Пенин П.И. Системы передачи цифровой информации (1976) (1151855), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Некоторые из указанных вопросов читателю предлагается решить самостоятельно ~(см. задачи к этой главе). Чтобы убедиться в невысокой эффектнвности одиночного оптимального приема по сравнению с неоптимальным, достаточно рассмотреть и сопоставить их помехоустойчивость. 5.4. ВЕРОЯТНОСТЬ ОШИБКИ ПРИ ОДИНОЧНОМ ПРИЕМЕ ФЛЮКТУИРУЮЩИХ СИГНАЛОВ Выше ($ 5.2) указывалось, что общие (мультиплнкативные) замирания могут служить приемлемой моделью, которая учитывает основные особенности реальных процессов распространения в ряде каналов со случайными параметрами. Допущение о мультипликативности замираний позволяет сравнительно просто решить задачу определения вероятности ошибки при одиночном приеме флюктуирующих сигналов.
Рассмотрим эту задачу. Если бы параметры среды были постоянны, то отдельную посылку на входе приемника можно было бы записать в виде л(!) =Вэ з)п(оуг+гр), 0<!(то, (5.49) где значения амплитуды огибающей Бе и постоянного сдвига фазы полностью определяются геометрией распространения сигнала (дальностью, диграммами ~направленности и т. п.) и постоянными физико-химическими свойствами данной среды распространения (средней величиной поглощения энергии сигнала на единицу расстояния, средней скоростью распространения колебаний в среде и т. п.). 2!8 Если параметры микроструктуры среды случайны и замирания сигнала, обусловленные этими параметрами, можно считать общими, посылка сигнала на входе приемника определяется выражением (5.20), которое можно представить в виде з.~ (!) — ~ 8~ 3!и (®(+ ук) 0~ (~ тр, (5 50) Обозначим (5.51) Р— 8х/8е Тогда зл(!) =!ив з!п(а(+ум), О<!<'с~.
(5.52) Сопоставляя выражения (5.49) и (5.52), заключаем, что для модели общих замираний влияние случайных параметров среды на переданную посылку сигнала можно учесть случайным мультипликативным коэффициентом и и аддитивным случайным сдвигом фазы щ, несущей этой посылки. Величину р иногда называют коэффициентом передачи среды со случайными параметрами (!6). Этот коэффициент, учитывающий влияние микроструктуры среды, однозначно связан линейной зависимостью со случайной величиной Я„ и, следовательно, подчиняется такому же закону распределения, что и величина Я„. Случайные значения р и ~р, за время длительности посылки остаются неизменными, а их сколь-нибудь заметные изменения происходят на интервалах времени, значительно превышающих эту длительность.
Основываясь на этом, можно определить вероятность ошибки приема любой отдельной посылки флюктуирующего сигнала, пользуясь результатами, полученными в гл. 3 и 4 для каналов с постоянными параметрами. Обозначим эту вероятность р,ш(Ь,), где Ь„ — величина, связанная с отношением энергии данной посылки флюктуирующего сигнала к спектральной плотности аддитивного шума. Так как Ь' =Ех()Уо=Бз;тю(2Им (5.53) где Š— энергия, посылки флюктуирующего сигнала, то Ьм = $ )~ъ(2М, = р5,1/ч,)2И,.
(5.54) Величина Ь является случайной, поэтому вероятность р,ш(Ь ) нужно рассматривать как условную вероятность, которая соответствует данному значеяию Ь,. Для получея!9 ния безусловной вероятности ошибки одиночного приема флюктуирующего сигнала необходимо усреднить вероятность рою(й,) по ~всем возможным значениям случайной величины й„, т. е. найти величину Рот — ~ Дои (Ьх) )Р (ггх) ~Их. (5.55) б В этом выражении )и'(й„) — закон плотности распределения величины Ь„. Выражение (555) определяет среднюю вероятность ошибки приема одиночной посылки флюктунрующего сигнала Пр~именнм изложенную методику к определению вероятности ошибки при оптимальных и неоптимальных способах приема посылок сигнала в каналах с релеевским законом замирании.
Ограничимся рассмотрением таких замираний по следующим причинам: 1) замирания по закону Релея соответствуют наиболее глубоким флюктуациям огибающей аигнала; следовательно, анализ позволит получить верхнюю (на~ихудшую) границу помехоустойчивости флюктуирующих сигналов ', 2) для ряда каналов со случайными параметрами замирания по закону Релея довольно типичны; 3) анализ помехоустойчивости при релеевских флюктуациях наиболее прост, Для определения вероятности ошибки в соответствии с выражением (5.55), необходимо знать закон плотности распределения случайной величины й„.
Найдем этот закон. Представим (5.53) в виде где о' =Р,— средняя мощность шума на входе приемника, учитываемая в полосе пропусканчгя приемника Л)в; Р,„— мощность посылки сигнала с амплитудой Бх; Бс=7з)вта — база сигнала. Из (5.55) следует йх = Ях)ГБсДГ2 ош. (5.57) * В литературе имеются указания, что иногда замирания могут быть более глубокими, чем зто следует из закона Релея 1!61. Эти случаи довольно редки, и мы на внх останавливаться не будем.
220 Так как закон распределения случайной величины о известен, то нетрудно найти и закон распределения величины Ь„. Для этого можно воспользоваться теоремой о функциональном преобразовании случайных величин и их распределений (11) В соответствии с этой теоремой плотность вероятности случайной величины у, связанной со случайной величиной х однозначной функциональной зависимостью у =) (х), определяется выражением )Р(р) =)Р. (р(р)) ~ р' Ы ~, (5.58) где ~р(у) =х — функция, обратная функции 1(х); <р'(у)— производная функция ~р(у); В'„(х) — закон распределения случайной величины х.
Приняв во внимание выражение (5.28) для распределения величины 5, и выполнив несложные преобразования в соответствии с (5.58), получим распределение величины Ь,. в виде 2ах Г Ь'х Х Ю' (Ь,) = = ехр ( =), ы ~ з— з.,)' (5.59) где Ь',= —.Б,=~ ч' ' Б,= ~ (5.60) м, В свою очередь, Ер, — Рр,ч, (5.61) — средняя энергия посылки флюктуирующего сигнала. Полученное распределение (5.59) является релееиским.
Это естественно, поскольку случайные величины Ь„и 5, связаны линейной зависимостью. Значение Ьз (2 можно рассматривать как дисперсию случайной величины Ь„. Если учесть, что величину Ьз„, определяемую выражением (5.56), можно представить и виде где Ьз — величина, характеризующая энергетическое отношение сигнал/шум на входе приемника без учета случайных параметров среды, то нетрудно показать, что Ь2 — рзЬ2 (5.63) Из физических соображений естественно положить(хз= = 1, поскольку на входе приемника средняя энергия посылки флюктуирующего сигнала должна быть равна энергии посылки сигнала в отсутствие флюктуаций.
221 Тогда выражение (5.59) можно записать в форме, которая и будет использоваться нами в дальнейшем: 2ах ( х*х ) (5.64) Перейдем к определению вероятности ошибки при одиночном приеме флюктуируюпгих сигналов. Рассмотрение проведем для двух случаев. 1. Оптимальный когерентный прием посылки сигнала. Условная вероятность ошибки приема отдельной посылки сигнала для разных видов манипуляции определяется выражением (3.!07), которое в данном случае принимает впд ром(йх) =0,5 — Ф(у.й*) (5.65) Подставив (5.64) и (5.65) в формулу (5.55), имеем Р,щ — — ~ [0,5 — Ф (Т»йх)) — „," ехР ( — — „," ) с(Ь».
(5.66) о Определение вероятности ошибки сводится к вычислению этого интеграла Приняв во внимание, что — ехр ( — — „," ) Нйх — — ехр ( — — „," ) д ( — „," ), (5.67) имеем Р,„,=0,5 — ~Ф(Т»йх)ехР( — —," )Ы( —," ). (5.68) о Обозначив и=Ф(Т,Ь ), Ыо=ехр( — Ь'„~Ь') и'(Ь»х/Ь') и имея в виду, что НФ (таз»! тх / т»Ф'х х Ии = == ехр ( — — ), вхх г'2» ~ 2 ) нетрудно взять интеграл по частям.
Опуская промежу- точные выкладки, запишем окончательный результат вычисления в виде р, = 0,5(1 — Т,й/)/2+ Т'~й'). (5 69) Для больших значений Ь выражение можно упростить, если иметь в виду, что У2+.~' т" ~ т""' l' — ! 1 — — !. (5.70) 222 С учетом (5.70) имеем р = 1/2Т'.Ь'. (5.71) При уоЬ)4,5 погрешность приближенного выражения не превышает бо~о. Формула (6.71) характеризует помехоустойчивость оптимального приема двоичных сигналов в релеевском канале. В .гл. 3 было показано, что при условии ограниченной пиковой мощности посылок сигнала величина коэффициента То Равна Тоам=11 2, Точм=) Тоом= г' 2. (5.72) Соответственно вероятность ошибки для разных видов манипуляции и оптимальном приеме определяется выра. жениям|и оо ро= ~ —; ехр ( — — „) ехр ( — 2' ") й~„(5.77) о нлн ОР р = 2 ~ехр[ — ь (1+ "2 )~~(( з ).
(5.78) о Интегрирование этого выражения дает р = 1/(2+Т'.Ь*). (5.79) 223 р = 1/Ь' для АМн, (5.73) р, = 1/2Ь' для ЧМн, (5.74)- р = 1~4Ьо для ФМн. (5.75) Обсуждение полученных результатов проведем после рассмотрения второго случая. 2. Реальный некогерентный прием посылки сигнала. В этом случае условная вероятность ошибки приема отдельной посылки сигнала для разных мидов манипуляции определяется выражением (4.80), в котором вместо Ь ~нужно рассматривать случайную величину Ь„: роо,(Ьо) =0,5 ехр( — -у'оЬоо/2). (5 76) Поступая так же как и в первом случае, запишем выражение для средней вероятности ошибки 1в релеевском канале. С учетом (5.64) ~н (5.76) оно примет вид Для больших значений Ь имеем приближенную формулу р =1!т*,йе.
(5.80) Погрешность не более 5~4 обеспечивается при у,Ь)6,5. Учитывая значения коэффициента у„можно записать р = 2(Ь' для АМн, (5.81) р = 1/Ь* для ЧМн, (5.82) р = 1/2Ь' для ФМн. (5.83) Из полученных результатов следует, что в релеевском канале сохраняются такие же энергетические соотношения между разными видами сигналов и способами приема, как и в канале с постоянными параметрами.
Наиболее помехоустойчивы сигналы с манипуляцией фазы на и, а наименее помехоустойчивы сигналы с амплитудной манипуляцией. Для каждого вода сигнала когерентный прием обеспечивает двойной энергетический выигрыш по сравнению с некогерентным. Однако помехоустойчивость одиночного приема в релеевском канале значительно ниже, чем в гауссовском. Для получения малых вероятностей ошибки в релеевском канале необходимо создавать значительное превышение сигнала над шумом. Например, если для достижения вероятности рчм=10-з в гауссовском канале при некогерентном приеме необходимо обеспечивать значения Ьз, равные " лм = 45 Ь чм = 22, Ь'Фм — — 11, то соответствующие значения Ьз в релеевском канале должны быть равны Ь лм 2.10', Ь чм 1О', Ь'ем 5 10'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
