Диссертация (1150857), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Вычисления производились с помощью метода, описанного в предыдущих разделах. Для расчётов использовалось 410 базисных функций, построенных изВ-сплайнов девятого порядка, определённых в сферическом ящике с радиусом = 105 фм. Узлы В-сплайнов были распределены экспоненциальносогласно формуле (2.77) с = 10. Было обнаружено, что такого базисногонабора достаточно для получения сходящихся результатов. Число шагов повремени составляло ≈ 20 × 103 − 30 × 103 , в зависимости от прицельногопараметра. При этом шаг по времени уменьшался в два раза при уменьшениив два раза межъядерного расстояния.2.3.1Вероятность остаться в исходном состоянииС целью оценки влияния отрицательно-энергетических состояний на процессы в столкновениях тяжёлых ионов были проведены расчёты вероятностиостаться в начальном состоянии в столкновении водородоподобного иона (мишень) с голым ядром (снаряд).

Электронная динамика рассматривалась вмонопольном приближении относительно центра мишени, то есть двухцентровый потенциал аппроксимировался выражением (2.61), в котором соответствует ядру мишени, – снаряду. При этом считалось, что мишеньпокоится в начале координат, а снаряд движется прямолинейно и равномерно. В такой модели начальные и конечные стационарные состояния системысовпадают со стационарными состояниями мишени, так как потенциал (2.61)стремится к потенциалу ядра мишени nucl() при → ±∞.— 79 —Вычисления производились в рамках двух подходов: одноэлектронногои многоэлектронного, которые описаны в разделе 2.1.3.

В одноэлектронномподходе вероятность найти мишень в начальном 1 состоянии определяетсявыражением∫︁∞1 = |1,1 |2 ,1,1 = 01 () 1 (, out ),(2.80)0где 01 () – радиальная часть одноэлектронной стационарной 1 волновой функции мишени, out – конечный момент времени, 1 (, ) – радиальная часть одноэлектронной волновой функции, развивающейся во времени согласно нестационарному уравнению Дирака в монопольном приближении (2.58), с начальным условием1 (, in ) = 01 (),(2.81)in – начальный момент времени.

Формально также можно рассчитать вероятность перехода в отрицательно-энергетические состояния: (−) =∑︁| ⟨0 |1 (out )⟩ |2 ,(2.82)<где – уровень Ферми, 0 () – собственные функции радиального гамильтониана мишени. Однако, для более реалистичного описания электроннойдинамики в процессе столкновения необходимо учесть заполненность состояний отрицательно-энергетического континуума.

Для этого требуется многоэлектронный подход, в рамках которого величина (2.80) теряет физическийсмысл, и вместо неё можно использовать вероятность 1 того, что все изначально заполненные состояния останутся таковыми после столкновения: 1 = |⟨Φ1 , in|Φ1 , out⟩|2 .(2.83)Здесь |Φ1 , in⟩ и |Φ1 , out⟩ – векторы состояний в представлении Гейзенберга,которые соответствуют заполненному отрицательно-энергетическому конти-— 80 —нууму и одной занятой 1 вакансии в моменты времени in и out , соответственно.Вычисления производились только для состояний с релятивистским угловым квантовым числом = −1.

В монопольном приближении из 1 оболочки возможны переходы только в такие состояния. Также они должны даватьосновной вклад в процесс рождения электрон-позитронных пар [40], который тоже оказывает влияние на значение 1 . Предположим, что заполненным является состояние 11/2 , тогда с учётом каналов с обеими проекциями = ±1/2 полного углового момента = 1/2, для вероятности (2.83) можнонаписать следующее выражение:(2.84) 1 = 0,− 21 1, 12 .Здесь 0, – вероятность того, что все отрицательно-энергетические состояния с проекцией полного углового момента останутся заполненными после столкновения, 1, – вероятность остаться занятыми как для состоянийотрицательно-энергетического континуума, так и для 1 состояния с заданным .

При этом, поскольку гамильтониан (2.60) не зависит от значения ,а значение фиксировано, 0,− 1 = 0, 1 и 1, 1 = 1,− 1 . Вероятности 0,2222и 1, рассчитывались с помощью формул (2.36) и (2.38).Вероятность мишени остаться в начальном состоянии была рассчитана для столкновения U91+ (1)−U92+ при энергии налетающего ядра 0 =6.2 МэВ/a.e.м. Для распределения заряда по ядру использовалась как модель точечного ядра, так и модель равномерно заряженного шара радиусаn =√︀5/3 RMS , где RMS = 5.8569 фм – среднеквадратичный радиус ядра.Приведенное значение для RMS взято из работы [86].В таблице 2.1 приведены полученные значения для одноэлектронной вероятности остаться в начальном состоянии 1 и вероятности перехода в— 81 —отрицательно-энергетический континуум (−) в зависимости от прицельного параметра .

Отметим, что величина (−) не имеет физической интерпретации в рамках одноэлектронного подхода и, если её значением нельзяпренебречь, то требуется переход к многоэлектронной картине. ВероятностьТаблица 2.1: Вероятность 1 для 1 состояния мишени остаться занятым и вероятность (−) перехода электрона в отрицательно-энергетический континуум в зависимости от прицельного параметра . Вычисления производились для столкновения U91+ (1)−U92+ приэнергии налетающего ядра 0 = 6.2 МэВ/a.e.м. Вероятности 1 и (−) рассчитывалисьсогласно формулам (2.80) и (2.82), соответственно.Точечное ядроПротяженное ядро (фм)1 (−)1150.5399704.68 × 10−30.6187353.14 × 10−3200.6605272.60 × 10−30.7072621.90 × 10−3300.8048100.88 × 10−30.8238330.71 × 10−3400.8811260.33 × 10−30.8899740.27 × 10−3500.9243950.13 × 10−30.9288100.11 × 10−3 (−)остаться в начальном состоянии 1 , рассчитанная с помощью многоэлектронного подхода, представлена в таблице 2.2 для различных значений прицельного параметра , там же приведена разность между 1 и 1 .

Как можно увидеть из таблицы, вероятности 1 и 1 отличаются незначительно,больший эффект оказывает протяженность ядра.2.3.2Рождение электрон-позитронных пар в столкновениях с резерфордовским рассеянием ядерВ данном параграфе приведены результаты расчётов процесса рожденияэлектрон-позитронных пар в столкновениях голых ядер, при этом считалось,что ядра движутся по классической резерфордовской траектории.

Для рас-— 82 —Таблица 2.2: Вероятность остаться в начальном состоянии, рассчитанная в рамках од(︀ )︀ноэлектронного (1 ) и многоэлектронного подхода 1 . Вычисления выполнены длястолкновения U91+ (1)−U92+ при энергии налетающего ядра 0 = 6.2 МэВ/a.e.м. Вероятности 1 и 1 рассчитывались согласно формулам (2.80) и (2.83), соответственно.Точечное ядроПротяженное ядро (фм) 1 1 − 1 1 1 − 1150.5391747.96 × 10−40.6183064.30 × 10−4200.6602053.22 × 10−40.7070661.96 × 10−4300.8047480.61 × 10−40.8237850.47 × 10−4400.8811120.13 × 10−40.8899580.16 × 10−4500.9243910.03 × 10−40.9288920.08 × 10−4пределения заряда по ядру применялась модель равномерно заряженногошара с радиусом n = 1.2 × 1/3 фм, где – массовое число.

Вычисления производились в монопольном приближении относительно центра масс(см. уравнение (2.62)) для состояний с релятивистским квантовым числом = −1 и = 1. В монопольном приближении эти два набора состояний несмешиваются, и можно ожидать, что именно они дают основной вклад в процесс рождения пар. Все начальные состояния, включая 10 связанных, 195 изверхнего континуума и 205 из нижнего континуума, были развиты во времени для получения одноэлектронных амплитуд переходов. Число рождённыхчастиц рассчитывалось согласно уравнениям (2.13) и (2.14) для фиксированной проекции полного углового момента = 1/2, и затем оно удваивалось,чтобы учесть вклад каналов с обоими значениями .На рисунке 2.2 представлены позитронные спектры, полученные для U−Uстолкновений с различными значениями прицельного параметра при энергиистолкновения cm = 740 МэВ в системе центра масс.

Эти результаты хорошосогласуются с величинами из работы [41]. Столкновения с = 30 фм и =— 83 —40 фм являются докритическими, с ≤ 25 фм – сверхкритическими. Однако,рассчитанные позитронные спектры не показывают качественных различиймежду докритическим и сверхкритическим режимами.В таблице 2.3 полученные значения для числа пар, рожденных в U−Uстолкновениях при энергиях cm = 740 МэВ и cm = 680 МэВ, представленыв сравнении со значениями из работы [41].

Результаты хорошо согласуютсядруг с другом, но в нашем случае доля пар со свободным электроном выше,что можно объяснить более плотным представлением континуума в нашемметоде. Тем не менее, как можно увидеть из таблицы, рождённые электроныв основном оказываются в связанных состояниях.Для исследования возможностей наблюдения спонтанного рождения парбыли рассмотрены столкновения ядер с различным зарядом . На рисунке 2.3приведены полученные позитронные спектры для центральных столкновенийFr−Fr ( =87), U−U ( =92) и Db−Db ( =105) при энергиях cm = 674.5,cm = 740 и cm = 928.4 МэВ, соответственно. При таких энергиях минимальное расстояние между поверхностями ядер одинаково для всех трёхслучаев (≈1.6 фм). Столкновение Fr−Fr докритическое и его позитронныйспектр чисто динамический.

В столкновении Db−Db можно ожидать усиления спонтанного рождения пар вследствие глубоко сверхкритического резонанса [43]. Однако, все три кривые на рисунке 2.3 имеют одну и ту же форму.Полученные спектры существенно отличаются от соответствующих результатов из работы [43], особенно для малых энергий позитронов.На рисунке 2.4 представлено число пар , рожденных в центральномстолкновении двух одинаковых ядер, как функция заряда ядра = = для энергии снаряда 0 = 6.2 МэВ/а.е.м. в системе покоя ядра, что, согласно формуле (2.49), соответствует cm = 740 МэВ для столкновения U−U.Результаты расчётов демонстрируют очень сильную зависимость от , ко-— 84 —Таблица 2.3: Число рождённых электрон-позитронных пар в U−U столкновении при энергии cm как функция прицельного параметра .

– полное число рожденных пар, –число рожденных пар с электроном в связанном состоянии.Mülleret al.[41]Данная работаcm (МэВ) (фм)74001.23 × 10−21.26 × 10−21.25 × 10−21.29 × 10−251.04 × 10−21.06 × 10−21.05 × 10−21.08 × 10−2107.04 × 10−37.15 × 10−37.03 × 10−37.26 × 10−3154.41 × 10−34.47 × 10−34.39 × 10−34.51 × 10−3202.71 × 10−32.73 × 10−32.70 × 10−32.75 × 10−3251.67 × 10−31.68 × 10−31.66 × 10−31.69 × 10−3301.04 × 10−31.04 × 10−31.03 × 10−31.04 × 10−3404.11 × 10−44.11 × 10−44.09 × 10−44.12 × 10−401.04 × 10−21.06 × 10−21.05 × 10−21.07 × 10−258.86 × 10−38.97 × 10−38.87 × 10−39.10 × 10−3106.05 × 10−36.12 × 10−36.03 × 10−36.17 × 10−3153.80 × 10−33.83 × 10−33.78 × 10−33.85 × 10−3202.33 × 10−32.34 × 10−32.32 × 10−32.35 × 10−3251.43 × 10−31.43 × 10−31.42 × 10−31.44 × 10−3308.80 × 10−48.80 × 10−48.75 × 10−48.82 × 10−4403.42 × 10−43.42 × 10−43.41 × 10−43.43 × 10−4680торую в докритической области можно параметризовать как с ≈ 28.Функция () плавно переходит в сверхкритическую область, но скоростьеё роста замедляется для больших .

Характеристики

Список файлов диссертации