Васин В.И. Информационные технологии в радиотехнических системах. Под ред. И.Б.Федорова (2003) (1151848), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Оценим помехоустойчивость систем передачи с биортогоиальиыми сигналами. Оптимальный различитель биортогоиальиых сигналов состоит из набора т/2 корреляторов, устройства нахождения максимапьиого по абсолютной величиие напряжения иа их выходах и устройства определения знака этого напряжения. При передаче любого сигнала в,(г) ошибка в приеме отсутствует, ес- ли выполняются неравенства г, > О, г, >пих(Ц,)гз(,...,)г~,),)гни),...,~г„„!).
Вероятность правильного приема сигнала можно записать в виде 0 ч ч ~р(в!) )А )" ) и' (г| - г !за!)Ф".Ф-~а'м~ "сгг пг 0 -ч -ч Случайные величины гц ..., г„„г являются статистически независимыми и распределены так же, как и ортогоиальиые сигналы. Это позволяет вывести следующее выражение для вероятности ошибки: 1 е Р, = 1 — — ) (2Ф(г) -1) ехр — — г — — с1г. Помехоустойчивость биортогоиальных сигналов выше, чем ортогоиальиых.
Однако при т'я 1 разница в их помехоустойчивости стаиовится пренебрежимо мала. 172 3.4. Различение сигналов Как уже указывалось выше, вычислить вероятность ошибки в т-ичной системе в общем случае нелегко. Позтому на практике часто пользуются верхней границей для вероятности ошибки: Р (4) < '> Р (л ~и)), (3,132) где Р (з ~з,) — вероятность ошибки при передаче сигнала л,(т) в двоичной системе, использующей сигналы л,(г) и л (г).
Оценка (3.132) справедлива для любой системы сигналов и любого канала. Более простой, но менее точной является верхняя граница, определяемая следующим образом: Р < (а — 1)шахР, (л !з,), (3.133) где шах Р, (г (з, ) — максимальная по всем парам 1, т' вероятность ошибки в двоичной системе, использующей сигналы л,(г) и л,(г).
3.4.4. Различение двух сигналов со случайной начальной фазой на фоне белого шума Пусть сигнал на входе приемника имеет вид и(г) = 9з, (б <р,)+(1 — 9)лс (г. ~р,)+ л(т). чальных фаз т сс 1(ирр1 'Ро)— сО ~о ~ос (3,! 34) Усредняя числитель и знаменатель в выражении (3,134) по случайным параметрам яз, и дм получаем безусловное усредненное ОП: 173 где 9 — случайная величина, принимающая значения 1 и 0 с вероятностями р1 и Р0 соответственно; д~ и д0 — начальные фазы, представляющие собой независимые случайные величины, распределенные равномерно на отрезке 1 — я,кБ л(г) — помеха типа белого гауссовского шума со спектральной плотностью мощности Ю /2.
Отношение правдоподобия (ОП) здесь так же, как и в задаче обнаружения сигнала со случайной начальной фазой (см. п. 3.3.5), зависит от на- 3. Основы теории обнаружения и разеинения сигнаеов — ехр( Е1/Фо)1о(221/Уо) ! (и)— ехр( Ео/л/о)1о(2со/Л~о) где 1о() — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка, Ео, Е1— энергии сигналов. Величины 22, /Уо и 22о/Жо совпадают со значением огибающей на выходе согласованных с сигналами в,(г) и в (!) фильтров. В соответствии с критерием максимума апостериорной вероятности решение в пользу сигнала в,(г) принимается, когда ехРИЕо -Е1)/М>) 1о(22~ /Жо) Ро 1о (2е о /.В/о) Р1 1п1о(22) /Уа) 1п1о(22о/Фо) ~ (Е, Ео)/Хо+ 1п(ро/р )=С„(3 135) где Ро, Р~ — веРоатности поЯвлениа сигналов е (!) и в,(!) соответственно. Для симметричного канала ро =р, =0,5, Е, =Е, =Е, порог С, равен нулю, а алгоритм различения принимает вид 1п1о(221/~о) < 1п1о(22о/!1/о).
(3.136) В силу монотонности функции 1п|о() неравенство (3.13б) эквивалентно неравенству ч 2~ <2о (3.137) 174 Оптимальный приемник, алгоритм работы которого описывается формулой (3.137) (рис. 3.27, а), состоит из двух каналов, вычисляющих по принятому колебанию и(г) значения огибающих, сумматора и порогового устройства (ПУ). Каждый из каналов является оптимальным по отношению к соответствующему сигналу и реализуется по схеме, изображенной на рис. 3.10. Возможна реализация приемника на основе корреляторов (рис.3.27, б), где в,(!), !=0,1, — преобразование Гильберта от в,(г). При этом каждый канал представляет собой корреляционный приемник, схема которого показана на рис. 3.9.
Оценим помехоустойчивость различителя, предварительно отметив, что в данном случае для передачи информации нельзя использовать проти- 3.4. Различение сыгналое Рис. 3.27. Структурная схема: а — фильтрового оптимального различителя двух сигналов со случайными начальными фазами; б — корреляционного оптимального различителя двух сигналов со случайными начальными фазами ~ з~ (г)зз(г)с(г = ~ з1 (г)зз(г)стг = О, (3.133) 175 воположные сигналы, отличаюшиеся сдвигом фаз на л, так как при случайной начальной фазе такие сигналы будут неразличимы. Обычно применяют ортогональные в усиленном смысле и амплитудно-манипулированные сигналы. Рассмотрим сначала случай, когда используются ортогональные в усиленном смысле сигналы. Для таких сигналов справедливы соотношения 3. Основы теории обнаружения и различения сигналов где ез(г) — преобразование Гильберта от ез(г). Примером таких сигналов явшвотсяЧМсигналы ео(/) ыЯосоз(озог+ср), е1(г)=Косов(оз,г+ср), где гр— произвольная начальная фаза, а частоты оз~ и ае удовлетворяют соотношениям а, ы2х/е,/Т, оз =2л/со/Т; й, и яе — натуральные числа.
Характерная особенность ортогональных в усиленном смысле сигналов состоит в следующем: если на вход согласованного фильтра, настроенного на сигнал ео(г), подать сигнал е,(г), то значение огибающей выходного напряжения в момент г = Т равно нулю. Исследования показывают, что ортогональные в усиленном смысле сигналы с активной паузой обеспечивают в канале с неопределенной фазой и алднтивной гауссовской помехой минимальную вероятность ошибки, т. е.
являются оптимальными для указанных условий. Положим, что р, =ро, Е, =Е =Е. Пустьдля определенности передается сигнал е,(г). Тогда с учетом алгоритма (3.137) ошибка возникает, если выполняется неравенство Е > Е, или (3.! 39) 'Ъ «'Ь где и, =Е,/о, /=О,1, — относительное значение огибающей. Можно показать, что в рассматриваемом случае случайные величины Ее и Уь а следовательно, ие и и, независимы [23]. Поэтому с учетом неравенства (3.139) вероятность ошибки при передаче е,(г) имеет вид О Ю О О Ры(ею) = ~А1 )зег('~ "о)йо = )зе(и,) ~зе(ио)атос/и,.
(3.140) о о Учитывая, что огибающие ие и и~ распределены по закону Рэлея (3.86) и Райса (3.87) соответственно, находим Введем новую переменную и= /2ю, и вынесем за знак интеграла множитель ехр( — Е/(2Ф )), Тогда 176 3.4. Различение сигналов Подынтегральное выражение в (3.141) представляет собой распределение Райса, а следовательно, интеграл равен 1. Таким образом, Р, (з,) =0,5ехр( — Е/(2/Ув)).
Учитывая симметричность канала, вероятность ошибки при передаче сигнала зв(г) Рош (зо) = Рош (з1 ) = 0 5ехр( — Е/(2Мо)) Соответственно, средняя вероятность ошибки Р, = 0,5ехр(-Е/(2/Ур)). (3.142) На рис. 3.22 (штриховая линия — ЧМ) показана зависимость Р от отношения Е//Ув, вычисленная по формуле (3.142). Анализ показывает, что некогерентный прием ортогональных сигналов дает небольшой энергетический проигрыш по сравнению с когерентным приемом. При малых вероятностях ошибки Р =10 он не превышает 1 дБ [231. Рассмотрим случай, когда используются амплитудно-манипулированные сигналы.
В данном случае Мг) ов соя(взог+ ср) зв(г) = О, 1 ] ро р Рош = — (Рош(з~)+Рош('о))= — ~зе(з1/з~)ей~+ ~зе(ив!зо)с/ио (3143) о ро где и~ и ио — относительные значения огибающих напряжений на выходе оптимального приемника в момент времени г = Т при передаче сигналов 177 где начальная фаза р является случайной величиной, распределенной равномеРно на отРезке 1 — л, л).
По-пРежнемУ полагаем, что Рв = Р,. Решение принимается на основе сравнения значения огибающей Л сигнала на выходе оптимального приемника (например, согласованного фильтра, настроенного на сигнал з,(г)) с некоторым порогом (/„. При превышении порога принимается решение в пользу сигнала з,(г), в противном случае — в пользу з (г).
Средняя вероятность ошибки имеет вид 3. Основы теории обнаружения и различения сигналов в,(г) и зо(г) соответственно, хо = У„ /и — нормированный порог. Величина и, распределена по закону Райса (3.87), а ио — по закону Рэлея (3.86). Подставляя распределения огибающих у, и ио в (3.143), получаем Р =- ~~,ехр — ' о 1о — у, с/у, +ехр — о . (3.144) Оптимальное значение порога го находится из условия минимизации вероятности ошибки (3.144). Взяв производную ЙР /с(го и приравняв ее нулю, имеем гоехР— о+ о 1о хо -гоехР о 0 или после упрощений (3.145) 1о — го — — ехр— 12Е 1 Е Логарифмируя соотношение (3.145), получим 1п1о ~ — хо! = —. /1/о /1/о Учитывая, что х, хв 1, 1п1,(х) = хз/4, х~1, находим ~ Е/2Ио при больших отношениях сигнал — шум, хоои (3.146) /2 при малых отношениях сигнал — шум.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
