Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Минимальный кодер без обратной связи для сигналов 8-ФМ и 16-КАМ 10пяегьаей (1982), © 1982 )ЕЕЕ1 Схемы решетчато-кодированной модуляции были также разработаны для многомерных сигналов. В практических системах многомерные сигналы передаются как последовательность или одномерных (АМ) или двухмерных (КАМ) сигналов Решетчатые коды, основанные на 4, 8, и 16 сигнальных созвездий были сконструированы и некоторые из этих кодов были внедрены в имеющиеся в распоряжении коммерческих модемов.
Потенциальное преимущество решетчато — кодированных многомерных сигналов заключается в том, что мы можем использовать узко избирательные двухмерные сигнальные созвездия, что позволяет осуществлять выбор между выигрышем кодирования и сложностью реализации. Статьи Вая (1987), Унгербоека (1987), Гершо и Лоуренса (1984) и Форин и др. (1984) трактуют многомерные сигнальные созвездия для решетчато- кодовой модуляции. а, (а) Кодер с 4 состояниями с 1 -4 16КАМ а, а( (Ь) Кодер с 8 состоянняыц а, (с) Кодер с 1б сосзопыяьи Рис.
8.3.12. Эквивалентная реализации систематических сверточных кодов с обратной связью для 8ФМ и 16КАМ 1~/аяегбавй (1982). © 1982 1ЕЕЕ1 Наконец мы хотим напомнить, что новая техника синтеза решетчато-кодированной модуляции, основанная на решетках и объединении решеток были описаны Кальдербанком и Слоэном (1987) и Форни (1988).
Это метод конструирования решетчатых кодов обеспечивает альтернативу методу расчленения ансамблей, описанному выше Однако, эти два метода тесно связаны. Этот новый метод привел к открытию новых мощных сверточных кодов, включающих большие сигнальные созвездия. Многие из них приведены в статье Кальдербанка и Слоэна (1987). 8ск БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ И ССЫЛКИ Пионерские работы по кодированию и кодированным сигналам для цифровой связи были сделаны Шенноном (1948а, Ь), Хеммингом (1950) и Голеем (1949). За этими работами скоро последовали статьи по качеству кодирования Гильберта (1958), по новым кодам Маллера (1954) и Рида (1954) и по технике кодирования для каналов с шумамп Элиаса (1954...
1955) и Слепяна (1956). 453 с! 4 а с4 г а! а, с! дифференциальный венер Нелинейный авертсчный колер (а) Кодер 0001 ! ПП1 ООО)О ННОО 01010 ° 2 ° 01001 10101 П001 ППО 01000 10ПО 00101 00000 1! 000 двоичная последовательность, отображаемая снналы)ой точкой: сз е4 е1с! е~ 4 1ооп 2 опп О о)оп 2 !оп! 10010 ОП ! ° -2 00001 П 101 ОП 10 10 00)00 оо по!о ОП01 10001 1 О0О ООПО ° -4 ООП1 ПОП 1Ь) 32-точечный КАМ сигнал (крест) Рис. 8,3.13. Нелинейный свйрточный кодер с 8 состояниями для сигнального ансамбля 32-КАМ, который проявляет инвариантность к повороту фазы на 90' 454 В течение периода 1960...1970 появился целый ряд существенных вкладов в развитие теории кодирования и алгоритмов декодирования.
В частности, мы цитировали статьи Рида и Соломона (1960) и коды Рида-Соломона„статьи Хоквингема (1959) и Боуза и РояЧоудхурн (1960 а, Ъ) по БЧХ-кодам и диссертация на степень доктора философии Форни (1966 а) по каскадным кодам. За этими работами последовали статьи Гоппа (1970, 1971) по конструированию нового класса линейных циклических кодов„теперь называемые кодами Гоппа (смотри также Берлекэмп, 1973) и статьи Джастисена (1972) по конструктивной технике асимптотически хороших кодов. В течение этого периода работы по асимптотике декодирования были первоначально сфокусированы на БЧХ коды.
Первый алгоритм декодирования для двоичных БЧХ кодов был разработан Питерсоном (1960). Большое число утонченных разработок и обобщений Чайна (1964), Форин (1965), Мэсси (1965) и Берлекемма (1968) вели к разработке эффективных в вычислительном отношении алгоритмов декодирования БЧХ кодов, которые детально описаны Лином и Костелло (1983).
Параллельно с этими разработками по блоковым кодам шли разработки сверточных кодов, которые были открыты Эллиасом (1955). Важнейшая проблема сверточных кодов— их декодирование. Возенкрафт и Райфен (1961) описали алгоритм последовательного декодирования для сверточных кодов. Этот алгоритм был позже модифицирован и уточнен Фано (1963) и теперь он называется алгоритлтолг Фоно. Впоследствии были изобретены стек-алгоритмы Зигангировым (1966) и Елинеком (1969), а алгоритм Витерби был открыт Витерби (1967).
Оптимальность и умеренная сложность при малых кодовых ограничениях способствовали тому, что алгоритм Витерби стал наиболее популярен для декодирования сверточных кодов с кодовым ограничением К < 10. Одним из наиболее важных вкладов в кодирование в течение 70-х годов были работы Унгербоека и Чайка (1976) по кодированию в ограниченных по полосе каналах.
В этих статьях было показано, что можно достичь достаточный выигрыш кодирования путем введения избыточности в сигнале при ограниченном по полосе канале и были предложены решетчатые коды, достигающие выигрыш кодирования порядка 3-4 дБ. Эта работа вызвала большой интерес среди исследователей и привела к большому числу публикаций за последние 10 лет. Много ссылок можно найти в статьях Унгербоека (1982, 1987) и Форин и других (1984). Дополнительные статьи по кодированной модуляции для ограниченных по полосе каналов можно найти в «Ярес1а1 1ззце оп Уо)сеЬаш1 Те1ерЬопе Па!а Тгапзш)88!оп, 1ЕЕЕ )опгпа! оп Яе!ес!ед Агеаз 1п Сопппцшсабоп» (Бер1етЬег 1984). Всесторонняя трактовка решетчато-кодированной модуляции дана в книге Биглиери и др. (1991).
Дополнительно к ссылкам, данным выше по кодированию, декодированию и синтезу кодированных сигналов, мы хотим вспомнить коллекцию статей, опубликованных в 1ЕЕЕ Ргезз и озаглавленных «Кеу Рарегз ш 1Ье Оеуе1ортеп! ОГ Сог)1п8 ТЬеогу», изданных Берлекэмпом (1974). Эта книга содержит важные статьи, которые были опубликованы в первые 25 лет развития теории кодирования. Мы хотим также процитировать Брес1а1 1ззце оп Еггог — Соггесбп8 Содез,!ЕЕЕ Тгапзасбопз оп Сопппшпсагюп (октябрь 1971). ЗАДАЧИ 8.1. Дана порождающая матрица линейного блокового двоичного кода. О О 1 1 1 О 1 О 1 О О 1 1 1 1 О О 1 1 1 О а) выразите С в систематической форме 11(Р].
Ь) определите проверочную матрицу Н для кода. с) сконструируйте таблицу синдромов для кода. д) определите минимальное расстояние кода. е) покажите, что кодовое слово, соответствующее информационной последовательности 101, ортогонально к Н . 8.2. напишите кодовые слова, генерируемые матрицами, данными в !8.1.35) и (8.1.37) и затем покаисите, что зги матрицы генерирует одинаковый ансамбль кодовых слов.
8.3. Распределение весов кодов Хеммингв известно. Выраженное в виде полиномя степеней х распределение весов двоичного кода Хемминга с длиной блока л имеет вид А(х) =,Г А,х' = — ((1+ х)" +и(1+х)!" ') (! — х)!""') -о +! где А, — число кодовых слов с весом Ь Используете зту формулу для определения распределения весов кода Хемминга (7.4) и сравните ващ результат со списком кодовых слов, данном в табл. 8.1.2. 8.4.По иом 1 0 0 1 1 0 0 1 О 0 1 1 0 0 1 1 0 1 ошибок а ! ! Сконсгруируйте стандартное расположение н определите корректируемые образцы соответс2ву2ощие нм синдромы. 8.11.
Сконструируйте стандартное расположение для кода (7, 3) с порождающей матрицеи 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 н определите корректируемые образцы ошибок н соответствующие им синдромы. 8.12.Определите корректируемые образцы ошибок (с наименыпнм весом) н их синдромы дгя циклического кода Хемминга (7, 4). 8.13. Докажите, что если сумма двух образцов ошибки е, и е2 является действительным кодовьи словом С,, то каждый образец ошибки имеет одинаковый сиидроьь 8,14. Пусть 8(Р)= Р'+Р'+Р" +Р'+! является полиномом относительно двоичного поля.
а) найдите циклический код с наименьшей скоростью, для которого порождающим полиномом является д(р) . Какова скорость этого кода'? Ь) найдите минимальное расстояние кода, найденного в (а). с) каков выигрыш кодирования для кода найденного в (а). 8.15. Рассматривается полипом 8(р) = р+ 1 относительно двоичного поля. 456 8(р)= р +р+1 является порождающим для двоичного кода Хемминга (15, 11). а) определите порождающею матрицу С для этого кода в систематической форме.
Ь) определите порождающею матрицу для дуальиого кода. 8.5. Для циклического кода Хеммннга (7, 4) с порождающим полиномом ( ) з сконструнруйте расширенный код Хемминга (8, 4) и приведите список кодовьщ слов, Каково г?„„;, для расширенного кода('?). 8.6. Линейный блоковый код (8, 4) сконструирован укорочением кода Хемминга (15, 1Ц, геиерированного порождающим полиномом 8(р)= р'+ р+1. а) Сконструируйте кодовые слова для кода (8, 4) и дайте их список.
Ь) Каково минимальное расстояние кода (8, 4)7 8.7. Факторизация полинома р'5 +1 дает р15+1=~р~+р~.+1ф~~+р +р +р+1)~р~+р+1)~р +р+1)(р+1). а) сконструируйте систематический код (15, 5), использующий порождающий полипом ( ) (р4 „3 2„+ф4 ф2 1) Ь) Каково минимальное расстояние кода'? с) Сколько случайных ошибок в кодовом слове можно исправить'? 4!) Сколько ошибок можно обнаружить кодом'? е) Напишите кодовые слова кода (15 2), сконструированного порождающим полиномом ( ) 15+1) (р2 +1) и определите его минимальное расстояние.
8.8. Сконструируйте проверочные матрицы Н, и Н, соответствующие порождающим матрицам С, я С2, данные, соответственно, (8.1.34) и (8.1.35). 8.9. Сконструнруйте расширенный код (8,4) нз кода Хемминга (7.4) путем видоизл4енения порождающей н проверочной матриц. 8.10. Систематический код (б, 3) имеет проверочную матрн2О~ а) покалуте, что этот полипом может генерировать циклический код при любом выборе и. Найдите соответствующее значение /с . Ь) найдите систематическую форму С и Н для кода, генерируемого посредспюм д(р) .
с) можете ли сказать, какого типа код создается этим порождающим полиномом? 8.16. Синтезируйте циклический код (6„2) выбором возможно короткого порождающего полинома. а) оп)>еделите порождающую матрицу С (в систематической форме) для этого кода и найдите все возможные кодовые слова. Ь) сколько ошибок может корректировать этот код? 8.17. Докажите, что суммирование любых двух комбинаций в одной строке стандартного расположения да6т возможное кодовое слово. 8.18. Исходя из БЧХ кода (15, 7), сконсгруируйте укороченный код (12, 4). Дайте порождающую матрицу для укороченного кода, 8.19. В разделе 8.1.2 было указано, что когда код Адамара (л,й) отображается в сигналы посредством двоичной ФМ соответствующие 3У = 2" сигналов ортогоиальны. Определите показатель расширения полосы для М ортогональных сигналов н сравните с требованиями по полосе для ортогональных сигналов ФМ црн когерентном детектировании.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
