Калмыков В.В. Радиотехнические системы передачи информации (1990) (1151851), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Будем считать, что вероятность, передачи любого сигнала равна 1/тп. Тогда, решение о том, какой из сигналов зтЩ, т=1, ..., т, был пере- в дан, принимается на основе анализа (тп — 1) неравенств (5.26). Ошибка нри приеме сигнала возникает тогда, когда неравенство (5.26) не выполняется хотя бы для одного г~й Г!УСтЬ дп Е)2, ..., д,в — НаПРЯжЕНИЯ На ВЫХОДаХ КаНаЛОВ ~РаЗЛИ- чнтеля, а тв (дь т)„..., д 1з!) — пт-мерная плотность вероятности совокупности случайных величин 2)ь де, ..., д при условии, что на входе приемника действует сигнал з2(4). Тогда с учетом алгоритма работы оптимального разлнчителя вероятность правильного приема сигнала Рис, 'о,е.
Зависимость вероятности ошиоки от отиошеиии Ки//»с при оптимальном ,приеме ш детермиинрованимх ортогоиальимх сигналов //» ~ жепия на выходе ка~нала, принимающего полезный сигнал. Однако /»/ ' это нс означает, что потенциальная помехоустойчивость т-ичных сис- я/ ~ тем меньше, чем двоичных. При сравнении систем необходимо иметь в виду, что каждый равновероятпый т-нчный сигнал несет в !одет раз ббльшее количество информации, чем двоичный сигнал, или при той же скорости передачи информации имеет в !ода,т боль- шую длительность. На рис.
5.6 построены зависимости вероятности ошибки при иогсрентпом приеме т-ичных ортогональных сигналов от отноше- ния Ь', =Ев/Л/с, где Ев=Е/)ояат — энергия, затрачиваемая на 1 бит информации. Системы ортоеональных сигналов с т.в 2 позволяют обеспе- чить при одг»»иаковой скорости передачи иифпрмацааи существен- ный выигрыш,в энергетике по сравнению с две!»чными сигналами !17!.
Так, нри т=32 и р, см10-а он составляет почти два,раза. Платой за энергетический выигрыш является увеличение ши- рины полосы частот, занимаемой системой, и усложнение прием- вика, который для сигналов с одинаковыми энергиями содержит т корреляторов (по числу сигналов) .и,решающее устройс Системы передачи с симплексными сигналами. Вероят ошибки рс в системе с симплекснымн сигналами з„(7), г=1, связана простым соотношением с вероятностью ошибки для гональных сигналов ! 17!. Действительно, пусть з„(/), г=1, ..., симплексные сигналы. Образуем новый ансамбль сигналов тельностью Т,(1+ ~г.с!); з, (7), 0 «( ! ( Т„ )~Е|Т„Т,<!<Т (1+ !г,!), где го= — 17(т — 1).
Сигналы (5.51) являются ортогональиыми: Гс»»+ /г, !» т з,' (/) з' (!) »7/ = )" з» (/) з, (!) й + о с »с» +!о!» + )' — с(!=Егс+Е !гс! = О, !чь/'. т с Энергия каждого сигнала з',(/) равна Е(1+ !гс!). Учитывая, что передача сигналов на интервале времени Т,~ «й-К;Т (1+)Гс!) ОдмиаКОВО ВЛвяЕт На ВЫХОДНЫЕ ~иапряжЕНйя 90 тво. ность дли- (5.5! ) всех т каналов (на этом аантервале времени все сигналы з'„(!) одинаковы), можно утверждать, что .вероятность ошибки для исходного ансамбля сигналов а„(!), г=1, ..., т, равна вероятности ошибки для ортогонального ансамбля сигналов с энергией Е(!+ + !ва ~ ).
Таким образом, вероятность оцаибки для симплеконых сигналов определяется как !17) р„=1 — — )' ехр — — »!х — 1 г . ! ~ Ф"' »(х)г(х. )/2л „2 /"'а»п Зависимость вероятности ошибки от отношения Ь' =Ев/Л/в для оимплексных сигналов можно проследить по рис. 5.6, если по оси абсцисс вместо Ев(Л/с отложить величину г' /Чс и» вЂ” ! Помехоустойчивость симплексных сигналов выше, чем ортогональных. Однако зто различие уменьшается с увеличением т и цри т~! помехоустойчивость обоих ансамблей оказывается црактически одинаковой.
Системы передачи с биортогональными сигналами. Оптимальный различитель биортогональных сигналов состоит из набора тг»2 корреляторов, устройства нахождения, максимального по абсолютной величине напряжения на их выходах и устройства определения знака этого напряжения. При передаче любого сигнала з»(У) ошибка отсутствует, если выполняются ~вправе»аства: г/»)О, !г/»~)шах((»7»), !»/а~, ..., )г/»-»), ~»7»+»), ..., г/ /а).
Вероятность правильного приема любого сигнала сг ег Рпп (зг) =',('г/»7»,( " ) %п/а(»7»~ "' ю Чш/а )зг)»т»7» ".г/»/п»/а. с — сг СлУчайные величины»/ь ..., »7 /а ЯвлЯютсЯ статистически независимыми и распределены так же, а»ак и для ортогональных сигналов. Это позволяет вывести следующее выражение для вероятности ошибки: р =1 — — !.
(2Ф(х) — 1) а ехр~ — — ~х — а/ — ~ ~ г!х. )/2л о Помехоустойчивость биортогональных сигналов выше, чем ортогональных. Однако прп т.з 2 эта .разница становится пренебрежимо малой. Как уже указывалось, вычислить вероятность ошибки в тпчной системе в общем случае трудно. Поэтому иа практике часто пользуются верхней границей для вероятности ошибки Ршп (зг) с«Х Рош (з/!з») (5.52) / » /Фг где рс (з;)з») — вероятность ошибки при передаче сигнала аг(!) 9! (5.55) систему сигналов з'г(/) =зч(1)+з(1).
Заметим, что обе системы сигналов обеспечивают одинаковую помехоустойчивость. Суммар- ная эн!Оргия новых сигналов гс В = Х ~ (з! (Е) + з (Е))' г(( (5.54) о Для снмплексных сигналов Вв должна быть минимальной. Ми- нимизируя выражение (5.54) по з(1), можно показать, что сими- лексные сигналы, получаемые на основе ортогональных зг(1), 1= =1,...,и, имеют вид Я т з,(/)=зу(Е)- — Х з (().
и! Так как с учетом (5.55) ~ а'г(Е)=0,"! г=! то каждый из сиги(алов з'г(1) можно представить в виде линейной комбинации осталыных. Ото!ода следует, что симплексные сигна- лы з! (Е), 1=1, ..., и, можно представить в виде векторов в (и — 1)- мерном езклндоном пространстве. Задаваясь одной базисной функцией ф(Е), можно сформировать два симплексных сигнала, которью совпадут сапротпвоположными сигналами. Задаваясь двумя базисцьгми функциями, можно сфор- мировать три сиы~плеконых сигнала.
Концы их векторов лежат н вершинах равностороннего треугольника. Симплексиые сигналы могут быть получены на основе симп- лексных Кодов. Рассмотрим рави(эмерный код с основанием 2 и длиной и. Пусть его кодовые комбинации представляют последо- вательности из и символов, принимающих значения — 1 и 1. Вве- дем понятие коэффициента взаимной корреляции между любой парой комбинаций В! в В;: т — 1 гм = Х Ьмйж з з Потребуем, чтобы коэффициенты взаимной корреляции ты=го, 1, /=1, ..., и; 1~/.
Можно показать 1171, что -( — 1/(и — 1), если и — четное число, — 1/и, если и — - печатное число. Код, все пары кодовых комбинаций которого име!От коэффи- циен!ты взаимной корреляции — 1/(и — 1), если ги — четное число, гз = — 1/и, если и — нечетное число, называется симплексным.
Соответствующее название носят сиг- налы, полученные на его основе, например, путем фазовой мани- пуляции несущей. 94 Снмплексные коды можно построить на основе матриц Адамара. Нетрудно показать, что если существует матрица Адамара порядка А!=41, то можно построить сима»ексные коды для т=4К 4Ь вЂ” 1, 26 и 2Ь--1, где Ь вЂ” целое положительное число. Дсйствитеаьно, пусть А» — матрица Адамара порядка А!=4Й, записанная в нормальной форме. Тогда, зачеркнув первый столбец, попучаем матрицу, строки которой образуют снмпзексный код дхя и!==.4Я.
Есле, кроме того, вычеркнуть одву из строк, то получим снмпяексиый код дкя т=- -4Ь вЂ” 1. Коды для»!=-2Ь в т=йй — 1 по»уча!отея следующим образом. Возьмем любой Рй столбец Вэь1) н вычеркнем в матрице А» строки, на которых злементы /-го столбца равны 1 (или — 1). Вычеркнем также первый и 1-й столбцы. Тогда оказывается, что оставшиеся строки образуют снмплексный код для и!= 2Ф. Если вычеркнуть еще одну строку, то получим снмплексный код дан т = — 26 — 1. Особый интерес представляют симплеисиые коды, комбинации которых нваяются циклическими перестановками одной нз них.
Выясним, каким условиям должны удовлетворять такие кодовые последовательности. Введем периодическу!о корреляционную функцию (ПКФ) кодовой последовательности Ьм Ьь ... Ь т — ! йа(/) = Х Ь|Ь!+Л /=О, 1,...,т — 1. !.=з Пскледовательности, ПКФ которых удовлетворяет условию /г" (/) а, /=-1..., ... т — 1, называются последовательностями с Оаухйроа»евой ПКФ. Можно показать, что )а)~1. Д!!я построения цяклнческих симплексных кодов прюодны только последовательности с двухуровневой ПКФ, дзя которых а= — 1. К числу таких последовательностей относятся линейные рекуррентные последовательности максимальной длины (М-последовательности), последовательности Лсжацдра, последовательности Холла и последовательности Якоба.
Ниже рассматриваются только М-последовательности как наиболее часто применяемые на практнке. Алгоритм нос!роения других последовательностей можно найти в 118]. Линейной рекурреитной последовательностью (ЛРП) называется последовательность символов (Ьй=ьь Ь!, , удовлетворшощая рекуррентпому правилу Ь!е аз+с!Ь!-!+с!5!-з+ ... -)-с ~Ьг- (5.56) где кан значении последовательности (Ь!), так и значения козффнциснтов са н с! принадлежат некоторому алфавиту.
(О, 1, ., Š— 1), а операции сложения н умножения производятся по модулю Е, причем Е предполагается простым числом. Соотношение (5.56) называется правилом кодирования, число л — памятью, а число Š— основанием последовательности. В дальнейшем будут рассматриваться только двоичные последовательностп (Е=2). Без потери общности козффициеит ср можно положить равным О. Тогда рекуррентное правило запишется в виде Ь,=с,Ь!,Вс,Ь!-з(6... Юс„Ь! (5.57) Из (5,67) следует, по для построепня ЛРП необходимо в каждый тактовый момент времени запоминать и последних символов Ь» „Ь! ь ..., Ьс- межсимвольной интерференции в отсчетных точках.
Для этого в соответствии г с (599) требуется выполнить условие :": Кпн ~ ~ + —,!)1К...~)( + — '," 1)1Х ЗСК„~! ~ + — Ц = Тс, (г ! =- — ° т (5.!02): Далее вз множества характеристик К„г Цгз), удовлигворяющих (5!02) „;: следует выбрать такую, которая обеспечит мявималышс зпа юнне вероятности.:,- ошибойного приема. В этом случае К«Р Ою) К ПРОВ)Т«Оы) (5. (ОЗ);: где К'«»Цы) =К«„яЦю)К".„...Цы)ехр(- — )ю(«) — частотная харвктгрпствка'д фильтра СФл., согласованного с си1 излом й'(1), а мяожятсль Т«Цри) соответ-" стнует комплексной частотной характеристике вспомогательного фильтра, на-: зываемого гармоническим корректором (ГК).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
