Сосулин Ю.Г. Теоретические основы радиолокации и радионавигации (1992) (1151790), страница 17
Текст из файла (страница 17)
В результате получим дифференциальное уравнение для логарифма отношения правдоподобия а(1) = уо (1) зо (1) (за (6) э 2оох 4оох (2.102) где Уо(г) У(г)+хУ(г) (2.103) з, (Ю) = з (1) + х з (1). (2.104) Решение уравнения (102) с учетом начального условия з(0) = =0: т г з (7 ) = о,) уо (г) зо (г) о(1 — о,) зо (г) пг 2оо" о 4оо" о (2.105) Рассмотрим обнаружитель, фор|мирующий достаточную статист тику г= )' уо(1)зо(1)о(1 и сравнивающий ее с порогом (рис. 2.23). о Напряжение на пороговое устройство ПУ поступает с выхода согласованного фильтра СФ, импульсная характеристика которого Ь(1) =з,(Т вЂ” 2). Вместо этого фильтра можно использовать также коррелятор с опорным колебанием в виде преобразованного полезного сигнала зо'(1) (104). Перед согласованным фильтро~м (коррелятором) имеется устройство ОБФ, преобразующее наблюдаемый процесс (97) в процесс уо(1) (103). Подставляя (97) в (103): Уо(г)=дз(()+Ч(1)+хдз(1)+хт1(1) и учитывая (99), (104), получаем уо(1) =бзо(4)+ь(1), где ь(1) — белый шум.
Следовательно, устройство ОБФ осуществляет деяорреляо(ию помехи, преобразуя коррелнрованный процесс т1(1) в некоррел~нрованный ~(1) (дельтакоррелированный). Иначе говоря, ОБФ является обеляюп(им фильтром, приводящим «небелый» шум к белому. Отметим, что к таким же выводам можно, прийти, сравнивая (105) с (43). Из этого сравнения видно, что выражение (105) определяет логарифм отношения правдоподобия в задаче обнаружения детерминированного сигнала зо(1) на фоне белого шума (со спектральной плотностью 2о'ох) при наблюдении процесса Уо(г). Итак, оптимальный обнаружитель детерминированного сигнала з(г),на фоне экспоненциально-коррелированной гауссовской помехи включает в себя обеляющий и согласованный фильтры (рис. 2 23), при этом последний согласован с преобразованным сигна.
лом зо(1). Можно показать 163), что построение обнаружителя 81 Рис. 2.23. Структурная схема ьптимального оонаружителя детерминироаанного сигнала на фоне коррелиронанной гауссовской помехи Рис, 2.24. Структурная схема ооеляющего филь- тра детерминированного сигнала по схеме на рис. 2.23 оптимально при любой гауссовской коррелированной пгхмехе (а не только прн экопоненциально-асаррелированной). Корреляционная функция или же связанная с ией спектральная плотность помехи Определяют структуру обеляющего фильтра. Применительно к экспоненциально-коррелцрованной помехе обеляющий фильтр согласно (103) реализуется схемой на рис.
2.24. Она состоит из устройства дифференцирования, усилителя с коэффициентом усиления и и сумматора. Что же касается характеристик обнаружения детерминирован. наго сигнала з(г) в коррелированной гауссовской помехе, то они, очевидно, совпадают с характеристиками обнаружения преобразованного детерминированного сигнала зе(1) в белом шуме; спектральная плотность последнего в случае экопоненциально-коррелировжнной помехи 2п'ем =я/2. Оптимальный линейный фильтр.
Рассмотрим теперь задачу опти~мизации обработки сигналов на фоне коррелированных помех с иных позиций: найдем структуру линейного фильтра, максимизирующего отношение сигнал-шум иа выходе, цри этом ограничений на распределение вероятностей помехи накладывать не будем. Пусть поступаняций на вход фильтра с коэффициентом передачи К()ю) процесс имеет вид у(() =з(()+п(1), где з(1) — детерминированный сигнал со спектральной плотностью г' () от) = — )' з (1) ехр ( — ) го г) с((, <» а Ч(() — помеха, являющаяся стационарным случайным процес- сом со спектральной плотностью 6,(еа), Так как фильтр линейный, то на его выходе имеем аддитивиую смесь сигнала и шума уаых(г) =Бвых(Г)+т1амх (Г), При ЭТОМ ь,„, (г) = — )' К () от) г () ю) ехр () от г) с( от, 2я В2 Ю Мп' (1)= — ) ~К()а)Ра(а) (а Отношение сигнал-шум по мощности на выходе фильтра в момент времени (о К (1 в) во (1 а) ехр И в ~о) Н в ввых ( о) М Чвых (во) %()в) Р 6(в) На Это отношение, как видим, при заданных спектральных плотностях сигнала и помехи зависит только от коэффициента передачи фильтра К()а).
Для нахождения коэффициента передачи оптимального фильтРа Квв()в), ма~ксимизиРУющего отношение сигнал-шум д, воспользуемся неравенством Коши — Буняковского во в ~() ) ~р() ) е( ( ~ Ц(1 )(ода (' (ор()в)(ода. (2.106) вв в О Имеем ! К() в) Р()а) ехр() а(,) е(в = )' К()в) х О х ~/'б (в) ехр (1 а 1») (' в) о(а Рб()в) ( )' (К ()а))2 6 (а) (а )' ~~0 в)~ ~а 6 (в) Отсюда получаем ! )' К и в) Г (1 а) ехр (1 в 10) и в О < „1Е0вП а, 6 (в) () в)~в6(а) ы'а — вв следовательно, (2.107) 2и 6(в) Максимальное значение отношения сигнал-шум д,„достигается тогда, когда неравенство Коши — Буняковского (106) переходит в равенство, т. е.
когда 1()а) =ср*()а), где с — сопз(. Это условие и дает уравнение для определения коэффициента передачи оптимального фильтра 83 К,, (1 в) 1/ 6 (о ехр (1 в (о) = с (Р* (1 о)/)~ 6(в)), откуда К„, (1 о) = с (Р* (1 в)!6 (о)) ехр ( — 1 о 1,). (2.108) Полагая 6(в) =сонэ(, находим коэффициент передачи опти|мального (согласованного) фильтра при белом шуме К„, (1 в) = сопз1 г* (1 в) ехр ( — )о 1,). Отметим, что аналогичный резулнтат (при белом гауссовском шуме) был получен ранее иным методом (см. (48)). Согласно формуле (108) оптимальный фильтр пропускает соста~вляющие частотного спектра тем в большей степени, чем больше амплитуда составляющих сигнала и меньше интенсивноать помех.
Чтебы полнее выявить физический смысл обработки, осуществляемой оптимальным фильтром, предста~зим его в виде последовательного соединения двух линейных фильтров с коэффициентами передачи К1()в) и Ко()в) соответственно, при этом Ко (1 о) = К1 () о) Ко ~1 в). (2. 109) Положим ! К (1 в) ~ = сопз1/~/6 (в), (2.110) тогда из (108) — (110) получаем К, (1 в) = сопз( (Ро (1 в) ф'6 (в)) ехр ( — 1 в 1,). (2.! 11) Фильтр с амплитудно-частотной характеристикой (110) является обеляющим, так как прошедший через него шум имеет постоянную спектральную плотность, а фильтр с коэффициентом передачи (111) согласован с полезным сигналом, про~шедшим через обеляющий фильтр.
Обеляющий фильтр согласно (110) подавляет спектральные составляющие помехи и формирует на выходе белый шум, а согласованный фильтр наилучшим образом (~в смысле максимума отношения сигнал-шу|м) выделяет сигнал на фоне белого шума. Итак, оптимальный линейный фильтр можно представить в виде последовательно соединенных обеляющего и согласованного фильтров. Напомним, что именно такая комбинация фильтров имеется в оптимальном обнаружи|теле сигнала на фоне кпррелированных помех (~см.
рис. 2.23). Подчеркнем, что обнаружитель на рис. 2.23 является оптимальным при обнаружении детерминированного сигнала 'на фоне коррелированных гауссовских помех. Если же помеха негауссовская, то этот обнаружитель уже не будет «абсолютно» оптимальным. Однако, как ясно из предыдущего, он будет все же опти- 84 мальныы п кла!ссе обнаружителей„в ко!горых фильтрация наблюдаемого процесса осущеспвляется линейным фильтром. Отметим, что в обна!ружителях квазидетер~минированных сигналов на фоне коррелированных помех также используется оптимальный фильтр, состоящий из обеляющего и согласованного фильтров. Если обрабатывается пачка радиоимпульсов, то оптимальный фильтр можно разбить на три последовательно соединенных фильтра: согласованный с одиночным радкоим~пульсом фильтр, синхронный накопитель (гребенчатый фильтр накопле.
ния), обеляющий фильтр (гребенчатый фильтр подавления). Так как эти фильтры являются линейными, то последовательность их включения может быть любой. Обеляющие фильпры применяют, в частности, для подавления пассивных помех при решении задач СДЦ. Квазиоптимальным приближением к гребенчатому фильтру подавления, осуществляющему обеление помех, может служить упомянутая при обсуждении рис.
2.22,б схема ЧПК. 2.8. ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ НЕГАУССОВСКИХ ПОМЕХ Как уже отмечалось, на практике имеется множество ситуаций, когда помехи являются существенно негауосовскими (см. 5 2.6). Использование в этих ситуациях системы обработки сигналов, оптимизированной под гауссовскую помеху, приведет, очевидно, к неоптимальному результату.
Поэтому интересно выяснить, какова же будет структура оптимального обнаружителя в случае негауссовоких помех. Рассмотрим вначале задачу обнаружения детерминированного сигнала з(1») е к» на фоне помехи С» с независимыми значениями, описываемыми плотностью вероятностей ш»(~»), при наблюдении в дискретном времени процесса У» = т) з» + ь», 6 = О, 1; Й = 1, 2, ..., и Оптимальный обнаружитель должен формировать отношенип правдоподобия !! и А= П ш»(р — з») ( П ьЬ) »=! »=! Не конкретизируя пока распределение помехи шы проведем не- которые преобразования отношения правдоподобия, которые поз- волят дать наглядную интерпретацию оптимальной обработки, зб Прежде всего перейдем к логарифму отношения правдоподобия л г = 1п Л = ~ (1и шь (ух — з„) — 1и пь (ух)).
(2.112) А-! Далее разложим 1пма(ух — зх) в степенной ряд: в ( |)! 1пша(ух — зь) =1пва(у„)+ "~~ з' —. 1ппЬ(ух). и 'да,' 'Подставляя это выражение в (112), получаем и » ( |)| л! к ~ з! —, 1пю (у„). ь=:! |=! и Ал (2.113) (2. 114) (2.115) Обозначив 1|(ух) = —,. 1п пь(уь), ( — |)' !'! лу' перепишем (113) в виде О г = ~ г|, |=! л где г! = Х 1 (ух) з||,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
