Радиоэлектронные системы Основы построения и теория. Справочник . Под ред. Я.Д. Ширмана (2007) (1151789), страница 108
Текст из файла (страница 108)
Отношение правдоподобия. Так называют отношение условных плотностей вероятностей как функций одной и той же принятой реализации у при условиях наличия сигнала и помехи и только помехи 1(у) р<а(у)!Ро(у). (16.12) Отношение (16.12) влияет на знак множителя [...] в выражении (16.11), а значит, и на выбор оптимальной решающей функции. Большие значения (16.12) характеризуют правдоподобность гипотезы о наличии сигнала, Оптимальное решающее правило. Согласно результату оптимизации (16.11) ему можно придать вид ! ! 1(У) — (О О 1() 1 (16.13) Функциональный предел отношения правдоподобия.
При стремящемся к нулю интервале дискретизации предел отношения правдоподобия 1пп [р,„(у)(р„(у)]=([у(г)] (16.14) ас-+о А =(!.0) оказывается функционалом от принятой дискретной выборки колебания у(г). В математике функционалом называют величину, зависящую от функции. Здесь идет речь о функции у(<), описывающей принятое колебание. Функциональный предел отношения правдоподобия условимся также называть отношением правдоподобия. Достаточные статистики и алгоритмы двухальтернативного обнаружения. Наряду с отношениями правдоподобия 1 вводятся их монотонно нарастающие функйии в(() (например, функции в(()= !и ((). Оптимизация обнаружения не нарушается, если решающая функция А выбирается в результате сравнения функции в(() со своим порогом хо = в((0) (рис.
16.2). Функции х(() указанного ви- о да несут информацию, доста- 1 точную для принятия опти- А=1 ! мального решения. Их называют поэтому достаточными 0 А=О (о ( статистикачи. Хотя любая Рис. 16.2 достаточная статистика обеспечивает оптимальное обнаружение, технически целесообразны наиболее простые и удобные для реализации достаточные статистики. Алгоритмы аптичачьнага обнаружения сводятся, таким образом, к вычислению отобранных из этих соображений достаточных статистик и сравнению их с порогом. Структурная схема двухальтернативного оптимального обнаружителя. Принимает вид рис. 16.3,а.
На вход обнаружителя поступает векторная реа- у лнзация у (или соответ- Ну ствующая ей функция а) времени). Утолщеиньсе г нО (двойные) линии со Ну Г!у стрелками показьвают б) „Ы „, А(! = ! цо) подачу векторных величин. Вычислитель- Рис. 16.3 нос устройство ВУ определяет достаточную статистику х(у) = в[1(у)], которая сопоставляется с порогом ло. В зависимости от превышения иви непревышения порога принимается решение А = 1 («да») или А = О («нет»). Критерий Неймана-Пирсона.
Требование ограничения условной вероятности Е < ЕО = Ел»ого< приводит к небайесовскому критерию Неймана — Е(ирвина (см. также разд. 15.2.2), Оптимальный обнаружитель обеспечивает согласно этому критерию условную вероятность правитьнаго обнаружения О, наибольшую иэ всех абнаружителвй, условная вероятность ложной тревоги Е капсарых не превышает заданной Ео.
Видоизменения критерия Неймана — Пирсона с учетом мешающих параметров рассматривались в разд. 15.2.2. Варианты выбора порога. Для выбора порога (рис. 16.3,а) чаше всего используют критерий Неймана- Пирсона, т.е. его выбиршот по допустимому уровню условной вероятности ложной тревоги Е, в элементе разрешения (разд.16.1.1). При этом ° отпадает необходимость уточнять значения неизвестных практически величин, входящих в (16.7); ° облегчается настройка и контроль качества РЛС.
достаточно проводить их по одному типу целей. Между тем, произвол выбора уровня ложной тревоги оставляет определенное неудовлетворение. Для конкретных типов целей можно увеличить дальность обнаружения, допуская повышенное число ложных тревог в отдельном кольце или секторе дальностей за счет сокращения числа ложных тревог на меньших дальностях или больших отношениях сигнал-помеха [2.151]. Однако полный отказ от использования критерия Неймана-Пирсона вызвал бы пока затруднения в многоцелевых ситуациях, требуя дополнительной многоканальности. Выходом из этого положения в конкретных РЛС является применяемая дифференциация уровня порога во по зонам.
Отказ от принятия илн принятие подобных мер принадлежат к числу технических решений конструкторов и заказчиков каждой РЛС. 16.1.3. Оптииизация показателей качества трекальтернатиеноао обнаружения Предусматривает ограничение как ошибок пропуска цели и ложной тревоги, так и решений «не знаю», требующих дополнительных зондирований и вычислений. Оптимизация решения связана с вычислением отношения правдоподобия 1 = 1(у) или его монотонно нарастающей функции — достаточной статистики в= в((). Отношение правдоподобия! сравнивают, однако, не с одним, а с двух<я порагаии: а и Ь > а. Если! < а или х(1) < л(а), принимают решение «нет».
Если 1 > Ь или х(() > в(Ь), принимают решение двь Если а < (< Ь или в(а) < в(() < л(Ь), принимают решение «не знаю» (рис. 16.3,6). Обоснование такой оптимизации приводится ниже, исходя из критерия минимума условного среднего риска, т.е. среднего риска после приема реализации у. Условный средний риск трехальтернативного обнаружения. Пусть наряду со стоимостями ошибок пропуска и ложной тревоги гш и гш введены стоимости решений <<не знаю» при наличии и отсутствии цели гн! < гО! и гнО < гсО.
Пусть вводятся также решающие функчии Ау) и А'„(у) . Они равны единице: в области решения «д໠— первая; в области решения «не знаю» — вторая. Эти области не 23! "(у) = го~ 4о(у)! И)рпп(у)+ Ь=О1Е и а=Б1Е. Здесь 0 2 4 6 810!г 61 Рис. 16.4 а Ь) = )!рп(1) 41, ,2,2 ))1 Уг Уп 2а~ 2а, а 2 г 2 2 Е = ) Р п Я ь!! Ь и Е= (р„(!)Ы1. 232 перекрываются.
За пределами своей единичной области каждая решающая функция равна нулю. Решение «нет» соответствует решающей функции Ао(у) = (1 — Ан(у)П!- А(у)): обращающейся в единицу в области этого решения и равной нулю вне ее. Выражение условного среднего риска для принятой реализации у имеет вид + гюА(у)Р(Ао)рп(у)+ (16, 15) + гн!Ан(у)~ И)рпп(у)+гноАн(у)Р(Ао)рп(у) Отношение г(у) к произведению го!Р(А!)Рп(у) является нормированны.и утовны.и среднии риском О(1,А,Ан) =(1 — Ан)О А)!+!0А +(!!1ь!г) 4».
(16 16) 4 = '4(у) '4н Ан(у) ' 11 < 1 го! гно' ('40) 1г = "0 <10. Решениям «нет» (А = О, А„= 0), Р(А ) «не знаю» (А = О, А„= 1) и «да»(А =1, А„=1) соответствуют прямолинейные зависимости (рис. 16.4,а) нормированного условного среднего риска от 1=1(у) со- ответственно ЕЯ О, О) = 1, ВЯ О, 1) = 1,1+ 1,, ОЯ 1, О) = 10.
Первая прямая пересекается со второй в точке 1 = 1г!(1 — !!) = а, а вторая с третьей — в точке 1 = = (!0 — 1г)В! = Ь. Наименьший условный средний риск соответствует утолщенной ломаной линии. Принимается решение «иет» прн 1 < а, решение «не знаю» — при а < 1 < Ь, решение «д໠— при 1 > Ь.
После перехода к достаточной статистике в = вЯ полученное правило соответствует схеме рис. 16.4,6. Одноцелевой последовательный анализ. Многошаговые к = 1, 2, ... процессы достижения на к-м шаге достаточной статистики 1к верхнего порога Ь при наличии цели и достижения нижнего порога а при ее отсутствии поясняются на рис. 16.4,6. Для описания некоторых особенностей миогошаговых процессов полезны сходные с (16.10) соотношения; Они базируются на предположении, что в многомерном координатном пространстве у проведены гиперповерхности !(У) = сопи и 1+ г!1 = сопя!.
Результаты интегрирования условных плотностей вероятности рп(у) и 1рп(у) = = р,п(у) по элементам д!гу объема );„заключенным между этими двумя гиперповерхностями, обозначаются соответственно р»Яа1 и 1рпЯЙ. В некоторых случаях вводят модель обнаружения с асимптотнчески большим числом последовательных шагов. Для этой модели — при достижении верхнего порога 1 = Ь, а при достижении нижнего порога 1 = а. Поэтому справедливы формулы Вальда: О=ЬЕ н Б=ар. Многоцелевой последовательный анализ. Пересечением нижнего и верхнего порогов зависимостями !ь для различных разрешаемых объемов ! обычно происходит неодновременно. Возможны различные процедуры принятия оканчапнвпьнык решений: ° неодновременное, независимое.
Процедура заканчивается, когда решения будут приняты для всех разрешаемых объемов; ° одновременное для всех разрешаемых объемов, когда для всех них произойдет превышение порогов; ° не более заданного числа шагов. На последнем шаге принимается двухальтернативное решение. Чем больше число разрешаемых объемов, тем меньше выигрыш от последовательных процедур. Процедуры с одновременным принятием окончательных решений более экономичны, так как полнее используют энергию принятого сигнала (1.74). Процедуры с ограниченным числом шагов (двух- этапные, например) предотвращают затягивание последовательного обнаружения.
16.2. Корреляционное обнаружение когереитиых сигналов иа фоне иекоррелироваииых стационарных гауссовских помех 16.2.1. Обнаружение сигнала с полностью известными параметрами Абстрагирование от случайных параметров сигнала упрощает уяснение особенностей обработки. Результаты анализа используются при случайных неинформативных параметрах сигнала (разд. 16.2.2 и 16.4).
Достаточные статистики. Пусть принимаемое колебание преобразовано в выборку отсчетов у! Уг, ..., Уп, (иначе, в вектор у). Прн независимых отсчетах помехи числитель и знаменатель отношения правдоподобия (16.12) заменяются произведениями одномерных гауссовских плотностей вероятности (13.18); (У1 к!) (Уг кг) (У кп) 2а1 2аг хр) у(~) = пц) ммвМФм, чА~Мр(й~; И!ххй) =- ~ Ох(йч-х'(!) у(г)х(!) = п(з)х(з) Ф+Ф~г, Э=в ~=)х (х)ав о Э хо 0 тн ~ „, =)п(х)х(х)дв о хо 0 тн 1 Рис. 16.6 ! «0> ч по1 а) б) Рис. 16.5 Найденные значения дисперсии и математических ожиданий определяют гауссовские кривые плотностей вероятности (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
