Скляр Б. Цифровая связь (2003) (1151859), страница 13
Текст из файла (страница 13)
1.8, а, и записывается в следующем виде: Оя( У) = — Вт/Гц. /уо 2 (1.42) Здесь коэффициент 2 включен для того, чтобы показать, что б„(/) — двусторонняя спектральная плотность мощности. Когда мощность шума имеет такую единообразную спектральную плотность, мы называем этот шум белым. Прилагательное "'белый" используется в том же смысле, что и для белого света, содержащего равные доли всех частот видимого диапазона электромагнитного излучения.
Яо (с) о а) а) Рис. /,а Белый вум. о) скекеральиая ямямянмь мои(космо; б) амяокорреляциоиноя функция Автокорреляционная функция белого шума дается обратным преобразованием Фурье спектральной плотности мощности шума (см. табл. А.1) и записывается следующим образом: й„(т) =ьта(б„(/)) = — "8(т). (1.43) Таким образом, автокорреляционная функция белого шума — это дельта-функция с весом /Уо/2, находящаяся в точке т = О„как показано на рис. 1.8, б. Отметим, что /(„(т) равна нулю для ты О, т.е. две различные выборки белого шума не коррелируют, вне зависимости от того, насколько близко они находятся. Гауссово распределение часто используется как модель шума в системс, поскольку существует центральная граничная теорема (3), утверждающая, что при весьма общих условиях распределение вероятностей суммы / статистически независимых случайных переменных подчиняется гауссовому распределению при /'-ь, причем внд отдельных функций распределения не имеет значения.
Таким образом, даже если отдельные случайные процессы будут иметь негауссово распределение, распределение вероятностей совокупности многих таких процессов будет стремиться к гауссовому распределению, Средняя мощность Р„белого шума бесконечна, поскольку бесконечна ширина полосы белого шума. Это можно увидеть, получив из уравнений (1.19) и (1.42) следующее выражение: Р = — фи~ г)уь гг (1.44) 1.6. Передача сигнала через линейные системы После того как мы разработали набор моделей для сигнала и шума, рассмотрим характеристики систем и их воздействие на сигналы и шумы.
Поскольку систему с равным успехом можно охарактеризовать как в частотной, так и во временной области, для обоих областей были разработаны методы, позволяющие анализировать отклик линейной системы на произвольный входной сигнал. Сигнал, поданный на вход системы (рис. 1.9), можно описать либо как временной сигнал, х(г), либо через его Фурье-образ, ХД).
Использование временного анализа дает временной выход у(г), и в процессе будет определена функция й(г), импульсная хараюперистшга, или импульсньш отклик, сети. При рассмотрении авода в частотной области мы найдем для системы частотную передаточную функцию Н(1), которая определит частотный выход у(г). Предполагается, что система линейна и инвариантна относительно времени.
Также предполагается„что система не имеет скрытой энергии на момент подачи сигнала на вход. 1.6, Передача сигнала через линейные системы Хотя белый шум представляет собой весьма полезную абстракцию, ни один случайный процесс в действительности не может быть белым; впрочем, шум, появляющийся во многих реальных системах, можно предположительно считать белым. Наблюдать такой шум мы можем только после того, как он пройдет через реальную систему, имеющую конечную ширину полосы. Следовательно, пока ширина полосы шума существенно больше ширины полосы, используемой системой, можно считать, что шум имеет бесконечную ширину полосы. Дельта-Функция в уравнении (1.43) означает, что случайный сигнал п(г) абсолютно не коррелирует с собственной смещенной версией для любого т > О.
Уравнение (1.43) показывает, что любые две выборки процесса белого шума не коррелируют. Поскольку тепловой шум — это гауссов процесс и его выборки не коррелируют, выборки шума также являются независимыми 13]. Таким образом, воздействие канала с аддитивным белым гауссавым шумам на процесс детектирования состоит в том, что шум независимо воздействует на каждый переданный символ.
Такой канал называется каналом без памяти. Термин "аддитивный" означает, что шум просто накладывается на сигнал или добавляется к нему — никаких мультипликативных механизмов не существует. Поскольку тепловой шум присутствует во всех системах связи и для большинства систем является заметным источником шума, характеристики теплового шума (аддитивный, белый и гауссов) часто применяются для моделирования шума в системах связи.
Поскольку гауссов шум с нулевым средним полносъъю характеризуется его дисперсией, эту модель особенно просто использовать при детектировании сигналов и проектировании оптимальных приемникса. В данной книге мы будем считать (если не оговорено противное), что система подвергается искажению со стороны аддитивною белого гауссавага шума с нулевым средним, хотя иногда такое упрощение будет чересчур сильным.
Вход л(е н(л х(В ХЯ Рис Улй Линейная система и ее ключевые парамтиры 1.6.1. Импульсная характеристика Линейная, инвариантная во времени система нли сеть, показанная на рис. 1.9, опи- сывается (во временной области) импульсной характеристикой Ь(г), представляющей собой реакцию системы при подаче на ее вход единичного импульса б(г).
(1.45) Цг) = у(г) прн х(г) = б(г) у(г) =х(г) *ЦО = ~х(т)п(г — т) дт (1.46) Вхол, хр) = а(е) о а) о е) Рис. Д10. Иллюстрация понятия "шипульсный отклик": а) входной сигнал хй) является единичной импульсной фуикциейг б) выходной сигнал у(Г) — импульсным откликом системы Л(р Здесь знак "в" обозначает операцию свертки (см. раздел А,5). Система предполагается причинной, что означает отсутствие сигнала на выходе до момента времени г = О, когда сигнал подается на вход. Следовательно, нижняя граница интегрирования может быть взята равной нулю, и выход у(г) можно выразить несколько иначе: у(г) = ~х(т)Ь(г — т) дт о (1 47,а) или в виде Гпннн К Сигналы и спектры Рассмотрим термин "импульсный отклик", крайне подходящий лля данного случая. Описание характеристик системы через ее импульсный отклик имеет прямую физическую интерпретацию.
На вход системы мы подаем единичный импульс (нереальный сигнал„имеющий бесконечную амплитуду, нулевую ширину и единичную плошадь), как показано на рис. 1.10, а. Подачу такого импульса в систему можно рассматривать как "мгновенный удар". Как отреагирует ("откликнетсяь) система на такое применение силы (импульс) на входе? Выходной сигнал Цг) — это и есть импульсный отклик системы. (Возможный вид этого отклика показан на рис. 1.10, б.) Отклик сети на произвольный сигнал х(г) является сверткой х(г) с Цг), что записывается следующим образом: у(г) = ~х(г — т)Цт) дт. о Выражения в уравнениях (1.46) и (1.47) называются июиегралами свервиси. Свертка (сопчо1цйоп) — это фундаментальный математический аппарат, играюший важную роль в понимании всех систем связи.
Если читатель не знаком с этой операцией, ему стоит обратиться к разделу А.5, где приводится вывод уравнений (1.46) и (1.47). (1.47,б) 1.6.2. Частотная передаточная функция Частотный выходной сигнал УЯ получаем при применении преобразования Фурье к обеим частям уравнения (1.46). Поскольку свертка во временной области преврашает- ся в умножение в частотной (и наоборот), из уравнения (1.46) получаем следуюшее: (1.43) УЯ =ХЯНЯ или Н(У) = —.
уч) Х(г) (1.49) (Подразумевается, конечно, что ХЯ и 0 для всех у.) Здесь НЯ =я[6(г)), Фурье-образ импульсного отклика, называемый частотной передаточной функцией, часаоглной ха- ракглерястикоя, или частотным откликом сети. В обшем случае функция НЯ является комплексной и может быть записана как О(у) = га 1п«[ Н(7') ) Ке[Н(у)) (1.51) (Ке и 1ш обозначают действительную и мнимую части аргумента). Частотная передаточная функция линейной, инвариантной во времени сети может легко измеряться в лабораторных условиях — с генератором гармонических колебаний на входе схемы и осциллографом на выходе. Если входной сигнал х(г) выразить как х(г) = А соз 2лгег, то выход можно записать следующим образом: у(г) = А [Н(уе)[ соз [2к9+ О(й)). (1.52) Входная частота уе смешается на интересуюшее иас значение; таким образом, измере- ния иа входе и выходе позволяют определить вид ОЯ.
1.6.2.1. Случайные процессы и линейные системы Если случайный процесс поступает иа вход линейной, инвариаитиой во времени системы, то иа выходе этой системы получим также случайный процесс. Иными словами, каждая выборочная функция входного процесса вызывает выборочную функцию выходного процесса, Входная спектральная плотность мошности бхЯ и выходная спектральная плотность мошности О,Я связаны следуюшим соотношением: 1.6. Передача сигнала через линейные системы 63 Н(~) = [НЯ[ггхе, (1.50) где [НЯ[ — модуль отклика. Фаза отклика определяется следуюшим обраюм: ОЮ = ЛЯМИН (1.53) Уравнение (1.53) представляет простой способ иахождения спектральной плотности мощности на выходе линейной„инвариантиой во времени системы при подаче на вход случайного процесса. В главах 3 и 4 мы рассмотрим детектирование сигналов в гауссовом шуме. Основное свойство гауссовых процессов будет применено к линейной системе, будет показано, что если гауссов процесс Х(г) подается на инвариантный во времени линейный фильтр, то случайный процесс У(г), приходящий на выход, также является гауссовым 16).
1.6.3. Передача без искажений Что необходимо дня того, чтобы сеть вела себя как идеальный канал передачи? Сигнал на выходе идеального канала связи может запаздывать по отношению к сигналу на входе; кроме того, эти сигналы могут иметь различные амплитуды (простое изменение масштаба), но что касается всего остального — сигнал не должен быть искажен, т.е. он должен иметь ту же форму, что и сигнал на входе. Следовательно, для идеальной неискаженной передачи выходной сигнал мы можем оцисать как (1.54) у(г) = Хх(г - го) где К и г, — константы. Применив к обеим частям преобразование Фурье (см.
раз- дел А.3.1), получим следуюшее: (1.55) У(г") КХ(~)е Юо Подставляя выражение (1.55) в уравнение (1.49), видим, что требуемая передаточная функция системы для передачи без искажений имеет следующий вид: (1.56) Н(() = Ке за~'. Следовательно, для получения идеальной лередачи 6ез искалгений общий отклик системы должен иметь постоянную амплитуду, а сдвиг фаз должен быть линейным по частоте. Недостаточно, чтобы система равно усиливала или ослабляла все частотные компоненты. Все гармоники сигнала должны постуцать на выход с одинаковым запаздыванием, чтобы их можно было просуммировать. Поскольку запаздывание га связано со сдвигом фаз 6 и циклической частотой аз = юг" соотношением 6 (радиан) ге(секунл) = 2яу' (радиан в секунду) (1.57,а) очевидна, что, для того чтобы запаздывание всех компонентов было одинаковым, сдвиг фаз должен быть пропорционален частоте.
Для измерения искажения сигнала, вызванного запаздыванием, часто используется характеристика, называемая грулловой задержкой; она определяется следующим образом: т(7') = -— 1 ай(г") 2к ау' (1.57,6) глава 1. Сигналы и спектры Таким образом, для передачи без искажений имеем два эквивалентных требования: фаза должна быть линейной цо частоте или групповая задержка т(() должна быть равна константе. На практике сигнал будет искажаться при проходе через некоторые час- ти системы. Для устранения этого искажения в систему могут вводиться схемы коррекции фазы или амплитуды (выравниванил). Вообще, искажение — это общая характеристика входа-выхода системы, определяющая ее производительность. 1.6.3.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
