Пенин П.И. Системы передачи цифровой информации (1976) (1151855), страница 11
Текст из файла (страница 11)
В часгносгн, равномерная дискретизация может использоваться ( н кспольвуется) как промежуточная операция прн решвннн задач адаптнвной лвсзэретнзацнн, сжатия сообщений для устранення в ннх нэоыточносгн, иремецного улловнення каналов в системах связи н т. и. Поэтому инже будут рассмотрены основные особенности только рзвномерной днскретнзацнн. С иекоторыын еопросамн адаптивной дискретизации н ее приложениями можио ознакомиться в работах г! — 3), которые содержат также большую библиографию по этим вопросам. В основе математнчеокого описания днгиретнэацмн непрерывных функций по времецн лежит так иазьвваеыая импульсная фулкцня дискретизации ал(1), которая представляет собой перноднчыжую последовательность б-функцнй (елнннчных нмпульсных фуикцнй), следующих через интервалы времени 51»: ад(1) = '5~ й(1 — ййг).
(2.!) а=-«ь Такую фуикпню можно назвать также перноднческой спробнрующей нлн каммугацнонной импульсной функцией. В работе г4) подобная функция названа выборочной. Используя иреобразованне Фурье, можно иоказатьь что опектр импульсной функции д~помретнзацня определяется выражением (2.2) а= — оь которое представляет собой иерноднчеакую последовательность б-фуикцнй, следующнх через частотные интервалы Л/=~!/51. Заметим, что в соотлетствнн со свойством б.функцнй ) й(à —:Ыг"э=! площадь каждой составляющей и выражении (2.!) равна еднинце, а .в выражении (2.2) — иелячнне !(/ЬА Этн нначення площадей определяют «веса» б-фугвкцнй.
Днсцревнэацня непрерывной функцнн времени х(1) с ыатематнческой точки зрения представляет собой умножение втой функции иа фу~кцню ак(1): имеем (2.6) х(!)3(! — йбт) = х(йб!)й(Ф вЂ” йбГ). Это выражение означает, что умножение функции х(!) па едннинный б-импульс приводит к тому, что площадь этого импульса становится равной вместо единицы значению функции к(Г) в момент времени (=нЫ. Эту площадь обычно называют весовым коэффициентом (весом) б-иыпульса.
Ипымн словами, умножение л(Г) на единнчпый б-импульс соответспвует получению отсчета функции п(Г) в момент з=йбй С учетом (25) выражение (2.3) припнмает вид (2.6) Следовательно, умножение сообщения э(!) па ичшулвспую функцию пипсретизации приводит к образованию периодической последовательности б-импульсов, песа которых равны мгновенным значениям сообщения и моменты времеви 1=ЙАС т. е. ~з моменты взятия отсчетов.
На практике реализовать импульсную функцию дискретизации а виде б-импульсов невозможно. Техничесни дискретизация непрерывного сообщения реализуется ключевыми усвройсввами, управляемыми периодической последовательностью коротких прямоуголь.
пых импульсов. При этом длительносгь отсчегов конечна, похмельку отсчет берется не в одной точке, а з пекотороы интервале времени, равном длительности пмпульса т. Если выбрать пеличкиу т тап, чтобы обеспечивалось условие т/Аг«К1, образуется последовательность коротких пыпулнсов, амплитуды которых пропорциональны мгновенным значениям сообщения.
Практическую реализацию днспретизации по,времени часто называют импульсным преобразованием непрерывного сообщения. По сути пела такое преобразование эквивалепгно получению амплитудно-модулированной последовательностя импульсов (АИМ). При этом, если среднее значение непрерывного сообщения п(1) =О, получается так называемая балапоная АИМ (биполярная последопателнность), если же среднее значение п(Г) равно половине полной шкалы изменения величины х, получается модулированная последовательность импульсов, соотневствуюшая АИМ с глубиной модуляции гп~ 1 (упиполярпая последовательность). При решении задач диокретизации пепрерынньзх сообщении по времени, возникаег ряд вопросов: 1) пз капих соображений необходимо исходить при выборе интервала диокретизацпи А1; 2) какова точность замены непрерывного сообщения последовательностью его отсчетов, взятых в дискретные моменты времени, и от чего она зависит; 3) каков максимально допуспимый интервал диопретвпапни АА при котором еше принципиально возможно восстановление непрерывного сообщения по его отсчегнм, Получить ответ ма зтн и другие вопросы можно лишь в случае, если проблему пискрегнэапнн по времеви рассматривать в неразрывной аваев с обратной проблемой — вооста~новлением непрерывной функции времени по ее мгновенным зпачепиям, известным только в дискретные моменты времени.
Сложность этой проблемы состоит в том, что нужно восстановить утраченные при дискретизации 63 "ведения о поведении непрерывной функции времени в промежутках между отсчетами. Очевидно, что чем меньшим количеством отсчетов заменяется сообщение длительностью Тю тем продолжительнее интервал дискретизации бГ и тем сложнее выполнить восстановление исходной функции. И наоборот, чем больше отсчетов, тем короче интервал) Ы и тем проще оказывается восстановление '.
Такпм образом, рассмаприваемая проблема дискретизации не имеет однозначного решения. Осушествлепие более экономного импульсного преобразования непрерывного сообщения связано с усложнением задачи восстановления этого сообшения по его отсчетам. И наоборот, неэкономное (избыточное) импульсное преобразование приводит к упрощению процедуры восстановления. При реализации импульсного преобразования приходится принимать компромисоное решение, учкгываюшее отмеченные вьппе особенности. Выбор интервала дискретизации аг является одним из принципиально важных вопросов теории и техники передачи сообшений.
2.2.2. Математическая модель неарерьгеного сообщения Сложность задачи выбора интервала дискретизации состоит в том, что при ее решении необходимо учитывать овонства исходных непрерывных сообщений, способ восстановления этих сообщений по отсчетам и требуемую точность восстановления, Первым этапом решения является выбор модели непрерывного сообщения, представляюшей собой некоторую математическую идеализацию такого сообщения. От удачного выбора модели зависит простота теорни и возможность ее приложений к достаточно широкому кругу вопросов.
Чтобы не усложнять задачу, в модели необходимо сохранить лишь те характерные особвнносьи сообщения, которые имеют наиболее сушесгвениое значение для оассматрпваемых задач. Непрерывные реальные сообщения с математической точкизре. ния необходимо рассматривать как реализации некоторого песта. ционарпого случайного процесса Однако теория таких процессов сложна, разработана еше недостаточно и, несмотря на большую важность, не нашла пока широкого применения в инженерной практике.
Во многих практически интересных и важных случаях мстационарность реальных сообшений проявляется не очень резко (например, телеметрическая информация в стационарных режимах, речевые сообщения и т. и.). Статистические характеристики таких процессов (средние значения, дисперсия и т и ) изменяются замет.
но только па коротких интервалах времени, а на значительной части интервала сушествования рассматриваемого процесса практически не меняются. Благодаря такому положению можно ' Замена непрерывного сообщения длительностью Т, конечным числом отсчетов принципиально не может быть точной. При такой звмене всегда появляется погрешность Позточу правильнее говорить о замене с некоторой заранее установленной погрешностью Этот вопрос обсуждается ниже. 54 ввести идеализацию многих реальных процессов в виде стационар. ных или кусочно-стационпрных процессов. Удобспво такой идеализации заключается в том, что при фасомотреиин многих вопросов теории иыпулыжого преобразования можно пользоваться хорошо разработанной теорией стационарных случайных процессов.
Кроме того, многие стационарные процессы обладают ценным свойством эргодичности, которое позволяет получить характеристики процесса по одной его реализации Щ. Любые реальные процессы имеют конечную протяженность во времени, поэтому свойство эргодичности для таюих процессов нарушается и определение характеристик процесса по одной реализации становит. ся неточным. Однако прн условии, что (2.7) ТАй~х,К 6,( — ьа) =6 (Я), то в тех случаях, когда это удобно, можно пользоваться понятием одностороннего энергетического опептра, который равен 26,(Я) для всех положительных значений частоты. Функция 6 Я) может быть выражена через спектр временного процесса.
Если амплитудный опектр одной нз реализаций процесса «(Г) на интервале Т0 равен А ((а), можно показать, что 6л(Я) = Иш () Аа(Я) Е!Те), Гс.ьго гле )А,(Я) ( — модуль амплитудного спектра; черта сверху означает усреднение по множеству реализаций (статистическое усреднение). Для пвазистацнонарных процессов конечной длительности вы. ражение (2.8) становнтся приближенным, однако прн выполиенми условия (2.7) с этим можно не считаться. (2.8) ' Если реальный процесс заменен кусочно-стационарным, то условие (2.7) должно выполняться для каждого частичного интервала квазистационариости Ть входящего в состав общего интервала Т,.
55 где Т, — длительность процесса, а ЬГ,— ширина его энергетического спектра, указанная неточность невелика и с нею в ряде случаев можно не считаться. Условие (2.7) является одним из необходимых условий нвазистациона~рности случайного процесса, Физичеапи оно означает, что НЕарЕрЫВНОЕ СООбШЕНИЕ За ВрЕМя Та дОЛжНО ШНОГО ~раа ЫвиятЬ Зван производной Для характеристики стационарного случайного процесса (и(()), выбранного н начесгве модели непрерывных сообщений, необходимо знать его многомерную функцию плотности распределения. Эта функция часто неизвестна, и процесс обычно хврантеризуют знергетичеспим спектром 6,((а) или корреляционной функцией ~р (т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
