Васин В.И. Информационные технологии в радиотехнических системах. Под ред. И.Б.Федорова (2003) (1151848), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Таким образом, с учетом (3.144) и (3.146) при больших отношениях сигнал — шум имеем /е/™о е ~ 1 „„р~ " + и )У (~ ~)ы„р~ — /) 9.147) При Е/Мо > 10 первым слагаемым в (3.147) можно пренебречь. Тогда 178 3.4. Различение сигналов ( .б') Р м 0,5ехр — ~. ош- ° 1, 4А 0 (3.148) На рис. 3.22 (штриховая линия — АМ) показана зависимость вероятности Р,„от отношения Е/Жв, рассчитанная по формуле (3.148). Сравнение с соответствующей кривой для когерентного случая позволяет сделать вывод, что при вероятности ошибки 10 з...10 некогереитный прием АМ сигналов проигрывает в энергетике иа 1...0,5 дБ. При неоптимальном пороге вероятность ошибки может оказаться значительно больше Р, определяемой по формуле (3.148).
Поэтому при изменении уровня принимаемого сигнала порог приходится подстраивать, что является существенным недостатком систем с пассивной паузой. 3.4.5. Различение зи сигналов со случайной начальной фазой на фоне белого шума Пусть на входе приемника сигнал имеет вид и(г)=з,(г,р,)+л(г), 1 = 1, 2, ..., лз, где начальная фаза <р, представляет собой случайную величину, распределенную равномерно на отрезке ( — я, л); п(г) — помеха типа белого гауссовского шума. Полезные сигналы в,.(г), /= 1,2, ..., зл, ортогональны в усиленном смысле, равновероятны и имеют одинаковую энергию. Алгоритм принятия решения (3.111) для рассматриваемого случая можно записать в виде У, >2о /=1,2,...,т, /и/, (3.149) ~, >кп /=1,2,...,т, /~/, в ч Р„= (Р,,~Ц„(,п,„.„,ии)/.г..Ь,,/„,...й..
(3.150) о о о 179 где и, =У,./и, Структурные схемы оптимальных различителей, выполненных на основе корреляторов и согласованных фильтров, представлены на рис. 3.28, а и 3.28, б соответственно. Оценим помехоустойчивость оптимального различнтеля. Очевидно, что ошибка при приеме возникает тогда, когда неравенства (3.149) не выполняются хотя бы для одного индекса /в/.
В общем виде вероятность правильного приема сигнала определяется формулой 3, Основы теории обнаружения и различения сигналов Рнс 3.28. Структурная схема: а — корреляционного оптимального различителя т сигналов со случайными начальными фазами; б — фильтрового оптимально~о различителя т сигналов со случайными начальными фазами При использовании ортогональных в усиленном смысле сигналов значения огибающих оказываются статистически независимыми и соотношение (3.150) можно переписать в виде У! У! Рв = )!!и! ~"-)ЗЕ(и!)ЗЕ(и2)- ("и) ! 2" з-! о о о Как и для двоичной системы, значение огибающей и! Распределено по законУ Райса(3.87), а значениЯ огибающих ио з=1,2,...,т, !'м1, — по закону Рзлея (3.86). Используя (3.86), (3,87), находим 180 3.4, Различение сиенашв Учитывая, что 1 — ехр — =,Г (-1)" С„", ехр— выражение (3.151) можно переписать в виде =„р( — ~~~-1гс', 1.
р(- )ч( — )ь, После несложных вычислений получаем [23) 1 ( нЕ Р р — — ~ ( — 1)" С", — ехр~- =о "+1 (и+ 1) Ло ) Вероятность ошибки имеет вид т-! Р, =1 — Р = '~ ( — 1)"'~ С", — ехр~- 1. (3.! 52) ош пр и-1 1 1 ( 1) п~ рпш 1о-: З БВРХп, лБ 4 В 181 Так же, как и в и. 3.4.2, сравнение различных систем передачи информации при некогерентном приеме необходимо проводить на основе зависимостей Р, =~(ЕБ/ЛРо). Из рис. 3.29, на котором представлены эти зависимости, видно, что чем больше т, тем выше помехоустойчивость системы. Сравнение когерентного и некогерентного методов приема показывает, что при нВ = 12о различие в помехоустойчивости пренебрежимо мало. На практике при Р, «1 часто пользуются верхней грани- Рис.
3.29. Зависимость вероятности ошиб- ки различения е сигналов со случайными начальными фазами 3. Основы теории обнаружения и различения сигналов цей вероятности ошибки Р <(т — 1)ехр(-Е!2Ие'у!2, совпадающей с первым членом суммы (3.152). 3.5. Оптимальный прием сигналов на фоне небелого шума 3.5.1. Обнаружение сигнала Пусть колебание на входе приемника имеет вид и(г) = Ов(г)+ п(г), н=Оя+н, где н = (и,, и„..., х ), з = (в,, в,,..., е ) и и = (п„пз,..., п„) — векторы принятого, полезного и шумового сигналов соответственно, причем и, =и(г,), е, =д(г,) и п, =п(г,), 1=1,2,...,т; г„„.,г — моменты наблюдения, выбираемые в соответствии с теоремой Котельникова.
Поскольку шум не является белым, то шумовые отсчеты будут коррелированы. Обозначим через К„корреляционную матрицу шума. Оптимальный обнаружитель, по-прежнему, должен вычислить отношение функций правдоподобия 1(н) = и (н~Н, )/ и (н ~Не) и сравнить его с порогом С, значение которого определяется используемым критерием (см. В 3.3). В рассматриваемом случае плотности вероятности и (н 1Н,) и и'(и~Не) определяются п-мерными нормальными законами распределения: и(н(Н,) = „ыз ехр~ — (н-а) К„(н-я), (2л)" 1К„) ' 2 ( )и )= «р~ — 'я„ 1 1 (2 )л/2~К ~н2 1 2 " ) (3.153) (3.154) где ~К„~ — определитель матрицы К„, К„' — матрица, обратная матрице К„, и — я и н — вектор-столбцы, элементами которых служат отсчеты иЦ)-е(г,) и и(~,), 1=1,2,..., т, соответственно.
132 где Π— случайная величина, принимающая значения 1 и О с вероятностями р и 1 — р; е(г) — полезный сигнал, параметры которого известны, п(г) — гауссовский шум с корреляционной функцией й„Я. Рассмотрим сначала дискретную обработку сигналов. При этом наблюдается выборка 3.5. Оптимальный прием сигналов на фоне небееого шума С учетом соотношений (3.153) и (3.154) находим решающее правило: ехр — — (и-в) К (и-в) и, 2 И 1(и)— ехр — — в'К„в (3.155) Заметим, что в случае белого шума К„= о„1, где 1 — единичная -1 -2 диагональная матрица, и выражение (3.155) переходит в (3.50).
Логарифмируя обе части неравенства (3.155), после преобразований получим и~ 1п1(и)= — (-в'К„'в — в'К„'в+в'К„'в) ~( ЬС. (3.156) и, Матрица К„~ является симметрической. Поэтому в'К„'в =в'К„'в и выражение (3.156) приводится к виду и, "К ' в'К„'в ~( 1пС+ " =Сг (3.157) Поскольку параметры сигнала и статистические характеристики помехи известны, правая часть неравенства (3.157) может быть заранее вычислена.
Позтому существенной является лишь нахождение величины и = и'К„в . Техническая реализация алгоритма (3.157) многообразна. Приведем основные схемы построения оптимальных обнаружителей 129, 301. Решающее правило (3.157) можно представить в одной из следующих форм: и, в'в' ~ С, и, (3.158) или и( в'в ~( С„ и, (3.159) 183 где в'=К„'в, и'=К„и, В соответствии с неравенствами (3.158), (3.159) на рис. 3.30 представлены структурные схемы оптимального обнаружителя. Первая (рис. 3.30, а) отличается от схемы оптимального обнаружителя сигнала на фоне белого гауссовского шума тем, что вместо координат вектора в используются координаты вектора з', хранящиеся в запоминающем устройстве 3.
Основы лзеории обнаружения и различения сигналов Рнс. З.М. Структурные схемы оптимального обнаружителя: а — с преобразованием полезного сигналж б — с матричным фильтром (ЗУ), а вторая (рис. 3.30, б) — наличием матричного фильтра с т входами н лз выходами, осуществляющего преобразование входного вектора и: н'=К„'н, или, чтото же самое, и,' =,) Я„„-и . /! Возможна и другая реализация оптимального обнаруясителя. Поскольку матрица К„является симметрической, то ее можно представить в виде К„= 1Л.', где Ь вЂ” нижняя треугольная матрица. Прн зтом обратная матри- ца имеет внд К„~ =(1.') ~ Ь ~ = У'У, где У = 1 1 — также является нижней треугольной матрицей, и решающее правило (3.157) можно представить в виде н'У'Уя = н„'я„~~ С,, (3.160) где (3.161) и„= Ун, я„= Уя.
К = М~п„п„'~ = УМ~па') У' = = УК„У' = У(У'У)-'У' = 1. Фильтры, осуществляющие декорреляцию шумовых отсчетов, получили название обеляющих. Рнс. 3.31. Структурная схема оптимального обиаружителя 184 Структурная схема оптимального обнаружителя в соответствии с (3.160) представлена на рис.
3.31. Она отличается от схемы оптимального обнаружителя сигнала на фоне белого гауссовского шума наличием двух матричных фильтров, осуществляющих преобразования (3.161). Заметим, что на выходе матричного фильтра шумовые отсчеты оказываются некоррелированными с дисперсиями, равными единице. Действительно, 71 корреляционная матрица шумовых отсчегов является единичной: 5.5. Оптимальный прием сигналов на фоне небелого шума Таким образом, в соответствии с алгоритмом (3.160) проводят сначала декорреляцию координат входного вектора, а затем его обрабатывают так же, как при приеме сигнала на фоне белого гауссовского шума. Для обеспечения декорреляции координат входного вектора можно использовать ортогональные преобразования.
Поскольку корреляционная матрица К„ является симметрической, то всегда можно найти ортогональ- ное преобразование 9 такое, что 9'КЯ = Р, где 9 — ортогональная матрица, столбцами которой являются собственные векторы матрицы К„; Р— диагональная матрица с элементами Х„1 = 1, 2,..., и, на главной диагонали, равными собственным значениям матрицы К„. Соответственно, обратная матрица К„' находится следующим образом: (3.162) где Р ' — диагональная матрица с элементами на главной диагонали, равными 1/Хь 1 = 1, 2,..., т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
