Диссертация (1150857), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Существенным преимуществом БСЭ являетсясильная локализация, в результате которой перекрываются только соседниесплайны, что приводит к разреженности матриц перекрывания и гамильтониана. Использование этой особенности кардинальным образом ускоряетчисленные расчёты. Для учёта неинерциальности системы отсчёта рассматриваются каналы с различными проекциями электронного углового моментана межъядерную ось.С помощью разработанного метода были проведены расчёты вероятностей перезарядки в столкновениях Xe53+ (1) − Xe54+ , Pb81+ (1) − Pb82+ иU91+ (1) − U92+ при энергиях вблизи кулоновского барьера (минимальнойэнергии, достаточной для преодоления электростатического отталкиванияядер) для широкого диапазона значений прицельного параметра. Полученные результаты были сопоставлены с соответствующими значениями, полученными методом ДФШ, и значениями, рассчитанными в рамках приближения центрального столкновения (то есть без учёта неинерциальности вращающейся системы отсчёта).— 15 —1.1Постановка задачи и используемые приближенияВ данной главе рассматривается столкновение водородоподобного иона (мишень) с голым ядром (снаряд) при энергии вблизи кулоновского барьера.
При этом движения ядер и электрона описываются раздельно. Посколькумасса ядер значительно больше массы электрона и их де-бройлевская длинаволны гораздо меньше характерных размеров электронных оболочек, ядерную динамику можно рассматривать с точки зрения классической механики.Согласно классическим уравнениям движения, под действием электростатических сил отталкивания ионы движутся по резерфордовским траекториям(см. раздел 2.2.1). Однако, в данной работе при расчёте вероятностей перезарядки считалось, что мишень покоится, а снаряд движется прямолинейнои равномерно.
Было обнаружено, что такое приближение не оказывает существенного влияния на результаты вычислений. Так как скорость столкновения небольшая по сравнению со скоростью света (/ ≈ 0, 1), релятивистскими эффектами и магнитной составляющей взаимодействия электрона сядрами можно пренебречь.Движение электрона происходит во внешнем поле, создаваемом ядрами.Поскольку это поле достаточно сильное ( ( + ) ∼ 1), скорость электрона сравнима со скоростью света, и необходимо рассматривать его движениерелятивистским образом.
Релятивистская электронная динамика описывается нестационарным уравнением Дирака, которое в инерциальной системеотсчёта, связанной с мишенью , имеет следующий вид:(, )= (, ),(1.1) = ( · ) + 2 + (, ).(1.2)Здесь (, ) – четырёхкомпонентная релятивистская волновая функцияэлектрона, и – матрицы Дирака, (, ) – двухцентровый потенциал— 16 —сталкивающихся ядер: (, ) = nucl() + nucl( ) , () = − (),(1.3)где nucl– потенциал мишени, находящейся в начале координат, nucl– по-тенциал снаряда, () – положение снаряда.
В данной работе в расчётахпроцесса перезарядки использовалась точечная модель ядра, согласно которой2.(1.4)Вначале рассмотрим столкновение в лабораторной инерциальной системеnucl () = −отсчёта. Для этого введём декартову систему координат (0 , 0 , 0 ) неподвижную относительно мишени таким образом, что оси 0 и 0 лежат в плоскостистолкновения, а мишень расположена в начале координат (см. рисунок 1.1).Пусть – межъядерная ось, тогда движение снаряда представляет собой изменение расстояния между ядрами с поворотом вокруг оси˙ , где () – угол между и 0 . В случае прямо0 со скоростью () = ()линейного движения снаряда скорость поворота определяется выражением() =,2 + ()2(1.5)где – скорость снаряда, – прицельный параметр, момент времени = 0соответствует максимальному сближению ядер.В данной работе для решения уравнения (1.1) столкновение рассматривается в системе отсчёта, вращающейся вместе с межъядерной осью.
Определим новую систему координат (, , ) таким образом, что ось совпадаетв каждый момент времени с , а ось совпадает с 0 . В такой системекоординат межъядерное расстояние меняется так же, как в лабораторной системе отсчёта, а снаряд движется вдоль оси . Столкновение, таким образом,сведётся к центральному удару. Если пренебречь неинерциальностью вращающейся системы отсчёта, то электронная динамика в новых координатах— 17 —будет описываться уравнением (1.1) с гамильтонианом (1.2), который будетинвариантен относительно поворотов вокруг оси , что даёт возможность понизить размерность задачи с трёх до двух (см. параграф 1.2.1).
Чтобы учестьвращение межъядерной оси, необходимо добавить к гамильтониану дополнительный член (см. параграф 1.2.2).Решив нестационарное уравнение Дирака (1.1), можно получить конечнуюволновую функцию, которая содержит всю необходимую информацию о вероятностях возбуждения и перезарядки. Отметим, однако, что при этом игнорируется заселённость состояний отрицательно-энергетического континуума.Правильный учёт вклада отрицательно-энергетических состояний в трёхмерном случае представляет собой очень трудную с вычислительной точки зрения задачу.
В данной работе оценка этого вклада была выполнена только вмонопольном приближении для вероятности мишени остаться в начальномсостоянии (параграф 2.3.1).Чтобы получить начальное состояние мишени необходимо решить стационарное уравнение Дирака0 () = (),(1.6)где – энергия -го стационарного состояния, () – его волновая функция,0 – независящий от времени одноцентровый гамильтониан:0 = ( · ) + 2 + nucl().(1.7)— 18 —1.2Уравнение Дирака во вращающейся системе координатПоскольку двухцентровый потенциал ядер инвариантен относительно поворотов вокруг межъядерной оси, удобно рассматривать уравнение Дирака вцилиндрической системе координат (, , ), в которой ось совпадает смежъядерной осью (см. параграф 1.2.1).
Однако, в случае столкновения сненулевым прицельным параметром такая система координат будет неинерциальной. Для того чтобы учесть это обстоятельство, необходимо модифицировать соответствующим образом уравнение Дирака (см. параграф 1.2.2).1.2.1Уравнение Дирака в цилиндрической системе координатВведём цилиндрическую систему координат (, , ) такую, что ось проходит через ядра и (рис. 1.2):√︀ = 2 + 2 , = arctg(︁ )︁,(1.8) = .Здесь (, , ) – прямоугольная система координат, определенная в разделе 1.1.
Найдем вид гамильтониана (1.2) в системе координат (, , ). В декартовых координатах (, , ) матрицы Дирака определяются выражениями⎛ = ⎝где0 0⎛ = ⎝0 11 0⎞⎠,⎞⎠,⎛ = ⎝⎛ = ⎝0 00 −0⎞⎠,⎞⎠,⎛ = ⎝⎛ = ⎝0 0100 −1⎞⎠,(1.9)⎞⎠(1.10)— 19 —yy'BVzbθz'AРис. 1.1: Столкновение одноэлектронного иона (мишень) с голым ядром (снаряд) сприцельным параметром , (0 , 0 , 0 ) – лабораторная сиcтема координат, (, , ) – системакоординат, вращающаяся вместе с межъядерной осью, ось 0 ≡ направлена перпендикулярно плоскости рисунка от читателя.ABРис. 1.2: Цилиндрическая система координат (, , ), ось проходит через ядра и ,поэтому потенциал () инвариантен относительно поворотов вокруг .— 20 —– матрицы Паули. Определим новый набор матриц ( , , ) следующимобразом:⎧⎪ = cos() + sin()⎪⎪⎨ = − sin() + cos() .⎪⎪⎪⎩ =(1.11)Подставив (1.10) в (1.11), получим⎛ = ⎝0−0⎞⎛⎠, = ⎝0−−0⎞⎛⎠, = ⎝100 −1⎞⎠.(1.12)Оператор импульса, в свою очередь, в цилиндрических координатах имеетвид(1.13) = −∇ = −(∇ , ∇ , ∇ ),где∇ =,∇ =1 , ∇ =.(1.14)При этом скалярное произведение · ∇ можно записать в виде(1.15) · ∇ = ∇ + ∇ + ∇ .С учётом (1.12) и (1.14) гамильтониан (1.2) принимает форму⎛⎜ + ⎜⎜0⎜⎜=⎜⎜ − ⎜⎝220 + 21⎞−2 − 102⎟⎟⎟⎟⎟,⎟⎟⎟⎠(1.16))︂1 +.
(1.17) − 20где1 = −−(︂)︂1 −, 2 = −(︂Поскольку потенциал ≡ (, , ) не зависит от угла , гамильтониан коммутирует с -компонентой полного углового момента электрона. Если— 21 —задача стационарная, или столкновение центральное, то (, , ) – инерциальная система координат, и электронная динамика определяется уравнением (1.1) с гамильтонианом (1.16). В этом случае проекция полного угловогомомента электрона на ось будет сохраняться, и в качестве волновых функций можно выбрать собственные функции оператора :(1.18) (, ) = (, ),где – проекция полного углового момента электрона на .В цилиндрических координатах (, , ) четырёхкомпонентную волновуюфункцию (, ) можно записать в форме⎛1⎜ (, , ) exp[(⎞12 )] ⎟−⎜⎟12⎜1 ⎜ (, , ) exp[( + 2 )] ⎟⎟ (, , , ) = √ ⎜⎟.⎟132 ⎜⎜ (, , ) exp[( − 2 )]⎟⎝⎠14 (, , ) exp[( + 2 )](1.19)При этом условие нормировки для (, ) будет следующим:∫︁∞⟨ | ⟩ =∫︁∞−∞(1.20)+ (, , ) (, , ) = 1 .0После подстановки (1.19) в (1.6), учтя (1.16) и выполнив некоторые преобразования, получим (, , ) = (, , ),(1.21)где гамильтониан определяется выражением⎛2⎜ + ⎜⎜0⎜ = ⎜⎜⎜ − ⎜⎝− +0 + 2−⎞− + − 02−0 − 2⎟⎟⎟⎟⎟,⎟⎟⎟⎠(1.22)— 22 —(︂)︂]︂11++.= 2[︂(1.23)Если аналогичные преобразования произвести для стационарного уравненияДирака (1.6), то оно примет форму (, ) = (, ) .(1.24)Временная и стационарная функции зависят только от двух пространственных переменных.
Таким образом, в случае наличия у системы цилиндрической симметрии можно разделить переменные и понизить размерностьзадачи до двух, что использовалось в настоящей работе.1.2.2Переход во вращающуюся систему отсчётаВ случае столкновения с ненулевым прицельным параметром система координат (, , ) (рис. 1.1) вращается вместе с межъядерной осью, и необходимоучесть её неинерциальность. Уравнение Дирака во вращающейся системе отсчёта можно записать в виде(, ) = rot (, ) ,(1.25)rot = − · ().(1.26)гдеЗдесь гамильтониан имеет тот же вид, что и в инерциальной системе координат, – оператор полного момента импульса электрона, () – угловаяскорость системы отсчёта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
