Калмыков В.В. Радиотехнические системы передачи информации (1990) (1151851), страница 11
Текст из файла (страница 11)
гипотеза Нз, где Л<м>(п) = и>(ц ~ Н>)>Ив(ц ~ Н>) — отношение правдоподобия, а см — см р(о,> ЛО= с„— см р(Н,> (5.6) — порог принятия решения. В общем случае т)2,,когда вмеют место более чем две возможные гипотезы, оптимальная байесовская стратегия сводится к системе неравенств, связывающих отношения правдоподобия Ль!м>(ц) =и>(в~Н!)/«в(ц>Н,), «чв1, «=1, ..., т, с соответствующими порогами првнятия решения, зависящими от значений функции потерь сь и от априорных вероятностей различных гипотез.
,Процесс выбора функ>пи~и потерь в принципе весьма субъективен, поскольку обычно ее значения ~не,имеют связи с действительными потерями или затратами при п~риеме сигналов, а призваны лишь подчеркнуть то обстоятельство, что некоторые виды ошибок цри принят>ии решения более нежелательны, чем другие. Тем не менее в ряде случаев возможен достаточно определенный в обосновапный выбор значений с>„, Примером такой ситуации является передача дискретных сообщений, когда для увеличения скорости передачи информации устранена избыточность алфавита исто >ника.
Характер последующего кодирования сообщения таков, что не имеет значения вид ошибки в приеме сообщения, а определяющим является лишь число таких ошибок в используемых ко- 75 Выберем,в качестве координат пы й=1, ..., М, многомерной вы борки п коэффициенты разложения Карунена — Лоэва (см й 2.2) случайного процесса и(!): и(!) = Х и (!), О Ф(Т„ о=! (5.18) где (5.14) 'по=)' и (г) фо (!) г(г, о а ортонцрмированпые функции фо(!) удовлетворяют интегральному уравнению о ~" )( ((г — 6) фо ((г) г((г =-сгофо(7!), (5. 5) Тогда, учлтыпая свойства Разложен1ия Карунена — Лоэва !и рас- пределение процесса и(!), можно утверждать, что координаты по являются независимымн гауссовскими случайными величинами с ооулевыгон математическими ожиданиями о! дисперсиями сгь Со- ответственно нх совместная М-мерная плотность вероятностей оп- ределяется квк / ! м пог ! гв(п)=()'2п)™ ~; о,' ехр ~ — — 2', (5.16) о-! 2,г При этом существенно то обстоятельство, что при увеличения,раз- мера выбс,ркн М, во-первых, Распределение (5.16) остается спра- '::,,:,=,' ведливым (иекоррелировапность коэффициентов сохраняется) н, во-вторых, точность представлеггия процесса и(!) значениями по .:.':.' повышается.
В частном случае белого шума п(4), когда Й(т) = (А!о/2)6(т), (5.17) где А!о!!2 — двусторонаяя спектральная плотность мощности про- цесса п((), подставляя (6.17),в (6.15), легко .видеть, что интвг. Ральному уравнению (5.15) удовлетворяют любые функции фо(4), ортогональные па интервале [О, Т,). При этом все коэффициенты ого одинаковы и,равны А!о(2.
С учетом (5.12) заменим по=по — знч причем в соответствии с '(5.13) н (5.14) функции и(!) и з,(() и коэффициенты ио н в,о связаны выражен~иямог и (!) =;Р и„фо ((), о ! в. (!) = Х з.о фо (!) '* ь=! (5.18) 7В о т„ ио = )" и (!) фо (!) г(1, о то з,о - ) з, (!) ф (!) дй о Тогда отношение правдоподобия Л!о'! (п) можно представить в следующей форме: (~!((г! го(в!Ог! м бг!,1 ,г ~ ехр — ~', — ""- ехр Х вЂ”"," ° (5 19) г г 1п Л (ц) =-;à — о (з,„— аго) — — 2; ио ! о!о гго а2 2 (5.20) 5.2. СИСТЕМЫ ПЕРЕДАЧИ С КОГЕРЕНТНОЙ ОБРАБОТКОЙ СИГНАЛОВ 5.2.!. АЛГОРИТМ ОПТИМАЛЬНОГО ДЕМОДУЛЯТОРА Рассмотр~и~м ситуацию, когда !решение принимают на основании анализа оорезка [О„Т,') реализации процесса и(4), определяемого выражением (5:1), при полностью известных возможных сигналах з~(4), имеющих длительность Т,.
При этом предполагают, что момент (о поступлевия полезного сигнала ва вход приемника точно известен, л также точно известна начальная фаза ф, высоыочастотнюго заполнения полезного сигнала. Обработка сигналов 79 Получаемая прн М- оо предельная форма отношения правдоподобия Л(н) = !!гп Л!м>(п) называется фуннционалол! отногивния м-н правдоподобия. Поскольку все рассмотренные оптимальные стратегии принятия решений предусматривают сравнение Л(п) с пороговым значением Ло. можно перейти к более удобной 4к~рме записи: сравнивать ! [Л(н) ) с порогом ! (Ло), где [( ) — монотонная фулкцня, определенная для всех оп!тересующих пас значений аргумента. При этом, поскольку Л(н) >О и Ло>0, целесообразно в качестве Г( ) выбрать логарифмическую функцию.
Тогда, переходя в (5.19) к пределу при М-+-ос н логар|ифмнруя полученное выражение, полу- чаем Выходное напряжение фильтра п(хи,поступлении на его вход процесса и(!) определяется с помощью интеграла Дюамеля уг(2) = ) ~((~М1(т)~т о С учетом (5.28) уе(2) =а ~и(1 — т)я!(Т,— т)йс. о Заменив переменную в (5.29), получим т, д! (г) = а !" и (у + 1 — Т,) в! (у) ду.
ге — ! Таким образом, в момент око!г!ания полезного сигнала (5.29) (5.30) ш(д(в!) н и!(д)в,) — плотности вероятности случайной велвчнны д прн наличии иа входе сигналов в1(1) и ве(1) соответственно, 82 д! =а (е и(() я!(() Й(, о т. е. получаем именно ту величину, которая должна быть вычис. ':'-':":.з лена в соответствии с алгоритмом (5.26). Следовательно, алгоритм опз!нмальиого приема, может быть' реализован с помощью ".,"-'" устройства на основе фнльт!ров СФь согласованных с сигналами я!(!) (рнс.
5.2). " 5.2,2. ПОТЕНПИАЛЪНАЙмПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬм Двоичные - системы передачи,.информации. Пусть сигнал на входе приемника имеет вид и(() =)!в1(()+(1 — )!)во(1)+п(4), где !) )! — случайная величина, принимающая значения 1 и 0 с вероятностямв р, и ро соответственно, причем р!+р,=1; в!(1) и, вт(2)— полезные сигналы с известными параметрами; пЯ вЂ” стационар. ный гауссовский белый:шум с;нулевым математическим ожида!нием и корреляционной функцией К (т) = (М!!2)б(т). -Алгоритм рабаты .демодулятора- описывается выражением - (5.24) . Средняя (полиая) вероятность ошибки, используемая для количественной оценки помехоустойчивости, для рассматриваемого ре =рр (я'! !)+рер.
Ь)яо)» (5.31) где условные вероятности ошибок )иу 'мч! р (я )я!) = ) (у)я!) Ф (5.32) Реш (В1)В2) Х Ш (Ч!ве) !(Ч о>1, Найдем ~распределение величины д для указа!нных случаев. Пусть на входе приемника присутствует сигнал я,(!). Тогда с учетом (5.24) ге !) ) (я! (е) +п(2)ия! (1) во (2) ! е! о Легко видеть, что величина, д является лмнейным функционалом гауссовского случайного процесса, а следовательно, вмеет нормальную плотность вероятности. Математическое ожидание величины д те и!9 М(ч) ~ 1в1 (1) +М(п(4))!(в! (!) ~1 (() 1~ ~1 Е(! ге) о где 1 те ге = — ( в (1)в (()!(( о условно называют козффнциентом взаимной корреляции между сигналами я,(1) и во(!) (3, 161. Дисперсия величины д гг, 11! Е„-М!! — ч!1=М((!' !!!1,!Π— м!!!!!1) 1- о те те ,) М (и Я и ((о)) (вт (!1) — Яе ((1)) [вт (ге) — в, ((о)) !((! !((е.
Учитывая, что М(п(4!)п(11)) = (Л!о72)б((1 — 6), и используя фильт- рующее свойство б-функчии, находим 0 =Е!ео(1 — г,). Таким об- разом, 1 (о Е (1 ге)1 и! (д(в!) = ехр (— )/2п !/РЛ'е (1 — г,) ! 2 ЕФ!! (1 — ге) Аналогично можно показать, что если присутствует сигнал ве(1), то случайная величина т, = (я2(()+п(~) )(в1(1) — в1(1) )Ж будет иметь ~нормальную плотность вероятности с параметрами тд — =Е(! — Е), 0ч=ЕИе(! — те), т. е. и!(())ве) = ехр г — (о+ )/2и )/ЕУе (! — ге) 1 2Р!Уо (1 — г!) Плотности вероятности и1(д ~ в!) н и! (д ~ яо) представлены на рис. 5.3. 63 При Р| — — Рт= 1!)2 средняя вероятность ошибки Г 2т 2 В Учитывая, что порог 1о=Е/2 [юм.
(5.3У)), находим Р. =1 — 0)(0,51/М7У,)=1 — Е(й))/2). (5.38) На рнс. 5.5 представлены защюнгмости вероятности ошибок от отношения Е(1ттв для фазо- (ФМ), частотно- (ЧМ) н амплнтудноманнпулировавных (АМ) сигналов, .рассчитанные соответственно по формулам (5.35), (5.36), (5.38) (оплошные линии). Таыим образом, наибольшей потенциальной помехоустойчивостью обладают фазоманипулнрованные сигналы, Онн обеспечивают выигрыш в энергои сигнала в два раза по сравнению с частотно-мапипуннрованяыми сигналами и в четыре раза по сравнению с амплитудно-ман~ипулированными сигналами. Частотно-мавипулнровапные сигналы обеспечивают выигрыш в энергичен, сигнала по сравнению с амплвтудно-мани!тулированными сигналами :-' в дцд ядзв.
-: Однако следует иметь в виду, что, в отличие от фазовой и частотной манипуляций, прп амплитудной манипуляции, переда'ется только одни сигнал. Поэтому если исхо~щть из среднеэяерге-,, -!. внчесюих заърат, чч) нетрудно видеть, что системы с АМ и ЧМ сигналамв обладают одинаковой помехоустойчивостью. Заметим, что величина )' 2Е(1 — т,) представляет собой расстояние между сигналами (см. $ 2.2) т, д=~[» [з~ (1) — за(1))ес(!1цв. о Прн этом формулу (5.34) можно записать в виде Реш=! — 0) (дД~ 2Ва). (5.39) Из (6.39) следует, что при действии в канале гауссовского белого наума вероятность ошибки зависит только от р~асстояния между сигналами н спектральной плотности шума. Этот вывод оказывается справедливым и для т)2.
При высоких требованиях к помехоустойчивости (Р, (10 ') вероятность ошибки удобно определить по приближенной фомуле: Р ! ав(1 — г ) (5.40) которая получается при аоимптотнческом представлении интеграла,вероятности !22(Х) 1 — — Р (5.4Ц Точность вычислений ло формуле (5.40) не хуже 10%, если' '-':...'::!! и вп — — ава. еб Рпс. 66. Зависимость вероятности ошибки от отношения Е!))и для детерминирован- ных сигналов при АМ, ЧМ, ФМ в-к Оэ е! е! Рер(з!) = »'(Й ) —.
» твш (чх1 чв.- ° 2)т1з!) '(чх-.с(()ш Соответственно п(аи, передаче сигнала вероятность ошибки ,.»(2.) -- 1 — Рсв(. ) (5.43) Она прн прочих равных условиях завнонт от ансамбля применяемых оигналоз з,(!), т=1, ..., пт. Существует бесконечно большое число систем, отличающихся друг от друга индивидуальными и совместными овойствамн сигналов. Представляет интерес оистема сигналов, обеспечивающая максимальную помехоустойчивость при заданных априорных условиях передачи.
При действии в канале помехи типа белого гауссов!ского шума помехоустойчивость системы зависит от расстояний между сигналамии: (5.42) т те ! 1/2 с((зь з,) - ~» (22 (!) — з) (1))в)(1) , ), ! = 1,..., пт, (5.44г о причем чем больше минимальное из помехоустойчивость оистемы. Если сигналы имеют одинаковую упростить: с((зь з;) в '[2Е(1 — гт!) ) ца, этих ~расстояний, тем выше энергию Е, то (5.44) можно (5.45) М-ичные системы передачи ин- ~-г формации. Пусть принятый сигнал имеет вид иЩ =и,+пЯ, 0(1(Т„ где з„(2), т=!,,... пт, (т~2) — и' |возможные полезные сигналы на входе приемника; и(1) —,помеха дн типа белого гауссовского шума.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
