Диссертация (1150419), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

В частности, в качестве такой области можно принять круг C  {z  C1 : z   d } , где d   0, 1 – заданное вещественное число, определяющее степень устойчивости замкнутой системы. Как и для аналоговых регуляторов, возможныи другие способы введения допустимой области.Как и ранее будем считать, что внешнее возмущающее воздействиеограничено по величине, т.е. справедливо соотношениеw k    1, k  0,1,2,... .(2.3.5)Определим функционал J d  J d (K ) , характеризующий размер минимального инвариантного эллипсоида, включающего множество ea ре72акций на внешние воздействия для замкнутой системы (2.3.1), (2.3.2). Поаналогии с теоремой 1.2.1 в данном случае имеемJ d  J d (K )  f  P( 0 )  tr C3P( 0 )C3  ,(2.3.6)где  0  arg min f  P()  , f  P()   tr C3P ()C3  , P () – положительно0   1определенное решение линейного матричного уравненияA 3PA3  P D3D3  0 ,1 (2.3.7)DA 3  A 0  B 0 K , C3   C 0  , D3    .0Рассмотрим задачу о выборе стабилизирующего регулятора (2.3.2),который минимизирует размер J d инвариантного эллипсоида с учетом желаемых модальных свойств замкнутой системыJ d  J d (K ) minK sk  k,(2.3.8)где допустимое множество  sk определяется формулой (2.3.4).Если не принимать во внимание дополнительные модальные свойства, то мы приходим к постановке известной задачиJ d  J d (K )  min ,Kk(2.3.9)которая рассмотрена в статье [48], где приводится следующее ее решение:J d*  J d (K * )  min J d (K )  F P (* , * )   tr C3P(* , * )C3 ,K  k(2.3.10)где (* , * )  arg min F  P (, )  , F  P(, )   tr C3P(, )C3  , P (, ) – 0,  0положительно определенное решение линейного матричного уравнения73A 0 PA0  2 B 0Β0   2B 0 B0 A01 P 1A 01B 0B0K  arg min J d (K )   B0 A0*K k P D3D3`  0 (2.3.11)1 1 P 1 (* , * ) .(2.3.12)Введем обозначение для шуровского характеристического полиномазамкнутой системы (2.3.1), (2.3.2), (2.3.12) 3 ( z, , )  det  E n  m z  A 0  B 0 K (, )  .(2.3.14)На базе параметризации, которая выполняется по аналогии с разделом 2.1, можно сформулировать следующее утверждение:Теорема 2.3.1.

Для функционала J d (K ) в задаче (2.3.8) существуетминимизирующая последовательность {K (ε i )} регуляторов (2.3.2), определяемая последовательностью векторов ε i  такой, чтоlim{K (ε i )}  K 0  arg min J d (K ) , limJ d K (ε i )   J d (K 0 )  J d0 .i K ski Доказательство. Доказательство данного утверждения проводитсяаналогично доказательству теоремы 2.1.1, однако необходимо заметить,что для цифровых систем вместо леммы 1.3.1 используется ее дискретныйаналог [41]:Для любого вектора γ  Endстепень устойчивости вспомогательногополинома, построенного по формулам~ * (z, γ ), если n d - четное; (z , γ )  ~*(z  a d 1 ( γ,  d )) (z, γ ), если n d - нечетное*(2.3.15)не меньше наперед заданной величины  d   0, 1 , и обратно, если степеньустойчивости некоторого полинома  (s) не меньше величины  d   0, 1 ,74n*то можно указать такой вектор γ  E d , что  ( z )   ( z, γ ) , причемd* ( z, γ)  z2 ai1 ( γ,  d ) z  a i0 (γ ,  d )  , где(2.3.16)i 1ai1 ( γ,  d )44  i21  i212i1i1  d  exp   i 2   exp   i22  , 2 244ai0 ( γ,  d )   2d exp   i21 , i  1, d , ad 1  γ,  d    d exp  2d 0 ,■ (2.3.17)γ  {11 , 12 ,  21 ,  22 ,...,  d 1 ,  d 2 ,  d 0 }.Таким образом, теорема 2.3.1 является основой для построения алгоритмов решения задачи (2.3.8), аналогичных алгоритмам 2.1.1 – 2.1.3.

Однако в алгоритмах 2.1.1 – 2.1.3 необходимо учитывать, что для цифровыхсистем    0,1 . Кроме того, вместо линейного матричного уравнения(2.1.11) на соответствующих этапах необходимо решать линейное матричное уравнение (2.3.11), и вместо формул (1.3.4) – (1.3.7) для построениявспомогательногополиноманеобходимоиспользоватьсоотношения(2.3.15) – (2.3.17).Рассмотрим теперь движения замкнутой системы (2.3.1), (2.3.2) принулевых начальных условиях для векторов состояния объекта, привода ирегулятора под воздействием внешних возмущений видаw  w[k ]  w 0  d e [k ] ,(2.3.18)где d e  d e [k ] – единичная ступенчатая последовательность, w 0  E l –постоянный вектор.Определение 2.3.1.

Будем называть замкнутую линейную систему(2.3.1), (2.3.2) астатической по вектору контролируемых координат y , еслипри воздействии возмущения (2.3.18) выполняется равенствоlim y k   0.k 75Регулятор (2.3.2), обеспечивающий выполнение указанного равенства, будем называть астатическим по вектору y .Определение 2.3.2. Будем говорить, что скоростной регуляторu k   μ x  k  1  x  k   νy k ,(2.3.19)эквивалентен позиционному регулятору (2.3.2) по отработке заданного командного сигнала, если обратная связь (2.3.19) обеспечивает такой же характеристический полином замкнутой системы, что и (2.3.2), и если переходные процессы по переменной y в соответствующих замкнутых системах при отсутствии возмущений тождественно совпадают.Теорема 2.3.2.

Пусть для модели (2.3.1) выполняются условия k  m ,rank C  m , т.е. количество измеряемых координат равно количеству управляющих воздействий. Тогда, при отсутствии внешних возмущений, регуля- x k   можно однозначно представить в скотор u k   K x x k   K δ k   K  δ k  ростной эквивалентной форме (2.3.19), где матрицы μ и ν однозначно определяются матрицей K . При этом регулятор (2.3.19) будет являться астатическим по вектору y , если матрица ν не вырожденная.Доказательство. Преобразуем регулятор (2.3.2) к форме (2.3.19), выражая векторы x[k ] и δ[k ] через вектор x[k  1] и регулируемые координаты y при нулевом внешнем воздействии.

При отсутствии возмущений система (2.3.1) примет видx[k  1]  Ax[k ]  Bδ[k ],δ[k  1]  u[k ]  δ[k ],y[k ]  Cx[k ].(2.3.20)Перенумеровав компоненты вектора x , можно представить матрицу изме76рений в блочной форме C   C1 C 2  , где C1 – m   n  m  -матрица, C 2 –невырожденная m  m -матрица. Тогда имеем уравнение выходаy  C1x1  C 2 x 2 , x  (x1где x1  En m, x2  Emx2 ),(2.3.21)– вспомогательные векторы.

В силу невырожден-ности матрицы C 2 из последнего соотношения можно однозначно выразить x 2 по формулеx 2  C2 1y  C2 1C1x1 .(2.3.22)Тогда первое уравнение системы (2.2.3) примет видx[k  1]  x[k ]   A  E x[k ]  Bδ[k ] .(2.3.23)Выполним разбиение матриц A  E и K x на блоки в соответствии сразмерностями векторов x1 , x 2 :A  E   A1A 2 , K x  K x1 K x 2 .Тогда уравнение (2.3.23) можно записать в видеx[k  1]  x[k ]  A1x1[k ]  A 2 x 2 [k ]  Bδ[k ]  x[k  1]  x[k ]  A1x1[k ]  A 2C 21y[k ]  A 2C 2 1C1x1[k ]  Bδ[k ]  x[k  1]  x[k ]  H1x1[k ]  A 2C 21y[k ]  Bδ[k ],(2.3.24)H1  A1  A 2C 21C1.xВводя вспомогательный вектор z   1   E n , получаемδx[k  1]  x[k ]   H1 B  z[k ]  A 2C2 1y[k ]  Mz[k ]  A 2C2 1y[k ].Тогда, если матрица M   H1 B  – невырожденная, получим77z[k ]  M 1  x[k  1]  x[k ]  M 1A 2C2 1y[k ] .(2.3.25)С учетом введенных обозначений и соотношения (2.3.22) базовый закон управления (2.3.2) преобразуется к видуu[k ]  K x x[k ]  K δ[k ]  K x1x1[k ]  K x 2 x 2 [k ]  K δ[k ] 11 K x1x1[k ]  K δ[k ]  K x 2C 2 y[k ]  K x 2C 2 C1x1[k ] (2.3.26) K x1  K x 2C 21C1 K  z[k ]  K x 2C 21y[k ]  L1z[k ]  K x 2C 21y[k ].При подстановке (2.3.25) в (2.3.26) имеемu[k ]  L1M 1  x[k  1]  x[k ]  K x 2C 21  L1M 1A 2C2 1 y[k ] .

(2.3.27)Если ввести обозначения μ  L1M 1 , ν  K x 2C21  L1M 1A 2C 21 , тополучим справедливость тождестваu[k ]  K x x[k ]  K δ[k ]  μ x[k  1]  x[k ]  νy[k ] .(2.3.28)Покажем теперь, что регулятор (2.3.19) обеспечивает астатизм замкнутой системы (2.3.1), (2.3.19) по выходу y . Если ограничения по отклонениям рулей допускают существование положения равновесия, имеемAx[k ]  Bδ[k ]  0,y[k ]  0.Таким образом, при условии устойчивости замкнутой системы регулятор(2.3.19) обеспечивает астатизм системы по переменной y .

■78ГЛАВА 3. ПОСТРОЕНИЕ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯДЛЯ МОРСКИХ АВТОПИЛОТОВВ данной главе рассматриваются особенности применения предложенных в диссертации подходов и разработанных алгоритмов для построения законов управления для морских автопилотов.В первом параграфе проводится конкретизация общих уравнений динамики МПО для морских судов, совершающих движение в горизонтальной плоскости.Второй параграф посвящен непосредственной постановке задачиуправления движением судна по заданному курсу при наличии неопределенных возмущающих воздействий.

Характеристики

Список файлов диссертации