Диссертация (1150857), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Подставив выражение (2.57) в уравнениеДирака (2.1), получим(, ) = () (, ) ,(2.58)— 71 —где⎛(, ) = ⎝и⎛(, ) (, )˜⎜ (, ) + () = ⎜⎝+ – радиальный гамильтониан Дирака.2⎞(2.59)⎠− + ˜ (, ) − 2⎞⎟⎟⎠(2.60)Потенциалы (2.53) и (2.54) зависят от выбора начала координат, относительно которого проводится усреднение по угловым переменным Ω. Если вкачестве начала координат выбрать центр ядра , то выражение (2.53) можно переписать в виде˜ (, ) = nucl() + mon(, ()),(2.61)при этом () = (), где () – межъядерное расстояние.
Если началокоординат расположено в центре масс и = , то потенциал (2.53) принимает форму˜ (, ) = mon(, ()/2) + mon(, ()/2) .(2.62)Электронные состояния симметричной квазимолекулы при малых межъядерных расстояниях () достаточно хорошо описываются именно в монопольным приближении относительно центра масс [40], когда двухцентровый потенциал аппроксимируется выражением (2.62). Однако, при большихмежъядерных расстояниях электронные энергетические уровни, полученныев рамках монопольного приближения относительно центра масс, существенно отличаются от двухцентровых, и разница между ними увеличивается сувеличением (). Тем не менее, при расчётах процесса рождения электронпозитронных пар, вакуумное состояние, определенное относительно монопольного гамильтониана (2.60) с потенциалом (2.62) на некотором достаточно— 72 —большом межъядерном расстоянии, можно рассматривать в качестве начального состояния системы, так как пары образуются главным образом на малыхмежъядерных расстояниях, где данное приближение работает хорошо.
Ограничением такой модели является невозможность изолировать заселённостьопределенного одноэлектронного уровня одного из ядер.2.2.3Радиальное уравнение Дирака в конечном базисеДля решения уравнения (2.58) радиальная волновая функция (, ) раскладывается по стационарному конечному базисному набору { ()}:(, ) =2∑︁ () () .(2.63)=1Здесь двухкомпонентные базисные функции () считаются квадратичноинтегрируемыми, линейно независимыми и удовлетворяющими необходимымграничным условиям.В начальный момент времени in волновая функция (, ) должна совпадать с некоторой собственной функцией in () гамильтониана (in ):(in ) in () = in in (),при этомin () = (, in ) =2∑︁ (in ) ().(2.64)(2.65)=1В конечном базисе в общем случае уравнение (2.64) может выполняться лишьприближенно.
Коэффициенты = (in ), соответствующие приближенному решению, находятся из вариационного принципа, который приводит кобобщённой задаче на собственные значения (см. параграф 1.3.4):H0 = S,(2.66)— 73 —где H0 и S – матрицы гамильтониана и перекрывания, соответственно:∫︁∞S = † () (),0∫︁∞(H0 ) =(2.67) † ()(in ) ().0Все собственные векторы и значения, удовлетворяющие уравнению (2.66),могут быть получены с помощью стандартных численных процедур для диагонализации матрицы. При этом, поскольку для решения радиального уравнения требуется сравнительно небольшой базис, полная диагонализация матрицы происходит достаточно быстро.Самая простая реализация метода конечного базисного набора для радиального уравнения Дирака выглядит следующим образом:⎛ ()⎜ () = ⎝⎞⎟⎠, ≤ ,(2.68)0⎛0⎜ () = ⎝⎞⎟⎠, > ,(2.69)− ()где – линейно независимые функции, которые считаются квадратично интегрируемыми и удовлетворяющими граничному условию (0) = 0. Однако,недостатком такой схемы построения базисных функций () является наличие в спектре уравнения (2.66) нефизических шпуриозных состояний при > 0 [59–61].
При этом, в отличие от вычисления вероятности перезарядки (см. главу 1), в расчётах процесса рождения электрон-позитронных парналичие шпуриозных состояний оказывает существенное влияние на конечный результат. Чтобы избежать появления таких состояний, в разработанномметоде используется техника дуального кинетического баланса (ДКБ), предложенная в работе [60].
В соответствии с данной техникой базисные функции— 74 —строятся следующим образом:⎛⎜ () = ⎜⎝⎞ ()(︂)︂⎟⎟,⎠1+ ()2 2 ⎛(︂)︂1⎜ 2 2 − − () () = ⎜⎝− () ≤ ,(2.70)⎞⎟⎟,⎠ > .(2.71)Здесь должны быть линейно независимыми, квадратично интегрируемымии приводить к необходимым граничным условиям [60]: (0) = 0, < 0;(2.72)(0) = 0, > 0.Чтобы добиться разреженности матриц перекрывания и гамильтониана, вкачестве можно использовать базисные сплайны Эрмита (БСЭ) либо Bсплайны.
Последние также представляют собой кусочные полиномы с компактным носителем, образующие базис в пространстве соответствующихсплайнов, однако их следует отличать от БСЭ. В представленных в даннойработе расчётах процесса рождения пар использовались B-сплайны. Такойвыбор отчасти обусловлен тем, что базисные функции, построенные из Bсплайнов с помощью ДКБ метода, ранее успешно применялись в КЭД расчётах для суммирования по всему спектру решений уравнения Дирака (см.,например, [78, 79]).Для построения B-сплайнов необходимо определить некоторую последовательность точек (узлов) 1 ≤ 2 ≤ · · · ≤ на конечном интервале заданнойдлины.
В-сплайны любой степени могут быть построены с помощью следующего рекуррентного соотношения [59, 85]:, () = − + − , −1 () ++1, −1 ().+−1 − + − +1(2.73)— 75 —Здесь , () – B-сплайны порядка (степени − 1), при этом для = 1соответствующие B-сплайны определяются выражением,1⎧⎨ 1, ≤ < +1.=⎩ 0,otherwise(2.74)Формулы (2.73) и (2.74) можно считать определением B-сплайнов. Из этихвыражений следует, что каждая функция , () отлична от нуля лишь винтервале ≤ < + . Данный факт приводит к тому, что перекрывается лишь небольшое число соседних B-сплайнов, и, как следствие, матрицыперекрывания и гамильтониана будут разреженными. Отметим, что соседние узлы могут совпадать, и, регулируя кратность узлов, можно менятьгладкость и граничные условия для произвольной линейной комбинации Bсплайнов.Базисные функции строятся в сферическом ящике радиуса с центромв начале координат.
Отрезок [0, ] разбивается на подинтервалы с помощьюнабора точек 0 = 1 < 2 < · · · < = . Узлы B-сплайнов определяютсяследующим образом:1 = 2 = · · · = = 1 ; = +1− , < < − + 1;(2.75) = −1 = · · · = −+1 = .Здесь = + + − 2 – число узлов ; , ≤ – кратности первого и последнего узлов, соответственно, и – порядок B-сплайнов. Положив () = , (), можно построить функции () согласно формулам (2.70)и (2.71). Чтобы добиться выполнения условия (2.72) для || = 1 нужно положить = − 1, тогда все B-сплайны будут обращаться в нуль при = 0и, как следствие, функции () будут также иметь в начале координат нулевое значение. Для того чтобы наложить такое же граничное условие при— 76 —|| ≥ 2, надо уменьшить ещё на единицу: = − 2, тогда производныеот всех B-сплайнов будут также обращаться в нуль, но, как было отмечено вработе [60], подобная модификация не оказывает существенного влияния нарезультаты численных расчётов.
Также от функции () требуется, чтобы() = () = 0.(2.76)Данное условие будет выполняться при ≤ − 2.От размера ящика зависит плотность спектра уравнения (2.66) и число собственных векторов, соответствующих связанным состояниям. Для корректного описания физических процессов должен быть достаточно большим. При этом, поскольку рождение электрон-позитронных пар происходитглавным образом на малых межъядерных расстояниях, необходимо с особойточностью описывать волновые функции в области максимального сближения ядер.
Поэтому точки распределяются экспоненциально, сгущаясь кначалу координат, согласно формуле)︂(︂−1−1exp − 1, = exp () − 1(2.77)где > 0 – параметр и = 1, . . . , . Такое распределение позволяет сочетатьмалый шаг сетки в области максимального сближения ядер с достаточнобольшим размером ящика.Нестационарное уравнение Дирака в конечном базисном наборе { ()}сводится к следующей системе дифференциальных уравнений:()= S−1 H() ().(2.78)Здесь матрица перекрывания S определяется выражением (2.67) и матрицагамильтониана H() определяется формулой∫︁∞(H()) =0 † ()() ().(2.79)— 77 —Подходы, которые использовались в представленной работе для решениянестационарного уравнения Дирака в конечном базисе, подробно описаны впараграфе 1.3.5. Спектр матрицы гамильтониана в рассматриваемом базисе характеризуется наличием очень больших собственных чисел вследствиемалого шага сетки вблизи = 0.
Данная особенность делает невозможнымиспользование метода разложения матричной экспоненты, который успешно применялся в расчётах перезарядки, из-за его неустойчивости. Поэтому врасчётах процесса рождения электрон-позитронных пар для решения уравнения (2.78) используется метод Кранка-Николсон.
При этом на каждом шагепо времени решение соответствующей СЛАУ находится с помощью BiCGSалгоритма с ILU-предобуславливателем.Для получения одноэлектронных амплитуд перехода, после осуществлениявременной пропагации, вектор (out ) необходимо разложить по собственнымвекторам матрицы оператора (out ). В представленной работе начальный иконечный гамильтонианы совпадают, поэтому наборы собственных векторови собственных значений соответствующих матриц идентичны.Матричные элементы (2.67) и (2.79) рассчитываются путём численногоинтегрирования согласно квадратурным формулам Гаусса-Лежандра [58].Вследствие разрежённости матриц необходимо получить сравнительнонебольшое число матричных элементов. При этом интегрирование ведётсялишь по области перекрывания B-сплайнов. Таким образом, так же как вслучае БСЭ, локализованность базисных функций позволяет существенноускорить расчёт матриц перекрывания и гамильтониана.— 78 —2.3Результаты расчётовВ данном разделе представлены результаты расчётов вероятностей остатьсяв начальном состоянии и рождения электрон-позитронных пар в столкновениях тяжёлых ионов при энергиях вблизи кулоновского барьера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
