Диссертация (1150857), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Используя наборы функций (, ) и (, ) , опе^ратор Ψ(,) можно разложить следующим образом:^Ψ(,) =∑︁^(in) (+) (, ) +∑︁(in) † (+)^ (, ),(2.5)(out) † (−)^ (, ).(2.6)<>^Ψ(,) =∑︁^(out) (−) (, ) +∑︁<>Здесь уровень Ферми представляет собой границу между запол-ненными отрицательно-энергетическими и вакантными положительно(in)энергетическими состояниями ( = − 2 ), ^(in) †жения электронов, ^(out) †и ^(out)и ^– операторы уничто-– операторы рождения дырок (позитронов).Они удовлетворяют стандартным антикоммутационным соотношениям:(in)(in)†(in)(in)†{^ , ^ } = {^ , ^ } = ,(out)(out)†(out)(out)†{^ , ^} = {^ , ^} = ,(2.7)(остальные антикоммутаторы равны нулю) и действуют на вакуумные состояния следующим образом:^(in) |0, in⟩ = 0,^(out) |0, out⟩ = 0>(2.8)(in)^ |0, in⟩ = 0,(out)^ |0, out⟩ = 0 < .(2.9)иНеобходимо отметить, что эти операторы соответствуют физическим частицам только в моменты времени in и out , соответственно.— 61 —Из уравнений (2.5) и (2.6) получим следующие выражения:^(out)∫︁=3(−)†^ (, )Ψ(,)=∑︁^(in) +(︂∫︁=3)︂†(−)†^ (, )Ψ(,)= > ,(2.10)<>(out)^(in)†^ ∑︁∑︁^(in)† * +∑︁(in)^ * < , (2.11)<>где∫︁ () =(−)†3 (+)(2.12)(, ) (, ) = – одноэлектронные амплитуды перехода, которые не зависят от времени, так(+)(−)как (, ) и (, ) являются решениями уравнения (2.1).Таккакпредполагается,отрицательно-энергетическийчтовначальныйконтинууммоментполностьювременизаполнен,аinвсеположительно-энергетические состояния вакантны, система описывается вектором |0, in⟩.
Операторы в свою очередь должны соответствоватьмоменту out , когда происходит измерение.Применяя уравнения (2.10), (2.11) и антикоммутационные соотношениямежду операторами рождения и уничтожения (2.7), можно получить следующие выражения для числа электронов и позитронов , рождённых всостояниях > и < , соответственно:(out) †^(out) = ⟨0, in|^ |0, in⟩ =∑︁| |2 ,(2.13)< = ⟨0, in|^(out) † ^(out) |0, in⟩ =∑︁| |2 .(2.14)>Для вычисления и в представленной работе используется конечныйбазисный набор, поэтому в выражениях (2.13) и (2.14) суммируется конечноечисло членов. Для получения собственные функции in () начальногогамильтониана (in ), включая связанные состояния и состояния обоих дискретизированных континуумов, развиваются во времени вплоть до момента— 62 —out путём решения нестационарного уравнения Дирака и затем проецируютсяна собственные состояния out () конечного гамильтониана (out ):∫︁ =(out)†3 (+)() (, out ).(2.15)Полное число рождённых частиц даётся выражением =∑︁ =∑︁ .(2.16)<>В дискретном базисном наборе энергетический спектр позитронов можетбыть вычислен с помощью метода Стилтьеса [80]:2.1.2(︂outout + +12)︂=1 +1 + .out2 out+1 − (2.17)Вероятность для вакуума остаться вакуумомС помощью формализма, изложенного в предыдущем разделе, можно получить выражение для вероятности вакуума остаться вакуумом при воздействии внешнего поля [77, 81].
Для этой цели введём матрицы L, P, Q, и M:L = , > , > ;P = , < , > ;Q = , > , < ;M = , < , < .(2.18)Используя эти матрицы, выражения (2.10) и (2.11) можно привести к виду^(out) = L ^(in) + P ^(in)† ,(2.19)(︀ )︀ (in)† (︀ )︀ (in)(out)^= Q† ^ + M† ^ .(2.20)Здесь и далее подразумевается суммирование по каждой паре повторяющихсяиндексов.— 63 —Рассмотрим унитарный оператор ^ , преобразующий in-операторы к outоператорам:^(out) = ^ † ^(in) ^ ,^(out) = ^ † ^(in) ^ .(2.21)Соответственно, соотношение между векторами вакуумных состояний определяется выражением|0, out⟩ = ^ † |0, in⟩.(2.22)Оператор ^ можно представить в следующем виде [81]:)︁(︁(in)†(in)(in)†(in)†(in)(in)(in)(in)†^^^^^^^^^.
(2.23) = exp A + B + C + D Такой вид оператора ^ гарантирует его унитарность при условии, чтоA† = −A,B† = −C,D† = −D.(2.24)Из того факта, что коммутаторы квадратичных форм в выражении (2.23)являются квадратичными формами того же вида, следует, что оператор ^можно представить в форме(︁)︁(︁)︁(in)†(in)†(in)†(in)^^^^^ = exp B̃ exp à )︁)︁(︁(︁(in)(in)†(in)(in)^^^^× exp D̃ exp C̃ .(2.25)Используя условия (2.21), можно выразить матрицы Ã, B̃, C̃ и D̃ через L,P, Q и M:à = − ln L† ,B̃ = PM−1 ,C̃ = M−1 Q,D̃ = ln M.(2.26)Из равенства (2.22) следует, что амплитуда для вакуума остаться вакуумомv = ⟨0, out|0, in⟩(2.27)представляет собой среднее значение оператора ^ по вакуумным состояниям:v = ⟨0, in|^ |0, in⟩ = ⟨0, out|^ |0, out⟩.(2.28)— 64 —Подставляя выражение (2.25) в первое из равенств (2.28) и учитывая (2.26),получим, чтоv = exp (Tr ln M) = det{M}.(2.29)Аналогичным образом, выразив ^ через out-операторы и подставив в (2.28),можно получить, чтоv = exp (Tr ln L) = det{L}.(2.30)Таким образом, зная одноэлектронные амплитуды перехода , а значит иматрицы и , можно вычислить вероятность v для вакуума остатьсявакуумом:v = |v |2 = |det{M}|2 = |det{L}|2 .2.1.3(2.31)Вероятность возбужденияРассмотрим ситуацию, когда одно из положительно-энергетических состояний изначально занято электроном.
Под действием внешнего поля этот электрон может перейти в другое состояние. Вероятность перехода определяетсяследующими выражениями:2 = | | ,∫︁ =3 (out)†() (+) (, out ),(2.32)где индексы и соответствуют начальному и конечному состоянию электрона. В одноэлектронном подходе процессы возбуждения и ионизации отождествляются с такими переходами, и соответствующие вероятности определяются формулой (2.32).
Однако, если внешнее поле достаточно сильное, тодля более реалистичного описания этих процессов необходимо учитывать заселённость состояний отрицательно-энергетического континуума, которая вописанной выше одноэлектронной картине игнорируется. Для этой цели можно использовать многоэлектронный подход изложенный в параграфе 2.1.1. В— 65 —рамках данного подхода процессу возбуждения можно сопоставить следующую вероятность:^(in)† |0, in⟩|2 . = |⟨, out|, in⟩|2 = |⟨0, out|^(out)(2.33)Здесь вектора|, in⟩ = ^(in)†|0, in⟩(2.34)|, out⟩ = ^(out)†|0, out⟩(2.35)исоответствуют заполненному отрицательно-энергетическому континуумувместе с одним занятым положительно-энергетическим состоянием в соответствующие моменты времени.
Вероятность (2.33) может быть рассчитана спомощью формулы [77] ⃒ [︁(︀ )︀ ]︁−1⃒= ⃒v L†⃒2⃒⃒ ,(2.36)где v – вероятность для вакуума остаться вакуумом, L – матрица, котораяопределяется через коэффициенты согласно выражению (2.18).Другая формула для вероятности (2.33) может быть получена, если переопределить вакуумные состояния следующим образом:|0̃, in⟩ = |, in⟩,|0̃, out⟩ = |, out⟩.(2.37)Ранее подобное определение вакуумных состояний рассматривалось в монографии [82]. Используя тот же вывод, что в подразделе 2.1.2, но уже длявекторов (2.37), получим: ⃒2 ⃒⃒2⃒⃒2 ⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒= ⟨0̃, out | 0̃, in⟩ = ⃒det{M̃}⃒ = ⃒det{L̃}⃒ .(2.38)ЗдесьM = , ∈ out , ∈ in ,L = , ∈/ out , ∈/ in ,(2.39)— 66 —где in = { | < ∪ = } и out = { | < ∪ = } соответствуют занятым состояниям.
Формулу (2.38) можно обобщить на случай состояний спроизвольным числом электронов и позитронов.2.22.2.1Метод расчётаТраектория движения ядерВ представленной работе рассматривается низкоэнергетическое столкновение двух тяжёлых ионов и , и их движение описывается с точки зренияклассической механики. Было обнаружено, что процесс рождения электронпозитронных пар сильно зависит от динамики столкновения, и поэтому прямолинейная траектория является слишком грубым приближением для исследования данного процесса. Классическая траектория движения ядер под действием кулоновских сил отталкивания определяется вторым законом Ньютона:2 2 =,2 2 (2.40)где = − – межъядерный вектор, и – радиус-векторы соответствующих ядер, = || – длина межъядерного вектора, и –заряды ядер и = + (2.41)– приведенная масса ядер.
Точное решение уравнения движения (2.40) неможет быть выражено через элементарные функции, но существует его параметрическое представление [83]: = ( cosh + 1) ,=( sinh + ) .∞(2.42)— 67 —Здесь параметр ∈ (−∞, ∞),(︂)︂1/22= 1+ 2, 2=, ∞(2.43)∞ – начальная (при = −∞) относительная скорость ядер, – прицельныйпараметр. Из (2.42) следует, что минимальное межъядерное расстояние будетследующим:(2.44)min = ( + 1) .Траектория, удовлетворяющая уравнению (2.40), представляет собой гиперболу, которая в системе координат (, , ), связанной с одним из ионов (см.рисунок 2.1), описывается выражениями = cos ,где[︃ √ = 2 arctg(2.45) = sin ,]︃2− 1 (th(/2) + 1).( + 1) − ( − 1)th(/2)(2.46)Угол связан с углом рассеяния Θ∞ соотношением Θ∞ = − ( = ∞).Удобным параметром для описания столкновения является удельная энергия налетающего иона в системе покоя другого иона:2∞0 =.2(2.47)Также для этой цели можно использовать энергию столкновения в системецентра масс:cm2 ∞.=2(2.48)В случае симметричных столкновений ( = = ), которые рассматриваются в данной диссертации, 0 и cm связаны соотношением0 = 2cm.(2.49)— 68 —BbAРис.
2.1: Классическая траектория движения ядра под действием отталкивающего кулоновского потенциала в системе координат (, , ), связанной с ядром . Здесь – прицельный параметр, |min | – минимальное межъядерное расстояние, ∞ – начальная относительная скорость ядер, (, ) – плоскость столкновения, ось направлена перпендикулярноплоскости рисунка к читателю.— 69 —2.2.2Монопольное приближениеЭлектронная динамика в поле сталкивающихся ядер описывается уравнением (2.1) с двухцентровым потенциалом (, ) = nucl(| − ()|) + nucl(| − ()|) ,(2.50)где и – радиус-векторы ядер и∫︁nucl () =′3 ′ nucl ( ).| − ′ |(2.51)В данной главе для распределения заряда по ядру nucl () используется какмодель точечного ядра, так и модель равномерно заряженного шара.
В последнем случае потенциал ядра определяется выражением2−,(︂)︂nucl () =⎪22⎪⎩−3− 2 ,2nn⎧⎪⎪⎨ ≥ n,(2.52) < nгде n – радиус ядра. Так как скорость движения ядер достаточно мала,векторным потенциалом можно пренебречь.Численное решение нестационарного уравнения Дирака с двухцентровымпотенциалом (2.50) требует очень трудоёмких трёхмерных расчётов. Можно ожидать, однако, что рождение пар происходит главным образом на маленьких межъядерных расстояниях, где симметричная квазимолекулярнаясистема хорошо описывается в монопольном приближении [40]. В этом приближении учитывается только сферически симметричная часть парциального разложения потенциала (2.50):1˜ (, ) =4∫︁Ω (, ) = mon(, ()) + mon(, ()) ,(2.53)где1mon (, 0 ()) =4∫︁Ω nucl (| − 0 ()|) ,(2.54)— 70 —0 () – радиус-вектор точки, относительно которой рассматривается монопольное приближение. Для точечной модели ядра потенциал (2.54) имеетвид⎧2⎪⎪, ≥ 0 ()⎨ −.(2.55)mon (, 0 ()) =2⎪⎪⎩−, < 0 ()0 ()В случае модели равномерно заряженного шара данный потенциал определяется следующим выражением [84]:⎧2⎪⎪−, ≥ + ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪[︂⎪⎪2⎪1⎪⎪−(0 () − n )3 (0 () + 3n )⎪3⎪n 0 () 16⎪⎪⎪⎪⎨ 1)︀3 (︀ 22(0 () − 2n ) +0 () − n2 − +mon (, 0 ()) =48⎪⎪⎪⎪]︂⎪⎪⎪11 32⎪⎪− 0 () + ,− ≤ ≤ + ,⎪⎪416⎪⎪⎪⎪⎪⎪2⎪⎪⎩−, < − ,0 ()(2.56)где + = 0 () + n и − = 0 () − n .Для центрального поля (2.53) дираковская волновая функция может бытьзаписана как⎞ (, ) (Ω) ⎟⎜⎜⎟, (, ) = ⎝(2.57)⎠ (, )− (Ω)где (, ) и (, ) – большая и малая радиальные компоненты, соответ⎛ственно, (Ω) – сферический спинор, и = (−1)++1/2 ( + 1/2) – релятивистское угловое квантовое число.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
