Пенин П.И. Системы передачи цифровой информации (1976) (1151855), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Основыоаясь на Нзвесппом в теор~ни разложений функции положении о том, что прн одинаковом числе членов разложения наименьшую среднеквадратичную ошибку обеспечивает ряд Фурье [9[, можно показать, что ошибка, определяемая выражением (2.18), не может быть меньше ошибки, определяемой выражением (2.11). Таким образом, дискретизация непрерывного сообщении конеч.
мой длительности в соответствии с теоремой Котельникова связана с ошибкой, одна составляющая которой обусловлена введением мо. дели с ограниченным спектром, а вторая — учетом конечно~о числа членов ряда разложения. Общая среднеквадратичная ошибка прн дискретизации непрерывного сообщения конечной длительности моисет быть определена выражением йдд = ддт+ бдл — 23л = 2 г = — ) 6(Я)гй = 26Ех!Ек Ех " ггв (2.19) Заметны, что и работах [6, 8) даются оценки ошибки дискретизации ао времени, близкпе к записанной выше. В частности, в работе [6[ приводятся нижняя и верхняя оценки в виде бЕ„)Е д.б'д<3ХЕ )Е .
(2.20) Ь(!) =2рв з)п Ядг!Ов! 60 Восстановление непрерывной функции времени с конечной дли. тельиостью по ее отсчетам должно выполняться в соответствии с выражением (2.13). Эта процедура может быть выполнена двумя способами: фильтрациоиным с применением аналогового фильтра и интерполяцмонпым с применением специальных интерполяторов или универсальных вычислительных машин. Рассмотрим кратко суть этих способов. При филворационном способе восстановления последовательность отсчетов, определяемая выражением (2.!3),.в котором интервал дискретизации н соответствии с теоремой Котельникова равен 61= =1)2Р„по~дается на фильтр ~нижних частот.
Напряжение,на выходе фильтра определяется суперпозицией отклкков фильтра ца каждый пост>пагощий отсчет. Нетрудно показать, что для ~получения выходного напряжения в,виде, определяемом выражением (2.13), необходимо применить фильтр нижних частот, импульсная переходная функция которого должна иметь вид Этои функции соответствует фильтр нижних частот с прямоугольной передаточной функцией. Как известно, такой фильтр физически нереализуем [4, 13]. При ннтврполяционном способе процедура восстановления должна выполняться ~в соответствии с выражением (2.13), которое можно рассматривать как алгоритм этой процедуры. В соответствии с этим алгоритмом яеобходимо создать т=2г.Т, функций вида уа(Г) = а!па (à — дбГ)Г(! (à — йбГ) и просуммировать их с учетом весовых коэффициентов, равных переданным отсчетам ка=х(йЫ). Очевидно, что технически это сложная операция, так как она требует запоминания т отсчетов, генерирования функций фа(1) и их суммирования с учетом весовых коэффициентов.
Подобный способ восстановления также не может быть физически реализован точно *. По указанным причинам предельная дискретизация непрерывных сообщений в соответствии с теоремой Котельникова, а также последующее восстановление сообщений рассмотренными способами не находят практического применения. Основная ценность предельной дискретизации по времени состоит в том, что она определяет принципиальные,возможности дискретизации и указывает пути, позволяющие приблизиться к этим ~возможностям. Теорема Котельникова получила широкое примечение в различных теоретических исследованиях.
Однако необходимо отметить, что с точки зрения статистической теории связи эта теорема имеет и слабые стороны:она верна лишь для детермин|ированных функций с ограниченным спектром. Применение теоремы к случайным функцияы времени требует специального ;рассмотрения. Эти ~вопросы многократно рассматривались в ряде работ.,В частности, и [14] показано, что теорема строго верна лишь для случайных процессов с равномерным и опрапиченным энергетиче~ск~им опектром. Это утверждение становится понятным, если рассмотреть выражение (2.3).
Действительно, энергетический спектр имеет такую же форму, кан и амплитудный, только в одном случае — когда амплитудныи спектр прямоуголен. Если амплитуднып спектр неравномерный, то энергетический спектр становится е|пе более псравиомерньгм. Для таких процессов диснретиэация по Котельникову уже не предельна. Поэтому применение предельной ~дискретизации в соответствии с теоремой Котельникова можно считазь приемлемым лишь для случайных процессов со спектрами, достаточно близкпмн к равно. мерным в пределах рассматрнваемой области частот и быстро опадшощими вне этой области.
2,2.4. Дискретизация по времени непрерывных сообщений с учетом реальных способов восстановления Выше указывалось, что практическое применение теоремы Котельникова наталкивается на серьезные трудноски. Это связана с тем, что в реальных устройствах не удается точна выполнить ряз ' Заметим, что при реализации рассмотренных способов, помимо неизбежной неточности, результат восстановления получается еще и с задержкой во времени, равной длительности исходного непрерывного сообщения. б! важных условий, прн которых эта теорема снраведлнва: 1) ограниченность спектра сообщения; 2) ндеальность коммутирующей паследовательноств б-функнвй.
Зтн условна однозначно определяют физически нереализуемый алгорнтм ~восстановления нсходното сообщения. Поэтому в соответствии с теоремой Котельнннова практически невозможно реализовать точно нн ляскретнззцню непрерывного сообшенвя, пя его еосстановленне. П~рнбляженная же реализация этих операций (с учетом требуемой точноств восстановления сообшенвя) приводит к сложным схемным решенняп алгоритма восстановления нлн к большому объему вычислений прп нонользованян ЭВМ. В цаеюяшее крема в техннческях пряложеннях выбор интервала дискретизации непрерывных сообщений определяется в значительной мере требананпвмв удобства н простоты воастановленяя этих сообщений по ях отсчетам. На практике широкое распространеняе получил метод,воссга|новленяя с ~помощью ннтерполяцнон.
ного многочлена Лагранжа (2, 3, 8, !4]. Наиболее часто попользуется мпогочлен не очень высокеео порядка (обычно не более второго). Это объясняется швроквм развитием методов автоматнчеоной обработки пнфармацяп, основа|нных, нак правило, а простых способах интерполяции. Наибольшее применение в настоящее время находят интерполяция пулевого, первого н второго порядков (ступенчатая, линейная н параболнческая). Естественно, что црвмененне простых способов яцтерполяинв требует выбора более высокой частоты днокретнзацня, чем это следует нз теоремы Котельникова. Получающаяся в результате такой дяскретнзацив последователыюсть отсчетов с внформацноннойточкя зрения обладает определенной язбыточностью.
Оценим величину этой избыточности. Примем за меру избыточности отсчетов велнчвну гпю(те то)/т,з=! —.т»/те, 0(г<1, где т» — мнт(вмально возможное, а те — фактическое колнчесвво отсчетов, сделанных за время, определяемое длительностью сообшення Т»ъ Нетрудно показать, что,првнятая мера находится в полном соответствии с определением взбыточностй ппформацяв, широко првменяемом н теории информации (см.
папрнмер, [12)). Частота дискретизации (частота повторения отсчетов) связана с интервалом дяскретнзацяя Ы я верхней граничной частотой спектра сообщения Р» соотношеннем (2Ж) Р» =! /б/= рТ», где р — коэффяцненг следовапня отсчетов. Для предельной двскретвззцвя по Котельникову имеем И=шах»!Г '1/2Р,; т» 2/»»Т»! в=2. (2 23) Для реальной (фагстнчеокн используемой) двсвретнзацнв р)2, я следовательно, д/ = б/4» = 1/иТ»; тф = р~ Т > т,.
(2.24) В технических првложенпях нзбытачпость отсчетов часто оценявают величиной й»»а=шах/а//Ме те/т»=р/2)~1, (2.25) 62 которую называют коэффициентом избыточности. С учетом соотношения (2.25) выражение (2.2!) можно ззписать в виде г 1 — 2/)г=! — 1/йша. (2.26) Из выражения (2.25) или (2.25) следует, что, если большая избыточность нежелательна, необходимо выбирать величину 1г близкой к предельному значению (р-2), ~ио при этом появляются указанные выше технические трудности. Стремление уменьшить эти трудности приводит к необходимости выбирать величину 1г больше предельной (р>2), ио при этом увеличивается избыточность отсчетов.
Следовательно, с инженерной точки зрения проблема импульсного преобразования непрерывных сообщений не имеет однозначного решения. Поэтому цри ее технической реализации приходится принимать компромиссное решение. Желательно, чтобы цри достаточно простых способах восстановления избыточность отсчетов не была слишком большой. Ооновываясь на результатах теории интерполяции, в работе [15) показано, что для сообщений с прямоугольным (или близким к нему) спектром интервал дискретизации равен; при ступенчатой интерполяции р33, УЗ Исг — — ~ — ФчИвв ~~ 0,55йьИвв! (2.27) при линейной интерполяции Ил = 2 г' 2)' Бйч/Яв ~~ 1.35г' йчИяр! при параболической интерполяции Ию=р 15 5)Губ,/ач-зггй,а„р (г.щ (2.29) В этих формулах 㻠— верхняя граничная частота спектра сообщения; Иар —— 1/2г", — предельный интервал дискретизации; ба — допустимая относительная погрешность равномерного приближения, определяемая выражением й, шах [ х(/) — л(!) (/Хм Ьх,/х (2.30) где й †поряд иптерполяции.
Можно показать, что величина ошибки равномерного ,приближеиня, определяемая выражемием (2.30), близка к величине сред- 63 В свою очередь, здесь х(() — исходное мепрерывное сообщение; х(Г) — сообщение, восстановленное по отсчетам с помощью рассматриваемого вида интерполяции; Х =хма* — максимальное значение интервала изменения исходного сообщения (полиаи шкала изменения мгновенных значений процесса). Приведенные:результаты показывают, что избыточность отсчетов зависит от требуемой точности восстановления исходного сообщения и вида применяемой интерполяции. Для чщенюи необходимого интервала дискретизации в общем случае можно использовать соотношение Из~(йг) Д ~ Ипр= 2р (йе)~/вгт 1. (231) неквадратичной ошибюи дискретизации, определяемой выражением (2.19), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
