Скляр Б. Цифровая связь (2003) (1151859), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Выражение для средней мощности периодического сигнала дается формулой (1.6), где среднее по времени берется за один период Те.' г,гг Р„= — ~х (с)й. 1 Г г Т го/2 (1.17,а) Теорема Парсеваля для действительного периодического сигнала [Ц имеет вид гп2 Р„= — ~ хг(г)г(г= '," [с„[г 7о -ткм Ю (1.17,б) где ~с„[ являются комплексными коэффициентами ряда Фурье для периодического сигнала (см. приложение А). Чтобы использовать уравнение (1.!7,б), необходимо знать только значение коэффициентов Ц. Спектральная плотность мощности (Р80) ь7„(г) периодического сигнала х(г) является действительной, чепюй и неотрицательной функцией частоты и дает распределение мошности сигнала 42) по диапазону частот: 1 я Пннктонньная плотность Данное уравнение показывает, что энергия сигнала равна плошади под Лг,()) на графике в частотной области.
Спектральная плотность энергии описывает энергию сигнала на единицу ширины полосы и измеряется в Дж/Гц. Положительные и отрицательные частотные компоненты дают равные энергетические вклады, поэтому, для реального сигнала х(г), величина (х(г)[ представляет собой четную функцию частоты. следовательно, спектральная плотность энергии симметрична по частоте относительно начала координат, а обшую энергию сигнала 42) можно выразить следующим образом: Уравнение (1.18) определяет спектральную плотность мощности периодического сигнала х(т) как последовательность взвешенных дельта-функций. Следовательно, РЯ) периодического сигнала является дискретной функцией частоты.
Используя РЯ), определенную в уравнении (1.18), можно записать среднюю нормированную мощность действительного сигнала; (1.19) Уравнение (!.!8) описывает РБР только периодических сигналов. Если х(т) — непериодический сигнал, он не мажет быть выражен через ряд Фурье; если он является непериодическим мощностным сигналом (имеющим бесконечную энергию), он можелг не имелгь Фурье-образа. Впрочем, мы по-прежнему можем выразить спектральную плотность мощности таких сигналов в лределе. Если сформировать усеченную версию х,(г) непериодического мошностного сигналах(г), взяв для этого только его значения из интервала (-Т)2, Т)2), то х,(г) будет иметь конечную энергию и соответствующий Фурье-образ Хт()). Можно показать [2], что спектральная плотность мощности непериодического сигнала х(г) определяется как предел (1.20) б„(Т) = 1но — ~Хг(Т)! т-т Т Пример 1.1.
Средняя нормированная мощность а) Найдите среднюю нормированную мощность сигнала х(г) =А соз пгог, используя усреднение по времени. б) Выполните л. а путем суммирования спектральных коэффициентов. Решение а) Используя уравнение (1.!7,а), получим следующее; т,н Р„= — ~ (А'соя~ 2тР'г)г(г = о-т и 4г тто — (1 + соз 4яТог) й = 2То -т, ш Аз Аз (ТО) 2Т б) Используя уравнения (1.18) и (1.19), получаем следующее: А (см. приложение А), с„=О даян=О,+2,13,... С„у)=~ — ) бц-у)+~ — ) бай+У, А р,= ~а„у)йу= —.
1.4. Автокорреляция 1.4.1. Аатокорреляция энергетического сигнала Корреляция — это процесс согласования; автокорреляявей называется согласование сигнала с собственной запаздываюшей версией. Автокорреляционная функция дейст- вительного энергетического сигнала х(г) определяется следующим образом: й,(т)= ~х(г)х(г+т)лг для <т<», (1.21) 1. Н„(т) = Л,(-т) симметрия по т относительно нуля 2. л„(т) < й,(О) для всех т максимальное значение в нуле автокорреляция н ЕБР являются чэурье-образамн друг друга. что обозначается двусторонней стрелкой 4. й,(О) = ~х~(г) йг значение в нуле равно энергии сигнала При удовлетворении пп.
1 — 3 Я„(т) является автокорреляционной функцией. Условие 4 — следствие условия 3, поэтому его не обязательно включать в основной набор лля проверки на автокорреляционную функцию. 1 4 Автпкпппвлвпив 47 Автокорреляционная функция Я„(т) дает меру похожести сигнала с собственной копией, смешенной на т единиц времени. Переменная т играет роль параметра сканирования или поиска. Я„(т) — это не функция времени; это всего лишь функция разности времен т между сигналом и его смешенной копией. Автокорреляционная функция действительного энергетического сигнала имеет слелуюшие свойства: 1.4.2. Аатокорреляция периодического сигнала Автокорреляционная функция действительного мощностного сигнала х(с) определяет- ся следующим образом: тсз 1 11„(т) = 1нп — )х(с)х(с+ т)дс длк- < т< т-а Т (1.22) -тс если сигнал х(с) является периодическим с периодом т„ среднее по времени в урав- нении (1.22) можно брать по одмому кериоду Та, а автокорреляционную функцию вы- ражать следующим образом: тас2 1 й,(т) = — )х(с)х(с+2)сй дла — <т< то -т,сз (1.23) Автокорреляционная функция действительного периодического сигнала имеет свойства, сходные со свойствами энергетического сигнала; 1.
л„(т) = К„(-т) симметрия по т относительно нуля 2. сч„(т) < с(„(0) для всех т максимальное значение в нуле 3. к„(т) с-э О„(т) 1.6. Случайные сигналы Основной задачей системы связи является передача информации по каналу связи. Все полезные сигналы сообщений появляются случайным образом, т.е. приемник не знает заранее, какой из возможных символов сообщений будет передан. Кроме того, вследствие различных электрических процессов возникают шумы, которые сопровождают информационные сигналы. Следовательно, нам нужен эффективный способ описания случайных сигналов.
1.5.1. Случайные переменные Пусть случайная переменная Х(А) представляет функциональное отношение между случайным событием А и действительным числом, Для удобства записи обозначим случайную переменную через Х, а ее функциональную зависимость от А будем считать явной. Случайная переменная может быть дискретной или непрерывной. Функция распределения Рх(х) случайной переменной Х описывается выражением Рх(х) = Р(ХЯх), (1.24) Глава 1. Сигналы и спектоы т,и 4. сч,(0) = — ~х (с) с(с те -СаС2 автокорреляция и РЯЭ являются Фурье-образами друг друга значение в нуле равно средней мощности сигнала 1. О < Рх(х) < 1 2. Рх(»,) < Рх(»~), если х, я х, 3.
Рх( ) = О 4 Р»(+ )=1 Еще одной полезной функцией, связанной со случайной переменной Х, является плотность вероятности, которая записывается следуюшим образом: срх (х) Рх(х) = «(» (1.25,а) Как и в случае функции распределения, плотность вероятности — зто функция дейст- вительного числа х. Название "функция плотности" появилось вследствие того, что вероятность события х, ь Х ь»«равна следуюшему: Р(х~ ~ХЯ»«) = Р(ХН»~) — Р(Х~»~) = (1.25,6) = Рх(»«) — Рх(»~) = = ~Р» (х)««х ° Используя уравнение (1.25,б), можно приближенно записать вероятность того, что случайная переменная Х имеет значение, принадлежашее очень узкому промежутку между х и х+ Ьх: Р(х ь Х Ы х + Ьх) * рх(х)Ь».
(1.25,в) Таким образом, в пределе при цх, стремяшемся к нулю, мы можем записать следуюшее: Р(Х=х) =рх(х)И». Плотность вероятности имеет следуюшие свойства: (1.25,г) ~Р»(х)ах= гх(+ )-Рх( ) =1 ° Таким образом, плотность вероятности всегда неотрицательна и имеет единичную плошадь. В тексте книги мы будем использовать запись Р„(х) для обозначения плотности вероятности нелрерывной случайной переменной. Для удобства записи мы часто будем опускать индекс Х и писать просто р(х). Если случайная переменная Х может принимать только дискреаные значения, для обозначения плотности вероятности мы будем использовать запись Р(Х = х,).
1ч гв«в где Р(Хй х) — вероятность того, что значение, принимаемое случайной переменной Х, меньше действительного числа х или равно ему. Функция распределения Рх(х) имеет следуюшие свойства: 1.5.1.1. Среднее по ансамблю Среднее значение (шеап ча(пе) т», или математическое ожидание (ехресгеб ча!ие)„ случайной переменной Х определяется выражением т» = Е(Х) = ~хрх(х) Ых, (1.26) гле Е( ) именуется оператором математического азкидания (ехресгед щ1пе орегагог).
Моментам п-га порядка распределения вероятностей случайной переменной Х называ- ется следующая величина: Е(Х") = ) х"р»(х) дх. (1.27) Для анализа систем связи важны первые два момента переменной Х. Так, при п = 1 уравнение (1.27) дает момент т», рассмотренный выше, а при п = 2 — среднеквадрати- ческое значение Х Е(Х ) = ~х р»(х) И». (1.28) Можно также определить цвнтральныв мамвюпы, представляющие собой моменты раз- ности Х и т». 1(ентральный момент второго порядка (называемый также дисперсией) равен следуюшему: ча»(Х) =Е((Х вЂ” тх) ) = )(х — тх) рх(х)ах. (1.29) Дисперсия Х также записывается как о„', а квадратный корень из этой величины, о», называется срвднеквадратичвским отклонением Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
