Диссертация (1150536), страница 18
Текст из файла (страница 18)
В этих уравнениях, атомарные ионы рождаются за счет ступенstepчатой ионизации с уровня - , и гибнут за счет конверсии в молекулярныеионы conv . Трехчастичной рекомбинацией пренебрегается. Молекулярные ионывозникают за счет хемоионизации chem и конверсии, а разрушаются путем диссоциативной рекомбинации со скоростью реакции . Амбиполярная диффузияучитывается для обоих сортов ионов. Радиальное электрическое поле в случаеамбиполярной диффузии определяется как = − / · (∇ / ).
Скоростиstepступенчатой ионизации и диссоциативной рекомбинации также зависят отэлектрического поля и плотности электронов.Уравнение для метастабильных уровней записывается как(︃)︃(︂)︂∑︁∑︁1 dd−= − + + ( + ,2 ), dd′ (0) = 0, () = 0.(5.2)Здесь - скорость прямого возбуждения электронным ударом, - частотаперехода электронным ударом из −го состояния в −ое, и - коэффициентдиффузии метастабильных атомов. Член ,2 описывает заселение уровня засчет спонтанного излучения с 2-уровней с вероятностью перехода . При опи-126сании системы метастабильных и резонансных уровней 1 важную роль играют процессы непосредственного перемешивания электронным ударом , а такжестолкновительно-радиационные процессы перемешивания через 2 уровни.Баланс плотности резонансных атомов имеет вид∫︁ − (︃)︃ (′ )(′ ,) = − +∑︁(5.3)( )∑︁ + ( + ,2 ),где - спонтанная вероятность резонансного излучения в основное состояниедля -го резонансного уровня.
Интегральный член описывает пространственноеперераспределение атомов вследствие переноса резонансного излучения.Уравнение баланса 2-уровней записывается в виде(︃∑︁ ,2 = − +)︃∑︁+∑︁ .(5.4)Метод совместного решения системы уравнений баланса с учетом пленения резонансного излучения описан в работе [61]. Дифференциальные операторы сводятсяк трехдиагольным матрицам путем аппроксимации конечными разностями. Объём плазмы разбивается на элементарные объёмы в предположении, что плотностьрезонансных атомов постоянна внутри ячейки, и интегральный оператор сводитсяк полной матрице путем интегрирования ядра оператора внутри каждого элементарного объёма.
В частности, интегральное уравнение (5.3) сводится к следующейсистеме линейных уравнений:(︃eff∑︁∑︁step ( ) = ( ) − ( ) )︃+∑︁ +(5.5) ( )( + ,2 ).Коэффициенты в данном случае рассчитываются для геометрии бесконечного цилиндра. Расчет коэффициентов выполнялся по формулам, приведенным вПараграфе 2.2.3.1275.1.3Неоднородный разогрев газаВ полномасштабной модели контрагированного столба необходимо учитыватьрадиально неоднородный разогрев газа, поскольку он является одним из механизмов, влияющих на радиус шнура. Уравнение теплопроводности можно записатькак [162]:(︂)︂1 dd ()− ()= el (). dd(5.6)Здесь - плотность газа и ( ) - теплопроводность. Членel () = 2√︂2∫︁∞ 2 0 el ( )0 (,)d(5.7)0описывает нагрев за счет упругих столкновений, являющихся доминирующиммеханизмом в инертных газах, где и - массы электрона и атома соответственно.
Зависимость ( ) в области [300, 900] K можно аппроксимировать как( ) = 7.6063 × 10−6 + 3.776 × 10−7 · (Вт см−1 K−1 ) [162]. Предполагается перераспределение нейтральных атомов по радиусу и пренебрегается их выносом вбуферные объёмы разрядной трубки. При увеличении температуры газа растетдавление: () = 0 () (). Используя закон сохранения числа частиц22∫︁0 ()d = 0cold ,(5.8)0где 0cold - концентрация нейтральных атомов в трубке в отсутствие разряда, получаем выражение для концентрации атомов в основном состоянии⎛ () =0 2 ⎝2 ()∫︁0⎞−1d ⎠.
()(5.9)1285.1.4Уравнение Больцмана и макроскопические параметрыПоскольку основной причиной скачкообразной контракции является нелинейная зависимость скорости ионизации от концентрации электронов вследствиеконкуренции межэлектронных и электрон-атомных столкновений [66], важнойзадачей является предварительный расчет скоростей возбуждения для метастабильных, резонансных и 2-уровней атома аргона, а также скоростей реакstepций перемешивания , ступенчатой ионизации , подвижности электронов (необходимой для расчета разрядного тока), и температуры электронов взависимости от приведенного электрического поля / и степени ионизации / .Диапазон разрядных условий определен давлениями в десятки Торр, приведенными полями порядка нескольких Тд, ∼ 1010 − 1014 см−3 , / < 10−5 .
Вэтих условиях можно рассчитать ФРЭ путем решения кинетического уравненияБольцмана с учетом упругих и неупругих электрон-атомных столкновений, а также межэлектронных столкновений. В указанном диапазоне параметров плазмыинтенсивные процессы столкновений с нейтральными и заряженными частицами приводят к локализации функции распределения. В локальном приближении,кинетическое уравнение имеет вид(︂)︂(︂)︂()2 d d0dd0+1 (0 )+3 d ddd)︀d d (︀ 22 0 + (2 (0 )0 ) =dd∑︁[ * ( )0 ( ) − ( + * ) * ( + * )0 ( + * )].(5.10)В этом уравнении, - сечение упругих электрон-атомных ударов, * и * - сечение и порог возбуждения уровня атома с индексом , 1 и 2 - интегралы, описывающие межэлектронное взаимодействие.
Решением уравнения (5.10) являетсяфункция распределения электронов 0 , нормированная на плотность электронов:∫︁∞0√0 ( ) d = .(5.11)129Интегралы 1 и 2 имеют следующий вид:⎛1 =2⎝3∫︁ 3/2 0 ( )d + 3/20∫︁2 =∫︁∞⎞0 ( )d ⎠ ,(5.12)√0 ( ) d.(5.13)0Коэффициент зависит от кулоновского логарифма и определен как [204]:1 =4(︂200 )︂2ln Λ,где8Λ= 30(︂30 3)︂1/2.(5.14)(5.15)Уравнение (5.10) нелинейно относительно ФРЭ и определяет её как функцию приведенного электрического поля / и степени ионизации / . При малых плотностях электронов, роль межэлектронного взаимодействия мала и решением является функция распределения, которая формируется за счет ускорения в поле ирелаксации за счет упругих ударов. В предельном случае большой плотности электронов, решением является Максвелловская функция распределения (например,в термической плазме).
В промежуточном случае как ФРЭ, так и макроскопические параметры, рассчитываемые путем интегрирования функции распределения,нелинейно зависят от плотности электронов.stepДля частот столкновений = , , , средней энергии электронов , иих подвижности имеем√︂=2∫︁∞ ( )0 ( )d,0∫︁∞ = 3/2 0 ( )d,01 =3√︂2∫︁∞00 ( )d.(5.16)130Помимо нагрева электрическим полем, потерь энергии в упругих и неупругихэлектрон-атомных столкновениях и перераспределения энергии в межэлектронных столкновениях, на ФРЭ могут также влиять некоторые вторичные процессы,такие, как рождение электронов при хемоионизации и набор энергии в ударахвторого рода. Подобные процессы могут играть важную роль в плазме разрядов,близкой к равновесию, или в плазме послесвечения [205].
В свою очередь, в тлеющем разряде плотность возбужденных атомов на два или три порядка величиныменьше равновесных значений. Вследствие этого, влияние ударов второго рода(являющихся процессами, обратными неупругим столкновениям - реакциямидевозбуждения) на формирование ФРЭ будет мало (менее 1%), и ими можно пренебречь. По той же причине вклад хемоионизации также пренебрежимо мал.Таким образом, ФРЭ (5.11) является функцией двух параметров - приведенногополя / и степени ионизации / , которые могут быть использованы для оптимизации численных расчетов. Вместо расчета функции распределения на каждомшаге глобального вычислительного цикла модели, ФРЭ может быть рассчитанаодин раз с достаточно большой точностью, и необходимые макроскопическиепараметры могут быть затабулированы для всего рассматриваемого диапазонаплотностей электронов и полей.5.1.5Метод решенияНа первом этапе необходимо решить уравнение Больцмана (5.10) и рассчитатьнеобходимые макроскопические параметры плазмы.
Уравнение рашется численнос использованием равномерной сетки по энергии с максимумом 50 эВ. Дифференциальные операторы заменяеются конечными разностями второго порядка.Детали подобной схемы дискретизации можно найти в работе [206].Кинетическое уравнение содержит нелинейный член, описывающий межэлектронное взаимодействие. В рассматриваемом диапазоне разрядных условий уравнения Больцмана можно решать итеративно.
На первой итерации производитсярасчет без учета -столкновений, а члены (5.12), описывающие межэлектронноевзаимодействие, рассчитываются с использованием предыдущей итерации ФРЭ.Итерационная процедура продолжается до тех пор, пока разница между последующими итерациями не будет достигать 0.1% в каждой точке сетки по энергии.131Число итераций, необходимых для получения решения, варьируется от 2-3 прималых плотностях электронов, до порядка 1000 при / ∼ 10−3 .Разработанная программа для расчета ФРЭ была протестирована путем сравнения с результатами, полученными с помощью BOLSIG+ [207]. Была использованасетка из 2000 точек по энергии.
Для аналогичных условий, результаты расчетовсовпадают с результатами BOLSIG+ с точностью 99%.Макроскопические параметры, такие как скорости реакций, рассчитываютсяпутем интегрирования ФРЭ по энергии и записываются в таблицы как функции/ и / . Размер таблицы составлял 198 точек по / и 121 точка по / .Затем, в зависимости от значений поля и концентрации электронов, параметрыопределяются с помощью билинейной интерполяции.Дискретизация системы уравнений баланса осуществляется на однороднойпространственной сетке. Расчет коэффициентов резонансной матрицы осуществляется однократно, поскольку они не зависят от электрического поля илиплотностей возбужденных атомов и электронов.
Так как радиальный градиентплотности нейтральных атомов и температуры газа в тлеющем разряде не слишкомвелик (например, в сравнении с термической плазмой дуги), то для исследованиявлияния пленения излучения распределение коэффициента поглощения можнополагать однородным. В случае 62 элементов матрица рассчитывалась примерноза 2 мин (на процессоре (Intel Core i7-3630QM CPU 2.40 ГГц). Такая сетка демонстрировала хорошее согласие с результатами более плотной, и была выбрана вкачестве оптимальной. Для сравнения, полный цикл программы, который будетописан ниже, мог достигать 40-60 мин.
Таким образом, учет переноса излученияне оказывал значительное влияние на вычислительные затраты. Более того, врамках настоящей модели использовался код, позволяющий учитывать неоднородность коэффициента поглощения. Тем не менее, в рамках настоящей моделииспользовался вариант матричного метода, позволяющий учитывать неоднородность поглощения (см. параграф 2.2.3).
При использовании варианта, заточенногопод однородный коэффициентом поглощения (см. Параграф 2.2.3) время расчетаматрицы на аналогичной сетке уменьшается до нескольких секунд.Прежде, чем перейти к описанию подхода к решению самосогласованной задачи, стоит упомянуть традиционный нестационарный метод установления, который использовался в литературе при исследовании контракции [160–162, 164, 165].132Сначала задавались внешние входные параметры, такие, как ток , давление ,радиус трубки , тип газа и рассчитанные скорости плазмохимических реакций.Затем устанавливались начальные значения внутренних переменных (включая , , и др.).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
