Пенин П.И. Системы передачи цифровой информации (1976) (1151855), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Как известно, энергетпческпм спектром случайного процесса называют функцию, которая определяет спектральную плотность ыощносви этого процесса. Заметим, что при проведенни теоретических исследований энергетический спекар обычно определяют во всей области значений частот (как положительных, так и отрицательных). Так как 6„(()) четная функция: На процесс могут быть наложены некоторые опрапичения, учп тываюшие физические свойства реальных сообщений, в частности: а) конечное значение средней мощности процесса г, (2 9) для стационарного эргодического процесса эта величина равна ЮЭ 1 г Р» = ) 6»(~)!((2' о ') 6»(й)гЯ пв й'л — м а (а) а ЬР» ЬЕ» Р» Е» (2.! 1) которое можно трактовать как отношение средней мощности ЬР (или энергии бЕ ) отброшенной части спектра к средней мощности Р» (или энергии Е») всего спектра.
Итак, в капестве модели непрерывных сообшенни обычно выбирают случайный квазистационврпый процесс (х(Г)), пыеющий конечную протяженность по,времени и ограниченный энергетический опектр, а также удовлетворяющий условиям (2.9) и (2.!О). Из теории преобразования Фурье известно, что условия ограниченности функцли по времени существования и по спектру одпо.
временно пььполнятьгя не могут Это ознзчает, что принятзи модель для сообщений конечной длительности пекоррекгна с математиче- 66 б) конечная шкала мгновенных значений шах !»(1) ! (Х !(2.10) Помимо указанных идеализаций и ограничений, при выборе модели непрерывных сообщений чгсто,вводят еше одну принципиально важную идеаливацию, связанную с ограничепием энпргетпческого спектра по частоте. Суть втой идеализации состоит в следующем. При передаче непрерывных сообщений по каналам связи вседа имеются неизбежные помехи.
Так пак спектральная плотность энергетического спектра любого реального сообщения уменьшается с ростом частоты, то, начиная с некоторой частоты, спектральная плотность сообщения оказыватся меньше спектрэлыюй плотности помех и, следовательно, такие составляющие спектра сообщения почти не вносят вклада в полезную информацию. Это обстоятельство позволяет ввести идеализацию, заключающуюся в том, что непрерывные сообщения рассматриваются кап случайный процесс с ограниченным энергетическим спектром. Среднеквадратичная ошибка, связанная с опрацечепием энергетического спектра стационарного случайного процесса граничной частотой Й», определяется выражением ской тачки зрении.
Многочисленные исследования [6. 7] показали, что случайный процесс с ограниченным спектром не язчяется точной мовелью непрерывных сообщений и с информационной гочки зрения Вместе с тем, наследования показали, что при соответствующем выборе частоты ограничения спектра переход от реальных сообщений к их идеализированной модели пе связан с большими погрешностями в во многих случаях вполне допустим.
Рассмотренная модель проста, наглядна и удобна для решения ряда задач, возникающих ырв дискретизации непрерывных сообщений во времени. Поэтому, несмотря ва отмеченные выше првнципиальвые недостатки, такая модель получила очень широкое распространение. 2.2.3. Предельная дискретизация по времени непрерывных сообщений с ограниченным спектром В теории дискретизации непрерывных сообщений особую важность првобретает вопрос о максимальном !(предельном) интервале дискретизации Ьх=шахМ, при цотором еше принципиально возможно восстановить непрерывную функцию времени с заданной точностью по ее опсчетам. Необходимое число отсчетов при этом будет минимальным и определится величиной пп'п т= [Те(шах Ы], где скобки указывают на то, что берется целая часть отношения.
Дискретизацию непрерывных сообщений, соответствующую такому условию, назовем предельной. Она обеспечивает представление непрерывного сообщения с заданной точностью минимальным '(беэызбыточным) количеством отсчетов. В некоторых работах такую дискретизацию называют оптимальной [2] ч. Проблема предельной дискретизации сложна и, несмотря на значительное количество исследований, далека от завершения. Большое внимание, которое уделяется теории пределыюй дискретизации по временв, объясняется тем, что она лежит в основе анализа ряда важнейших вопросов преобразования и передачи непрерывных сообщений, в частности, при исследовании вопросов усэранания избыточности сообщений (есжагие информацниэ), пропускной способности каналов в т. и.
В настоящее время наиболее разработашгой н швроко применяемой предельной дискретизацией непрерывных сообщений является дискретизация, основанная на теореме Котельникова. Остановимся на исходных положениях этой теоремы. Как уже указывалось выше, прн построении теории дискретизация необходимо опираться на некоторую модель сообщения.
Допустим, что нам известна олна из реализаций х(Г) нвазистаыионарного случай- э Такое определение в данном случае нельзя считать удачным, поскольку выбор числа отсчетов в качестве критерия оптимальности не учитывает проблемы интерполяции. Оптимизация дискретизации должна выполняться по таким критериям, которые бы учитывали обе процедуры — дискретизацию и интерполяцию.
ного процесса (х(1)), соответствующего совокупности возможных непрерывных сообщений. Ках бы сложно эта реализация ин выглядела, она представляет собой некоторую неслучайную (детерминированную) функцию времени. Пользуясь преобразованием Фурье, можно найти комплексный амплитудный спектр этой функция: х(С) Фсф А (1Я) Аа(Я)е'"и г =3) х(Г)е Выпд (2.12) Если функция к(1) задана графически в виде фотограммы вли существует в виде записи на магнитную ленту, можно еоспользо. ваться одним пз известных методов вычислительной математики и построить график амплитудного спехтра. Исходя из требуемой точности и допустимого уровня помех, ограничим этот спектр некоторой частотой Яв=2ПГю т. е, введем модель сообщения с ограниченным амплитудным спектром. Введенная модель характеризуется следующими особышосгяыи: !) относится н одной,реализации случайного процесса, т.
е. соответствует детерминированной функции! 2) имеет опраничевный спектр. Для такой модели верна следующая теорема: если непрерывная функция времени л(1) ~имеет спектр, ограниченный полосой частот от пуля до Р», то зта функция полностью определяется последовательностью своих мгновенных значений, взятых в моменты времени, отсчитываемые через интервалы йт 1/2Рв, Зта теорема иак математическое положение установлена давно (ом. мапример, [8]). Однако з наиболее четкой форме ее сформулировал, доказал в применил к конкретным проблемам передачи сообщений В.
А. Котельников в 1933 г. Поэтому вполне справедливо и отечественной литературе укаэанную теорему называют тео. репой Котельникова*, В нносвранной литературе (в основном американской и английской) подобную теорему обычно называют теоремой отсчетов илн теоремой Найквнста '*. Доказательство теоремы Котельникова содержится е ряде книг [8, 9, 12], н мы им заниматься пе будем.
Результатом доказательства теоремы является выражение еь а1п Яв(! — ййт) и(1) = ~~)~~ х(ййу) Я ( (2.!3) В= — ее где И 1/2гв л/Яа. (2.14) Раэложенве непрерывной фуыкпин времени х(1) в ряд вида !2.13) очень важно и приобрело в теорви информации и других областях не меньшее значение, чем разложение Фурье. В этом раэ. ч Формулировка теоремы, данная ее автором, несколько отличается от приведенной выше, но суть ее та же (см.
[9]). в* В !928 г. теорема была сформулирована без доказательства английским ученым Йайквистом [!0]. В !948 г, американский ученый Шеннон при разработке математической теории связи вновь ввел н доказал эту теорему, назвав ее теоремой отсчетов [11]. 38 ложенни эначенвя х(йбг) е пнсмретпых точкаХ времени Мсжвс раесматривать как координаты хь, а функции вида в1п Яа(1 — йИ)/)йв(1 — йб() — как базисные функции <рь(Г). Тогда выражение (2.13) можно рассматривать как частный случай обобщенного ряда Фурье; х(2) ~~~~ »ауа(1). (2.!5) в= — ао Принципиальная важность выражения (2ЛЗ) заключается в том, что оно дает решение как примой задачи (выбор внтервала дискретизации Ы), так и обратной задачи (восста~новление непрерывной функции х(Г) по значениям ее отсчетов).
З соответствии с выражением (2.15) процедура восстановления исходной функции сво. дитсн к суммированию бесконечного числа функций фь(Г) с весовыми коэффициентами, давиымн отсчетам хь. Это означает, что точное восстановление функции х(1) с ограниченным спектром возможно только при бесконечной протяженности этой функции во времени. В действительности же все реальные сообщения имеют ограниченную продолжительность во времени. Характерной особенностью реальных сообщений валяется то, что они относятсв к такому классу функций, у которых почти вся энергия сосредоточена в конечных интервалах времени и полосы частот. Если у сообщения длительностью Т, ограничвть спектр на частоте Гю то .в соответствии с теоремой Котельникова можно образовать чвсло отсчетов, раввине ч ш= Т (х 1=ЖвТю (25 5) 6 этом случае ряд (225) будет содержать нонечвое число членов н, сведовательно, представление непрерывной функции такиы рядом будет неточным: я/2 х(1) х(1) Я хара(2).
(2. 17) В= — т/2 ,Приближенность этого выражении проваляется в том, что при конечном ~есле членов ркка их сумма точно совпадаег с мгнолен. иьгми значениями функции х(1) не на всем интервале времени Ты а только в точках отсчетов. В интервалах между точками отсчета значения функции х(1) и функции приближения 2(Г) различаются и понвлнется погрешпо ть. Уменьшить зту погрешность можно путем увеличения числа членов ряда. |Как следует из выражении (2.!5), цри конечной длительносви сообщении Те ето можно сделать, только уменьшая интервал дискретизации бс, т. е. увеличивая значение частоты Р», которой ограничмвается спектр сообщения.
' Строго говоря, т Те)М+1=2Р,Т,+1, но так как обычно тЪ 1, то единицей пренебрегают. Естественно, что число отсчетов всег)(а целое, поэ'гому при определении т берется только целая часть полученного значения. 59 Среднеквадрагичггую ошибку, вызванную укаэанной погрешно стью, можно определить соотношением т, тс 3 "т(!)"! о [х(!) — х(!))'г!! тс ) хд(!)г!! о (2.18) где ет(!) — погрешность между х(!) и х(!); Š— энерш|я непрерывного сообщения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
