Радиоэлектронные системы Основы построения и теория. Справочник . Под ред. Я.Д. Ширмана (2007) (1151789), страница 105
Текст из файла (страница 105)
Задачи неадаптивного н адаптивного разрешения сигналов. В отличие от ряда рассмотренных — это тногосигнальные (в общем случае) задачи. Для их описания можно использовать выражение (! 5.5) у(г) = ,'~ Ах,(дгз,,!3)+п(ду), 1 полагая, что более чем один из коэффициентов А, может быль равен единице. Коэффициенты А, оцениваются при известных информативных параметрах в случае неадаптивнага разрешения-обнаружения. Прн этом выявляются случаи сверхрепеевскаго разрешения (см. разд. 18.10), причем простейшими методами. Наряду с этим возможно и сверхрвлеевское разрешение — измерение (см, разд, 21, 25). Адаптация требуется при неопределенности условий разрешения.
16.2. Методы и критерии безусловной оптимизации статистических решений Методы постановки н критерии безусловной (см. разд. 14.2.1) оптимизации рассматриваемых задач (разд. ! 5.2.1-15.2.3) можно условно разбить на: ° байесовские (параметрические); ° небайесовские (параметрнческие); ° непараметрнческие; ° адаптивные и робастные. Первые три метода (критерня) рассматриваются в данном разделе и развиваются в разд. !6-17, 20 — 25. Читатель, заинтересованный в инженерных приложениях более, чем в вопросах методики, может опустить разд. 15,2-15.3, возвращаясь к ннм после ссылок. 16.2.1.
Байесоеские методы и критерии Эти методы и критерии допускают введение даопытных (аириорных) вероятностей Р(А«) событий Аа хотя указание их конкретных значений может вызывать затруднения. При классификации и обнаружении широко используются также усповные вероятности Р(А,~Аг) принятия решения о некотором (-и событии А, при условии, что в действительности произошло к-е событие Аь Случай ( = (г соответствует правильному, а случаи 1 ы (г — ошибочным решениям классификации.
Введение условных вероятностей решений н доопьггных вероятностей условий позволяет перейти к вероятностям сааиещения решений и усповий; Р(А„А„) = Р(А, ) А!0 Р(А«). Случай двухальтернативной классификации М = 2 («шум» нли «сигнал+ шум») подробнее рассматривается в разд.
16.1 в качестве обнаружения сигнала. Вырожденный, в определенной мере, случай бесконечно- альтернативной классификации М-+ пе рассматривается в разд. 20.2 как измерение непрерывного параметра а. Общий случай распознавания М гипотез обсуждается ниже в этом разделе, а также в разд. 24. Критерий мнннмума среднего риска. Основан на введении неотрицательных стоимостей ущерба (штрафов) га за неправильные решения (1 ы к ). За правильные решения штраф задается отрицательным (премия) или нулевым. С учетом (15.6) вводится средний риск (средний штраф, средняя стоимость) ущерба одного решения г = М(г) =Я гаР(А„АЛ) =ЯДР(А,~Аг)Р(АЗ). (15.7) чл чь Опти.иизация заключается в минимизации среднего риска (! 5,7).
Средний риск (15.7) является разновидностью целевой функции потерь (14.4). Детерминированные (нерандомизированные) решения. В отличие от случайных (рандомизированных) решений для каждой реализации помехи н сигнала (или же только помехи) принимаются однозначно (не наугад).
Описываются заранее выбранными решающими функциями А,(у), принимаюшими значения ! нли 0 и разбивающими многомерное пространство у на непересекающиеся области. В 1-ой области только одно значе- ниеА,(у) равно единице, остальные А,(у) прн к ы 1 равны нулю. Элементы «лотереи» после приема случайной выборки у исключаются. Оптимизации разбиения пространства у на области по критерию минимума среднего риска.
Выражение среднего риска (15.7) зависит от условных вероятностей принятия решений Р(А,!АЗ), иначе от условных вероятностей попадания реапизации сигнала с номером 1 в к-ю область разбиения: Р(А,~Аг) = (рг(у)А,(у)Ы)г . (15.8) гз Здесь рз(у) = р(у!)г) — условная плотность вероятности реализации у прн действии помехи и )г-го сигнала; )у— многомерный пространство возможных реализаций у. Интегрирование в (!5.8) формально ведется по всему многомерному пространству у, но из него фактически исключаются области, где А,(у) = О.
В оставшейся части пространства А,(у) = 1 интегрируется плотность вероятности рз(у). Если сигнал н аддитивная помеха характеризуются неинформативнымн параметрами )3, у, а их распределение описывается плотностью вероятности р((3, у), то рп(у) = ) рп(у!),у)р(!),у)АЛК„(!5 9) вл Здесьрз(у~)),у) =р(у!к,)),у) — условная плотность вероятности параметра у прн условиях действия (г-го сигнала и принятия значений !3 и у неинформативными параметрами сигнала и аддитивной помехи. Ы51 226 Критерий минимума условного среднего риска. Под условным средним риском г( А, ! у) будем здесь по- нимать средний риск вынесения решения А, после приема конкретной реализации у.
Средний риск, определяемый соотношениями (15.7) и (15.8), выражается через условный средний риск г = ~> г»Р(А») ) А,(у)р»(у)»1Ру = г, = ~ ]г(А,/у)р(у)аг;,, (15.10) г и причем равенство (15.10) удовлетворяется при перемене порядка интегрирования и суммирования в левой части равенства. Сопоставляя затем подынтегральные выражения в правой и левой частях равенства, можно доопределить условный средний риск выражением г(А, !у)р(у) =~0»Р(А»)р»(у) .
(15.11) Минимизация среднего риска (15.10) сведена тем самым к минимизации условного среднего риска для каждого конкретной реализации у. После приема этой реализации нет необходимости вычислять средний риск для других реализаций. Полупростые и простые стоимости классификации. Спгоичости кпассификации можно назвать полу- простыми, если гл = — »; при)=й и»;у, =0 при!к й (15.12) Это соответствует выплате дифференцированных премий г, за правильные решения вместо назначения дифференцированных штрафов за неправильные решения. Если премии не дифференцированы г, = го, то стоимости называют простыми. Уже при полупростых стоимостях классификации выражение условного среднего риска (15.11) существенно упрощается: г(А,!у) =-г,Р(А,)р,(у)/ р(у).
Оптимальным оказывается отнесение сигнала к классу ! =1 с наибольшим произведением гР(А,)р,(у)=тах при»=! или, в силу монотонности логарифмической функции, наибольшим по переменной ! логарифмом этого произведения является !яр(у) » 1п[гР(А )] = шах при(=»' . (15.13) Иначе, в явной форме записи г' = агб тах [)п р,(у) м 1п[г, Р(А,)]]. (15.13а) Критерий максимума правдоподобия реализации у. Для простых стоимостей классификации г, = гв и равновероятного появления обьекгов распознавания Р(А ) = сопл! зависимости (15.13) и (15.13а) сводятся к критерию максимума правдоподобия реазизации у или, что эквивалентно, ее логарифма.
Иначе, р,(у) = тах при /= »» или » = аг8 тах [р,(у)] = агб тах [1и р,(у)]. (15.14) Послеопытные вероятности классифицируемых событий. Разбивая многомерное пространство у на одинаковые малые не перекрывающиеся объемы Ь!гу, вероятность совчещения события А» и события попа- дания реализации у в обьеч Л Г„определим как Р(А», у) = Р(А» ! у) Р(у) = Р(у, А») = Р(у ! А») Р(А»), откуда послеопытная плотность вероятности события А» составит Р(А» ! у) = Р~у ! Ал) Р(А»)! Р(у). Вероятность Р(у ! А») попадания реализации у в вы- деленный объем Лру при условии наличия к-го события сводится к произведению соответствующей условной плотности вероятности на объем Р(у ! Ал) = р(у ! й) Лгу = р»(у) А и, Аналогичная безусловная вероятность по формуле полной вероятности от к не зависит: Р(у) = 2.
Р(у!А )Р(А ) = „'~ р„(у)Р(А ) А~,. » Послеопытная вероятность события А» составит Р(А» ! у) = р»(у) Р(А») l~ р»(у)Р(А»). (15.15) Отыскание апостериорно наиболее вероятного из априорно равновероятных событий приводит вновь к критерию максимума послеопытной вероятности реали- заций (15.15), но без введения премий нли штрафов. Минимаксный байесовский критерий.
Рассчитан на случай, когда принятие допущений об априорных ве- роятностях Р(А») появления классифицируемых объек- тов, а в ряде случаев и о других неинформативных пара- метрах (о плотностях вероятности в выражении (!5.9), вызывает затруднения. Поэтому оптимизация проводится при наиболее неблагоприятных («самых плохихя) допу- щениях, максимизирующих средний риск. О переходе к оцениванию непрерывных пара- метров. Выше оценивался дискретный параметр Аь Увеличивая число градаций, можно перейти в пределе к оцениванию (измерению) непрерывного параметра а и вектора параметров а (разд. 20.2). уб.2.2.
Небайесоеские методы и критерии Эти.четоды и критерии форл»ально не допускают введения даопытных (априорных) вероятностей Р(А») событий А». Условные же вероятности Р(А, ! А») пра- вильных и неправильных решений оказываются при этом своеобразными показателями несовершенства или качества системы. Возможна, например, максимизация вероятностей правильных решений Р( А» ! А») при огра- ничении вероятностей ложных решений Р( А, ! А»), / и й согласно критерию предпочтения (14.6). Критерий Неймана-Пирсона.
Относится к двух- альтернативным решениям, например об обнаружении (наличии или отсутствии) локационной цели в заданном участке пространства. Решение считают оптимальным, если при отсутствии цели и ограниченной сверху вероятности ложной тревоги Р = 1'(.41!Ал) и Рпоп минимизируется вероятность пропуска цели: 226 Б = Р(Аь )А, ) = ппп, т.е. максимизируется вероятность правильного обнаружения (мощность критерия) 2) = Р(А,!А,) =злах. Критерий связан с критериями оптимизация при наличии ограничений разд. 15.3. С байесовских позиций он развивается в разд.
16 и 17 Равномерно наиболее мощный критерий обнаружения. Часто требуют, чтобы при Е([3, у) <Едь„значение Б минимизировалось для любых [3, у. Если удается обеспечить наименьшее О, не зависящее от [3, у, при котором Е([3, у), не превышает не зависящую от [3, у величину Рдо„, говорят о равномерно наиболее мощном критерии [0.30, 1.51]. Минимаксный небайесовский критерий. Рассчитан на учет наиболее неблагоприятных мешающих параметров[3, у. В отличие от байесовского минимаксного критерия, здесь оптимизируется не средний риск, а некоторый небайесовский показатель качества при наложении ограничений на остальные показатели.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
