Пенин П.И. Системы передачи цифровой информации (1976) (1151855), страница 41
Текст из файла (страница 41)
В 1943 г. японский ученый Накатами предложил довольно универсальную функцию распределения, получившую в литературе название «т-распределение» или «распределение Накагами». Эта функция имеет вид г(щ) ~ ~~ / к (5.31) где Г (гп) — гамма-функция. Распределение Накатами оказалось весьма удобным при решении ряда задач, так как оно обладает значительной гибкостью, позволяя изменением регулировоч- 212 ного параметра лх получать ряд важных распределений. В частности, при т=0,5 выражение переходит в нормальный закон с односторонней плотностью распределения. При их= 1 имеем закон распределения Релея.
При лх) ! распределение Накагами становится достаточно хорошей аппроксимацией закона Райса. Распределение Накагами позволяет описать более широкий класс распределений, чем, например, распределение Райса. По этой причине оно получило широкое распространение в статистической радиотехнике. Интересующихся этими вопросами отсылаем к работам [б, 12].
Рассмотренная упрощенная модель замираний сигнала в ряде случаев довольно хорошо согласуется с многочисленными результатами экспериментальных исследований, а также с данными практических наблюдений. Поэтому такая модель может быть положена в основу теоретических исследований как первое приближение реальных процессов в каналах со случайными параметрами. Дальнейшее рассмотрение будем проводить в предположении, что замирания являются общими. Как уже указывалось, общие замирания ие изменяют форму посылок сигнала и поэтому их можно трактовать как результат умножения сигнала на некоторую случайную функцию времени, отображающую процесс замираний в канале.
Эту функцию часто называют мультипликативной случайной помехой, а соответствующие ей замирания — мультипликативными. Будем полагать, что эти замирания принадлежат к классу замираний, описываемых обобщенным законом Релея. 5.8. ОДИНОЧНЫЙ ОПТИМАЛЬНЫЙ ПРИЕМ ДВОИЧНЫХ ФЛЮКТУИРУЮЩИХ СИГНАЛОВ Прием сигналов в каналах со случайными параметрами — значительно более сложная задача, чем прием в каналах с постоянными параметрзми. Это связано с тем, что помимо неизбежного ~действия случайных аддитивных помех при приеме необходимо учитывать случайные изменения параметров сигнала, Выясним, наине особенности имеет зта задача при од~янсеном оптимальном приеме двоичных сионалов с общими замирениями. В й 6.2 было установлено, что характерной особенностью общих замираний является то, что амплитуда и фаза приминаемой по- 213 сылки оигнала — случайные величины, сохраняющие неизменное зна- чение в пределах длительности посылки: ол = сопят О<5.< 1о<г<„, ух = сопзт 0 ( ул < 2к 0 < г < ею (5.32) (5.33) Остальные исходные данные и допущения считаем такими же, как и в гл.
3: аддитивная помеха представляет собой белый гауссовский шум; приемное устройство неискажаюшее; синхоонизация идеальная. Для решения задача одиночного приема флкжтуирующих сигналов можно применить теорию проверни гипотез, изложееную в тл.3. Пусть иа вход приемника различения флюктуирующих бинарных сигналов поступает колебание у(г) =з.(т)+л(г), о<у(т,, (5.34) представляющее собой аддитивную смесь флюктуирующего сигнала и нормального белого шума.
В данном случае сигнал помимо переданного информационного символа х; (полезная информация) содержит также информацию о случайных значениях а~мплитуды 5, и фазы ф, (мешающая или наразитная информация). |Иными словами, теперь сновал,на входе приемника представляет собой функцию времени, содержащую три неизвестных па~раметра: хь 5 и ф, среди которых х; — полезный и подлежит иэвлечеппю, а 5 и ~р, — эредные, действие которых необходимо как можно сильнее ослабить.
Для того чтобы запись флюктуирующего свгнала была более наглядной и содержала в себе укгззнные параметры, этот сигнал удобно представить в одном из вндов зг(т) =а(бю фю т) нли з;(т) =з(хп 5, ф„й).,(535) Пвредзча того мли иного информационного символа к; в этой записи отображается либо индексом ~ ~при з, либо самим символом х, *. В соответствии с теорией проверки гипотез для решения задачи оптимального приема двоичных сигналов необходимо знать апостернорные вероятности правильного приемз перцданных символов.
Определение этих вероятностей в каналах со случайными параметрами является более трупной задачей, чем а каналах с постоянными параметрами. Если в каналах с постоянньгми параметраыи можно было не делать никакого различия между записью зпостериорной вероятности в виде )г(з,(у) или р(х;)у), так как это были эквивалентные выражения, то для каналов со случайными параметрами эти выражения различны, поскольку сигнал з; содержит еще и случайные паразитные параметры 5 и д . Действие этих параметров приводит п тому, что при передаче могут появляться ошибки даже без учета влияния аддитивного шума.
Поэтому теперь для принятия решения о той или иной гипотезе недостаточно вычислить только апостериорные вероятности вида р(з,)у), так как опи ле дают еще основания для суждения о том, капой же символ был ' Заметим, хотя и очевидно, что индекс х при з и ф указывает только нз то, что эти параметры сигнала случайны, Никакого отношения к'информационному символу х; этот индекс не имеет. 2!4 передан. Для принятия решения необходимо определить апостернор ные вероятности вида р(х;)у).
Изложим методику вычисления этих вероятностей. На ооновании формулы Байеса ($3 2) плотность распределения апостериорных вероятностей приема флюктуирующего сигнала »1 может быть записана в ваде 67(хь 5», 'р. )у) = = 67(хь 5„ ф,)(Р(у)хь 5 ~р )/йг(у), (6.36) где 67(хо 5„9») — совместная плотность априорного распределения параметров хо 5 н ф,; 67(у) — многомерная функция раапределения входного колебания у(Г), прццставляющего собой смесь флюктуирующего сигнала и шума.
Функция )р'(хь 5, гр )у) характеризует плотность распределения вероятностей тога, что данному входному колебан|ию у(Г) соответствует сигнал с параметрэми хо 5 и ф,. Нас же интересует вероятность того, что лрн данном входном у(Г) будет принят символ хь т. е. апостврнорная вероктность р(хс)у). Определение этой вероятности можно выполнить в три этапа.
Сначала нужно найпи а~остериорную плотность распределения йг(хь 5„ гр,(у), затем исключить из этого раопределения паразитные параметры 5 и ~р, т. е. определить усредненное по этим параметрам распределение апостериорных вероятностей )Р; †(хг( у) = ) В'(хм 5», у») у)с(5»бу», а а (6.37) и, наконец, найти искомую апосгерпорп>ю вероягность в соответствии с выражением Р ,—(х,) у) = ~ )р',— (ш ) у)Ых. »г (6.
38) /зч(х~) у) = / йз ~ ~ ~ РУ(хь 5», у»)(Р'(ус) хю, 5» у») 65»бу»с(хг, (6.39) з оч о»г где А„=1/66(у) — велнчияа, не зависящая от переменных интегрирования (некоторый коэффициент) Соотношение (6.39) является исходным при анализе одиночного оптимального приема флюктуирующих сигналов. Чтобы в соответствии с этим соотношением вычислить зпостериорную вероятность, нужно знать распределение йг(»„5ю ф ) и функцию правдоподо.
бия 67(у(хь 5, <р,). 216 В этих выражениях Оз, бч — области существования случайных значений 5» и у» (см. (6.32) и (6.33)); 5» — область значений величины хб индекс зр показывает, что величина получена с учетом усреднения по мешающим параметрам 5» и р». С учетом (6.36) и (6.37) выражение для апостериорной вероятности можно записать в виде уак как случайные параметры хь 5 н ф независимы, можно записать йт(х», 5 , 4»») 3»(х») 27(5 ) йг(»р,), (5.40) где йу(х») — априорное распределение плотности вероятностей посылки символа х»; н»(5 ) и Ж(»р») — плотности распределения случайных мешающих параметров 5. и»р соответственно.
Полагается, что распределение Иг»'х»! ~с (5.40) известно, так нак оно представляет собой априорные сведения о статисти. Р(х») ческнх свойствах источника дискретных сообщений и канала связи, Вид отдельных априорных распределений для равновероятной передачи символов н рег» хг л' леевского канала связи показан на рис. 5.6.
Распределение )У(х») имеет вид двух И»%) дельта-функций с весами Р(х») Р(хз) 0,5. Для нахождения функции правдоподобия воспользуемся следующими сооб- Р раженнями. Аддитивная помеха п(4) тн. И,у л ) уг па внутреннего флюктуационного шума не имеет никакой статистической связи с переда~ваемыми дискретными сообщениями хь а также с параметрами канала. Следовательно, при фиксированных значениях параметров хь 5» и»р функция правдоподобия полностью определяется многомерным распределением нормального шума ($3.2) %7(у[х», 5„, »р„)= Ф'„[у(1) — з(хь 5„»р„1) ! (5.41) илн с учетом выражения (3.22) йг(у! х», 5», ух) = -л' у х у» Рис.
5.6. 1 = й, ехр — й— » [у(1) — з(х», 5», »р». Ф)[»»И, (5.42) где й» вЂ” постоянный козффнпнент в выражении многомерного распределения белого гауссова шума (см. (322)). Располагая выражениями (5АО) и (5.42), соотношение (5.39) для искомых апоствриорных вероятностей можно записать в виде Р»т (Х» ! У) = й ~ ~ ! УР(Х»)уу(5»)3Г(тх) Х о о о ! Р ХехР -й— » ) [у(1) — в(х», 5» уз 1)]»»(1»(х»»45»»(у», (5.43) о где й =й»й» — коэффициент.
216 Прн вычислении этого выражения нужно иметь э виду, что пловность распределения дискретной случайной величины хь которая может принимать значения хг или х„ представляет собой совокупность б.функций с весами, равными априорным вероятностям этих величин: яу(х1) = ~~~ р(хг)д(х — хг).
(5.44) Выражение (5.43) представлял собой запись зпостериорных вероятностей в общем виде. Естественно, что если нужно найти вероятность р» — (хг(у), то иптепрнрование по переменной хг нужно вести только в той области ее значений, где она равна хь При этом (р(хг)Фхг = ) р(хг)д(х — хг)йхг = гг(х,), (5.45) о,, и», Для нахождения вероятности р,— „(х»(у) интегрирование нужно вести по области значений хг = х,.
С учетом сказанного окончательно имеем следующие выражения апосгериорных вероятностей: ы 1 »Х*,~Ч-МЬА ( ~ *г~ — )ГЬМ вЂ” Ь,.».. а и о (5.4б) у» 1))»г(1)йг(о»)!уг(у»)по»пу» 𠆄(х»[ у) = йр(х») ) ) ехр — ) [у(1) — з(х», Я» у», 1)[ег[1)%(5»)йу(у»)г(5»г(у» (5.47) После определения этих вероятностей дальнейший анализ одиночного оптимального приема для каналов со случайными параметрами выполняется в такой же последовательности, как н для каналов с постоянными параметрами. В соответствии с найденными апостериорными вероитностями нужно взять логарифм отношения 1пЛм — 1п[р (х, ! у)Гр (хз(у)), (5.48) 2[7 а затем с 1четом байесовского правила решения определить алгоритм работы оптимального пр~иемника и установить эго сэруктуру. Анализ завершается нахождением выражения для вероятности ошибки при передаче одного информационного символа. Необходимо отметить, что задача оптимального различения флюктуируюших сигналов из-за математических трудностей сложна для исследования и ее решение удается довести до конца только в некоторых частных случаях.
Исследования вопросов одиночного оптимального приема флюктуирующих сигналов, выполненные в работах [14 — !7), показывают, что структура приемников значительно усложняется по сравнению с оптнмальным приемом сиеналов, известных точно, а помехоустойчивость падаэг. Попароение аа впмалэиых приемников для одиночного приема флюктуирующих сигналов с инженерной точки зрения часто оказывается нецелесообразным, тэк как при значительном усложнении такие приемннпи не позволяют сколь-нибудь существенно повысить помехоустойчивость по сравнению с неоптимальным приемом. По указанным причинам ограничимся изложенной выше методикой решения задачи одиночного оптимального приема флюктуирующих сигналов и не будем ~рассматривать приложения этой методикя к различным конкретным способам передачи. детальное расомоъренне вопросов оптимального одиночного приема флюктунрующих сигналов и синтеза оптимальных приемников в соответствии с изложенной методикой можно найти в работах (!2 — !7).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
