширины полосы; самые распространенные перечислены в разделе 1.7.) В качестве приближения к идеальной сети с бесконечной шириной полосы выберем усеченную сеть, без искажения пропускающую все гармоники с частотами междуна ивет где (; — нижняя частота отсечки, а 1 — верхняя, как показано на рис. 1.11.
Все подобные сети называются идеальными фильтрами. Предполагается, что вне диапазона~~ <1< Г„, который называется полосой пронускания (раыЬащ]), амплитуда отклика идеального фильтра равна нулю. Зффективная ширина полосы пропускания определяется шириной полосы фильтра и составляет ]]) = (г"„- 9 Гц. Еслибы)ы О и г"„и, фильтр называется полосно-пропутающиы (рис. 1.11, а). Если б = О и 1 имеет конечное значение, он именуется фильтром нижних частот (рис. 1.! 1, б). Если Я имеет ненулевое значение и 1 -+ т, он называется фильтром верхних частот (рис.
1.11, в). ]и<п] Ширина полосы ПВ 1,-1, а] ф], Ширина полосы, н~л гн б) й гн в] Рис. 1.11. Лередаточнан функция идеальных филыпров: а) идеальный полосни-пропускающий филыпр; б) идеальный фильтр нихсних частот; в) идеальный фильтр верхних частот 1.6 Пвовппча'оигнапп чоопп пинойныо сыстаыы Используя уравнение (1.59) и полагая К= 1 для идеального фильтра нижних частот с шириной полосы Иге-— у„Гц, показанной на рис.
1.11, 6, можно записать передаточную функцию следующим образом: Н(1) т(НЯЕ тй, (1.58) где л ~(у(~У„ (О дллфа г'„ (1.59) (1.60) -!О(г ! — 2ку!ь н (г) Рис. г*.гл Нинульсный отклик идеального 4ильтра каноник частот Импульсный отклик идеального фильтра нижних частот, показанный на рис. 1.12, выражается следующей формулой: 1!(2) = а ~(Н(у)) = ~НЦ)е ~~!!у = у« 2н!йьезт!" г(Г -Л (1.61) или / — 2к!г'ьг-!ь! () -!'.
2 м 2Л(-.) 2лу„(г-го) (1.62) т2гь 3!па 2~и(г - го), тле фУнкция з)асх определена в уравнении (1.39). Импульсный отклик, показанный на рис. 1.12, является непричинным; зто означает, что в момент подачи сигнала на вход (!= О), на выходе фильтра имеется ненулевой отклик. Таким образом, очевидно, что идеальный фильтр, описываемый уравнением (1.58), не реализуется в действи- тельности. Пример 1.2. Прохождение белого шума через идеальный фильтр Белый шум со спектральной плотностью мощности б„(у) = Меб., показанный на рис 1.8, а, подается на вход идеального фильтра нижних частот, показанного на рис. 1.11, б.
Определи- те спектральную плотность мощности бг(г) и автокорреляционную функцию йг(т) выход- ного сигнала. Решение б,Щ шб„ЯНЯш Но гиег< у ш О для остальных ф Автокорреляционная функция — это результат применения обратного преобразования Фу- рье к спектральной плотности мощности. Определяется автокорреляционная функция сле- дующим выражением (см. табл. А.1): 51п 2кун1 йг(т) = НоУ„ 2ку„т = Но~ а(пс 2!',т.
Сравнивая полученный результат с формулой (1.62), видим, что йг(т) имеет тот же вид, что и импульсный отклик идеального фильтра нижних частот, показанный на рис. 1.12 В этом примере идеальный фильтр нижних частот преобраювывает автокорреляционную функцию белого шума (определенную через дельта-функцию) в функцию а)пс. После фильтрации в системе уже не будет белого шума.
Выходной шумовой сигнал будет иметь нулевую корреляцию с собственными смещенными копиями только при смещении на т = лелуш где и— любое целое число, отличное от нуля. 1.6.3.2. Рввлиэувиые фильтры Простейший реализуемый фильтр нижних частот состоит из сопротивления (гй) и емкости (С), как показано на рис. 1.13, а; этот фильтр называется %С-фильтром, и его передаточная функция может быть выражена следующим образом 17]: Н(1)= = е ' гг1, г ° г Ене ~;~ е!7 (1.63) 1.б.
Передача сигнала через линейные системы где О(Г) = агс18 2пуЖС. Амплитудная характеристика )Н(у)/ и фазовая характеристика В(у) изображены на рис. 1.13, б, в. Ширина полосы фильтра нижних частот определяется в точке половинной мощности) эта точка представляет собой частоту, на которой мощность выходного сигнала равна половине максимального значения, или часппу, на которой амплитуда выхолного напряжения равна !/г/2 максимального значения. В общем случае точка половинной мощности выражается в децибелах (дБ) как точка -3 дБ, илн точка, находящаяся на 3 дБ ниже максимального значения.
По определению величина в децибелах определяется отношением мощностей, Р, и Рг: величина в дБ =1 01д =-101д-~ — . Рг У /~2 Р) У12/%1 ' (1.64,а) Здесь У, и Уг — напряжения, а И, и Яг — сопротивления. В системах связи для анали- за обычно используется нормираваннал мои/ность; в этом случае сопротивления %, и Яг считаются равными 1 Ом, тогда Р Уг величина влБ т10)д-2-т10!д г . р уг' (1.64,6) о — МЬ вЂ” ~ — о вход с выход повинной ости о 1 и4 акЛС е) 1 гхИС в) а</) в) Рис.
/./3. 1ЛС-фильтр и еео нередаточнал функиил: а) %С-фильтр," д) аиллитуднол характеристика ЗГС-фильтра; в) фазаеал характеристика % С-фильтра Амплитудный отклик можно выразить в децибелах как )Н(У)~,в = 20!д 2 = 20!д)Н()')) У, (1.64,в) где У1 иУг — напряжения на входе и выходе, а сопротивления на входе и выходе предполагаются равными. Из уравнения (1.63) легко проверить, что точка половинной мощности ЯС- фильтра нижних частот соответствует о) = 1/ЯС рад/с, или)'= 1/(2пЗ(С) Гц. Таким образом, ширина полосы ))~ в герцах равна 1/(2яЯС).
Форм-фактор фильтра — это мера того, насколько хорошо реальный фильтр аппраксимирует идеальный. Обычно он определяется как отношение ширины полос фильтров по уровню -60 дБ и -6 дБ. Достаточно малый форм-фактор (около 2) можно получить в полосно-пропускающем фильтре с очень резким срезом. Для сравнения, форм-фактор простого ИС-фильтра нижних частот составляет около 600. Сутцествует несколько полезных аппроксимаций характеристики идеального фильтра нижних частот.
Одну из них дает фильтр Баттерворта, аппроксимирующий идеальный фильтр нижних частот функцией ~Н„(У)) = 1 и>1, 1+ (л 1л «) (1.65) Рис. 1. 14. Амалитудиый отклик Езильтла Баттерварта Пример 1.3. Прохождение белого шума через И С-фильтр Белый шум со спектральной плотносп ю О„(Г) =№/2, показанной на рвс. 1Рм а, подается на вход ИС-фильтра, показанного на рис. 1.11, а.
Найдите спектральную плотность мошности О,(1) и автокорреляционную функцию й,(т) сигнала на выходе. Решение Но 2 1+(2пуИС) %~(т) =Г'(О (1)) Используя табл. А.1, находим Фурье-образ О,ф; Яг(т)- ехр~ — ! . Г ~т~') 4ИС ~ ИС! 1.6. Передача сигнала чеоез линейные системы где 1"„— верхняя частота среза ( — 3 дБ), а и — порядок фильтра.
Чем выше порядок, тем выше сложность и стоимость реализации фильтра. На рис. 1.14 показаны графики амплитуды ~Н(г)~ для нескольких значений и. Отметим, что по мере роста и амплитудные характеристики приближаются к характеристикам идеального фильтра. Фильтры Баттерворта популярны из-за того, что они являются лучшей аппроксимацией идеального случая в смысле максимально плоской полосы пропускания фильтра. Как можно предположить, после фильтрации у нас уже не будет белого шума. 9(С- фильтр преобразовывает входную автокорреляционную функцию белого шума (опрелелеяяую через дельта-функцию) в экспоненциальную функцию. Для узкополосного фильтра (большая величина ЖС) шум на выходе будет проявлять более высокую корреляцию ме:клу выборками шума через фиксированные промежутки времени, чем шум на выходе широкополосного фильтра. 1.6.4.
Сигналы, цепи, спектры У (1 — е ' ) для 0< с < Т уф) = У е-О-ГУКС дла г> Т (1.66) где У У (1 е-™) (1.67) Определим ширину полосы импульса как 1 И' ~ —, Т (1.68) а ширину полосы 9(С-фильтра как 1 Иу = —. 2я%С (1.69) Идеальный входной импульс «(з) и его амплитудный спектр )Х(1)) показаны на рис. 1.16. 'зхС-фильтр и его амплитудная характеристика 1Н())! показаны на рис. 1.13, а, 6. На рис. 1.! 7 показаны три примера, в каждом из которых использованы уравнения (1.66) — (1.69). Пример 1 иллюстрирует случай И' « Ил Отме- Сигналы описываются через их спектр.
Подобным образом сети или каналы связи описываются через их спектральные характеристики или частотные передаточные функции. Как ширина полосы сигнала влияет на результат передачи сигнала через фильтр? На рис. 1.15 показаны два случая, представляюшие лля нас практический интерес. На рис. 1.15, а (случай 1) входной сигнал имеет узкий спектр, а частотная передаточная функция фильтра является широкополосной. Из уравнения (1.48) видим, что спектр выходного сигнала представляет собой простое произведение этих двух спектров. Можно проверить (рис. 1.15, а), что перемножение двух спектральных функций дает спектр с шириной полосы, приблизительно равной меньшей из двух полос (когда одна из двух спектральных функций стремится к нулю, произведение также стремится к нулю).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
