Диссертация (1150462), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Дискретизация уравнения неразрывности и алгоритм численной«перевязки» полей скорости и давленияДвижение несжимаемых жидкостей описывается уравнениями (2.3) и (2.6), причемдавление (точнее, его градиент) входит только в уравнение (2.3), что приводит к двумследующим проблемам. Первой является проблема «слабой связи» между полями давления искорости: поле давления должно быть найдено таким, чтобы найденное из уравнения (2.3) полескорости удовлетворяло уравнению (2.6), в которое давление не входит.

Для решения этойпроблемы требуется методика численной «перевязки» скорости и давления. Такая «перевязка»обеспечивается, в частности, широко известным методом SIMPLE [99] и в более поздних егоразновидностях (SIMPLER, SIMPLEC, см, например, [34]), реализованных во многихкоммерческих CFD-кодах. В настоящей работе использовался метод SIMPLEC [129], егоформулировка дана ниже. Вторая проблема связана с тем, что давление входит в уравнение(2.3) в виде градиента, вычисляемого путем суммирования значений по всем гранямконтрольного объема (см.

соотношения (4.22), (4.23)), в результате чего вес значения из центраячейки оказывается намного меньше весов значений из центров соседних ячеек. Инымисловами, значения давления в соседних ячейках расчетной сетки практически не связаны, асвязи есть только между значениями, находящимися в ячейках через одну. Как следствие, прирасчетах на совмещенных сетках (когда для оценки баланса всех искомых величиниспользуются одни и те же контрольные объемы) в численном решении могут иметь местопространственные «четно-нечетные» осцилляции давления. Для решения второй проблемы, какправило,применяетсядополнительнаяметодикапредложенная Рхи и Чоу (Rhie, Chow) [104].«перевязки»скоростиидавления,88Коррекция Rhie-ChowКорректирующая процедура Rhie-Chow, вводит специальную «стаблилизирующую»поправку в выражение для потоков массы через грани ячеек в дискретном аналоге уравнения(2.2).

Поскольку в настоящей работе вместо уравнения (2.2) используется уравнение (2.6) сдискретным аналогом (2.38), поправка вводится для объемных расходов Ff через грань: VF f  S f  n f  v f  C RC  APCDf p N  p M   rN  rM   p CDf   rN  rM  n f(4.26)Здесь индексы M и N относятся к контрольным объемам, граничащим по грани f.МножительCRC  1позволяетрегулировать«вес»поправки(внастоящейработеиспользовалось значение CRC = 0.5); верхний индекс CD, как и ранее, означает линейнуюинтерполяцию значения из центров ячеек на грань; rM и rN – радиус-векторы центров ячеек;n f – внешняя нормаль к грани f, Sf – ее площадь; AP – коэффициент при «центральном»значении скорости в уравнении движения, получающийся после выражения значений скоростина гранях через значения в центрах ячеек:AP 1S f   t  fIV    S f   v  f n f   trO  rI  n ff 2.Здесь индекс I (inner) относится к рассматриваемому контрольному объему, индекс O(outer) относится к соседнему контрольному объему, граничащему по грани f; первое слагаемоесоответствует схеме аппроксимации по времени (4.20); t – шаг по времени.Как видно из выражения (4.26), поправка реагирует на различие в посчитанных двумяразными способами значениях производной от давления вдоль направления, соединяющегоцентры соседних ячеек M и N (через разность значений в центрах ячеек и черезинтерполированный на грань градиент).

Если вследствие возникшей осцилляции значениедавления в ячейке оказалось, например, больше, чем в соседствующих с ней ячейках, товведенная поправка создает искусственные потоки, направленные из нее и приводящие кпонижению давления в ней. В случае гладкого (неосциллирующего) поля поправкапропорциональна третьей производной от давления по пространству и имеет, по меньшей мере,второй порядок малости.Метод SIMPLECМетод SIMPLEC [129] (SIMPLE Consistent) является одной из модификаций методаSIMPLE, в котором «перевязка» полей давления и скорости производится путем введения89поправки к скорости, непосредственно выражаемой через градиент от поправки к давлению врамках итерационного процесса решения системы (2.3) и (2.6).В системе дифференциальных уравнений (2.3) и (2.6) уравнение (2.3) являетсянелинейным, поэтому для решения системы необходимо делать итерации.

На каждой итерациирешается система линейных уравнений, в коэффициентах которой используются значенияскорости с предыдущей итерации. При этом уравнения можно решать как в исходныхпеременных, так и в приращениях, как в настоящей работе.Линеаризованные уравнения неразрывности и движения для приращений скорости v идавления p могут быть записаны в следующем виде:  v  p    RC(4.27)v   v v       t  v  p  RV  v RC *(4.28)Здесь v – скорость с предыдущей итерации, член p в уравнении (4.27) соответствуетпоправке Rhie-Chow в выражении для объемного расхода (4.26) (   C RC V AP ), RC и RV –невязки уравнений неразрывности (2.6) и движения (2.3) (с левой частью, записанной в форме(4.10а)), рассчитанные с использованием значений с предыдущей итерации, * – определяетсясоотношением:1 1   ,*  tгдеt – шаг по физическому времени,  – шаг по псевдовремени итерационного процесса(релаксационный параметр, зависящий от чисел Куранта и Фон-Неймана),  – коэффициент,зависящий от схемы аппроксимации по времени для уравнения движения:для схемы (2.28) – =для схемы (2.30) – =2.1 Приращение скорости v на текущей итерации представляется в виде суммыпредикторного значения v * и поправки v ' : v  v *  v '(4.29)Решение уравнения (4.28) в рамках метода SIMPLEC разбивается на два шага:v *  v v *       t v *  RV  v RC *(4.30)90v ' p ,*(4.31)Предикторное значение v * , полученное путем решения уравнения (4.30), содержащегоградиент от давления с предыдущей итерации (входит в RV), не должно в общем случаеудовлетворять уравнению неразрывности (2.6).

Поправка v ' учитывает влияние приращениядавления p на текущей итерации на приращение скорости v . Идея методов семействаSIMPLE в том, чтобы подобрать такое приращение p, при котором поле скорости, полученноена текущей итерации, удовлетворит уравнению неразрывности (2.6), то есть, приращениескорости v удовлетворит уравнению (4.27). Подставляя (4.29) в (4.27) с учетом (4.31),получаем уравнение Пуассона для приращения давления p:  *      p   Rc  v * (4.32)По найденному из этого уравнения p по (4.31) определяется поправка скорости v ' .4.2.6.

Линейный солвер и параллелизация вычисленийОбщим результатом аппроксимации линейных дифференциальных уравнений (4.30),(4.32), (2.36), а также линеаризованных уравнений для приращений параметров турбулентностиявляются системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), которые можно представить вматричной форме (4.33).Ax  b(4.33)Данные уравнения связывают значения в центрах ячеек расчетной сетки (контрольныхобъемов) со значениями в центрах соседних ячеек. Соответственно, матрицы систем данныхуравнения являются сильно разреженными (то есть, большинство элементов матриц равнынулю). Как правило, в программной реализации, в оперативной памяти хранят тольконенулевые элементы матрицы (полная матрица может вообще не поместиться в оперативнойпамяти).

В силу данных обстоятельств, использование «прямых» методов решения СЛАУ(таких как метод Гаусса или LU-разложение) для решения данных систем не приемлемо, таккактребуетогромныхзатратоперативнойпамятииогромногочислаопераций,пропорционального квадрату числа строк матрицы, причем большинство операций будутзадействовать нулевые элементы.На данный момент одними из наиболее эффективных методов решения СЛАУ сразреженнойматрицейсчитаютсяитерационныеметодынаосновеподпространствКрылова [109].

В настоящей работе, в случае симметричной положительно определенной91матрицы A, возникающей при дискретизации уравнения Пуассона для поправки давления(4.32), используется метод сопряженных градиентов (CG, cм. например, [4, 12]), реализованныйв коде Flag-S. В случае несимметричных матриц, характерных для конвективно-диффузионныхуравнений, хорошо работает метод би-сопряженных градиентов, имеющий множествомодификаций (BiCG, CGS, GMRES и др., см., например, [12]).

В настоящей работеиспользуется реализованный в коде Flag-S (и унаследованный кодом Flag-FS) так называемыйстабилизированный метод би-сопряженных градиентов (BiCGStab), предложенный в работе[128] и считающийся одним из наиболее быстрых и надежных.Для ускорения сходимости и повышения устойчивости современных итерационныхметодов используется техника предобуславливания, в которой вместо решения исходнойсистемы (4.33) находится, например, решение системы (4.34).1AM Mx  bЗдесьM– AM 1u  b Mx  uматрицапредобуславливателя,(4.34а)(4.34б)котораятемилиинымобразомаппроксимирует матрицу А, но легче обращается, т.е.

система (4.3.2б) с матрицей M решаетсяпроще, чем исходная. Понятно, что чем ближе матрица M к матрице А, тем ближе матрица АM-1к единичной и, соответственно, тем быстрее сходится итерационный процесс решения СЛАУ.В настоящей работе при решении уравнений Пуассона для поправки давления (4.32) вкачестве предобуславливателя использовалось неполное разложение Холецкого (см.

Характеристики

Список файлов диссертации